Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ýòîò ðåçóëüòàò ïîäñêàçûâàåò, â êàêîì íàïðàâëåíèè íóæíî äâèãàòüñÿ. Åñëè òàêèõ ïàð ìíîãî, òî, ïî205Ëåêöèÿ 14. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿàíàëîãèè ñ áîçå-ãàçîì, ìîæíî ãîâîðèòü î êîíäåíñàòå ïîêîþùèõñÿ ïàð. Îñíîâíîéíåäîñòàòîê çàäà÷è Êóïåðà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà íå ó÷èòûâàåò òîæäåñòâåííîñòè ýëåêòðîíîâ âíóòðè ñôåðû Ôåðìè è äâóõ âûäåëåííûõ ýëåêòðîíîâ.Èç òåîðèè àòîìà âîäîðîäà è òåîðèè ïîçèòðîíèÿ (ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿýëåêòðîí-ïîçèòðîí) ìû çíàåì, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ äâóõ÷àñòèö åñòü ïðîèçâåäåíèå âîëíîâûõ ôóíêöèé ýòèõ ÷àñòèö. Ïîýòîìó ïðîèçâåäåíèå Ψ̂σ (t, r)Ψ̂−σ (t, r) â (11) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê îïåðàòîð óíè÷âîëíîâîéôóíêöèè êóïåðîâñêîé ïàðû.
Ïîñêîëüêó ÷èñëî êóïåðîâñêèõ ïàð åñòü ìàêðîñêîïè÷åñêîå ÷èñëî, òî ýòî ïðîèçâåäåíèå ìîæíî çàìåíèòü íà c-÷èñëî.DE³DE´Ψ̂−σ (t, r)Ψ̂σ (t, r) → Ψ̂−σ (t, r)Ψ̂σ (t, r) = lim SpρN N |Ψ̂−σ (t, r)Ψ̂σ (t, r)|N + 2N →∞(16) îòëè÷èå îò ëåêöèè ïî ñâåðõòåêó÷åñòè, çäåñü ìû õîòèì ðàññìîòðåòü ñâîéñòâàñâåðõïðîâîäíèêà ïðè âñåõ òåìïåðàòóðàõ âïëîòü äî êðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû ïåðåõîäà â íîðìàëüíîå ñîñòîÿíèå. Ïîýòîìó â (16) ñïðàâà ñèìâîë óñðåäíåíèÿ h...iîçíà÷àåò äâîéíîå óñðåäíåíèå ïî êîãåðåíòíîìó ñîñòîÿíèþ êîíäåíñàòà êóïåðîâñêèõ ïàð è ïî ðàñïðåäåëåíèþ Ãèááñà ñ N -÷àñòè÷íîé ìàòðèöåé ïëîòíîñòè ρN .
Âîäíîðîäíîì ñëó÷àå ñðåäíåå (16) íå çàâèñèò íè îò âðåìåíè, íè îò êîîðäèíàòû,íî,êàê ñëåäóåò èç (5), ìåíÿåò çíàê ïðè èçìåíåíèè çíàêà σ . ïðèáëèæåíèè (16) óðàâíåíèå (11) ôîðìàëüíî ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíûìµ 2¶DEp̂∂(t,r)Ψ̂(t,r)Ψ̂(t,r).(17)i~ Ψ̂σ (t, r) =− µ Ψ̂σ (t, r) + U0 Ψ̂+−σσ−σ∂t2mÂâåäåì îáîçíà÷åíèÿξk =DEk2− µ, σ∆ = U0 Ψ̂−σ (t, r)Ψ̂σ (t, r)2m(18)Àíîìàëüíîå ñðåäíåå ∆, âîîáùå ãîâîðÿ, åñòü êîìïëåêñíàÿ âåëè÷èíà.Ðàçëîæèì ïîëå Ψ̂σ (t, r) ïî ïëîñêèì âîëíàì |kσi = |ki |σi (|ki = √1V eikr , | σi ñïèíîâàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ):Ψ̂σ (t, r) =Xhkσ 0 | rσi âkσ0 =kσ 0Xhσ 0 | σi hk | ri âkσ0 =kσ 0X 1√ eikr âkσVk(19)Òîãäà èç (17) èìååì óðàâíåíèå äëÿ âkσ :i~∂âkσ = ξk âkσ + σ∆â+−k−σ .∂t(20)Äèàãîíàëèçóåì ýòî óðàâíåíèå ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Áîãîëþáîâàâkσ = uk b̂kσ − σvk∗ b̂+−k−σ(21)Îïåðàòîðû ïîãëîùåíèÿ è ðîæäåíèÿ êâàçè÷àñòèö b̂kσ , b̂+−k−σ äîëæíû áûòü ñîá∂ñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà ýíåðãèè i~ :∂ti~∂∂= −εk b̂+b̂kσ = εk b̂kσ , i~ b̂+−k−σ∂t∂t −k−σ206Ëåêöèÿ 14.
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿÊðîìå òîãî,.îïåðàòîðû ÷àñòèö è êâàçè÷àñòèö äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü îäèíàêîâûì ïðàâèëàì àíòèêîììóòàöèè+22 +{âkσ , â+k0 σ 0 } = uk {b̂kσ , b̂k0 σ 0 } + vk {b̂−k−σ , b̂−k0 −σ 0 } = δkk0 δσσ 0è, ñëåäîâàòåëüíî:u2k + vk2 = 1(22)Ïîäñòàíîâêà (21) â (20) äàåò∗ +(εk − ξk )uk b̂kσ + (εk + ξk )σvk∗ b̂+−k−σ = σ∆(uk b̂−k−σ + σvk b̂kσ )Îòñþäà(εk − ξk )uk = ∆vk(εk + ξk )vk = ∆∗ ukÐåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé íàõîäèì ýíåðãèþ êâàçè÷àñòèöqεk = ξk2 + |∆|2è êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ9rr1ξk∆∗ 1ξk∆ξkuk =(1 + ), vk =(1 − ), 2uk vk∗ = , |uk |2 − |vk |2 = .2εk|∆| 2εkεkεk(23)(24)Ïðåîáðàçîâàíèå îò îïåðàòîðîâ ïîãëîùåíèÿ è ðîæäåíèÿ ýëåêòðîíîâ ê îïåðàòîðàìêâàçè÷àñòèö äèàãîíàëèçóåò ãàìèëüòîíèàí (8), è îí ðàâåí ñóììå ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ è ýíåðãèè êâàçè÷àñòèöX(25)Hs = E0 +εk b̂+kσ b̂kσÈòàê, êîíäåíñàöèÿ êóïåðîâñêèõ ïàð ïðèâåëà ê òîìó, ÷òî ñïåêòð êâàçè÷àñòèöèìååò ùåëü |∆| .Êðèòåðèé ñâåðõòåêó÷åñòè Ëàíäàó ãëàñèò, ÷òî âåùåñòâî ÿâëÿåòñÿñâåðõòåêó÷èì, åñëè ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå îòíîøåíèÿvc = minεkk(26)îòëè÷íî îò íóëÿ.
 äàííîì ñëó÷àåvc =|∆|.kF(27)Ñëåäîâàòåëüíî, ñîñòîÿíèå ñ êîíäåíñàòîì êóïåðîâñêèõ ïàð ÿâëÿåòñÿ ñâåðõòåêó÷èì, è ìàêñèìàëüíàÿ ïëîòíîñòü ñâåðõòåêó÷åãî òîêà ðàâíàjc = en|∆|.kF9 Çäåñü(28)ìû íå îáñóæäàåì âûáîð çíàêà ïåðåä ðàäèêàëîì ïðè ðåøåíèè ïîëó÷àþùèõñÿ êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé. Ýòî áóäåò ïîäðîáíî ñäåëàíî íèæå â ðàçäåëå ......207Ëåêöèÿ 14. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿÝòî çàêëþ÷åíèå, ñóùåñòâåííî îïèðàåòñÿ íà òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî |∆| 6= 0. Âûÿñíèì, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ýòî èìååò ìåñòîÑîîòíîøåíèÿ (24) ñàìîñîãëàñîâàííûì îáðàçîì îïðåäåëÿþò âåëè÷èíó ùåëè âñïåêòðå âîçáóæäåíèé êâàçè÷àñòèö ∆ .
Âû÷èñëèì ïðàâóþ ÷àñòü (18)), èñïîëüçóÿðàçëîæåíèå (19) è ïðåîáðàçîâàíèÿ Áîãîëþáîâà (21), (24):*+EDX 1X 1ik0 rikr√ e âk0 −σ√ e âkσ∆ = σU0 Ψ̂−σ (t, r)Ψ̂σ (t, r) = σU0VVkk0D³´³´EσU0 X ik0 r ikr∗ +∗ +00=e euk b̂k −σ + σvk0 b̂−k0 σ uk b̂kσ − σvk b̂−k−σ(29)V0kkÑðåäíèå çíà÷åíèÿ äëÿ ïðîèçâåäåíèé îïåðàòîðîâ êâàçè÷àñòèö ðàâíûDEDEDEDE+++0k ,0 −σ b̂b̂k0 −σ b̂kσ= b̂+b̂=0,b̂b̂=nδb̂00kσbk−kk−k−σ−k σ −k−σ−k σ= (1 − nbk )δ−k0 k .Âûðàæåíèå (29) ïðèíèìàåò âèä∆=−U0 X ∆(1 − 2nbk )2V k εkÝòî óðàâíåíèå èìååò òðèâèàëüíîå ðåøåíèå ∆ = 0. Ñîêðàùàÿ íà ùåëü, ïîëó÷àåìíåÿâíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå íà |∆|1=−U0 X 1(1 − 2nbk ).2V k εk(30)Ïîñêîëüêó ÷èñëî ââåäåííûõ ôåðìè-êâàçè÷àñòèö íå ñîõðàíÿåòñÿ, òî èõ õèìïîòåíöèàë ðàâåí íóëþ òînbk = (1 + exp (εk /T ))−1 < 1/2.Ïîýòîìó (1 − 2nbk ) > 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèÿ (30)!à èìååò ðåøåíèå òîëüRDP 1 ~ωdξν(ξ) (âêî, åñëè U0 < 0. Çàìåíÿÿ â (30) ñóììó íà èíòåãðàë= 2Vk−~ωDîïðåäåëåíèå ν(ξ) âõîäèò ñóììèðîâàíèå ïî ñïèíó) è ïðåíåíåáðåãàÿ çàâèñèìîñòüþïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé îò ýíåðãèè, ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå|U0 |1=ν(0)2~ωDZdεk01(1 − 2nbk ).εk(31)Ýòî åñòü íåÿâíîå óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ ýíåðãåòè÷åñêîé ùåëè. Ñòðîãî ãîâîðÿ, íóæíî åùå ïîêàçàòü, ÷òî âîçíèêøåå íîâîå îñíîâíîå ñâåðõïðîâîäÿùåå ñîñòîÿíèå ñ ∆ 6= 0 èìååò ýíåðãèþ íèæå, ÷åì îñíîâíîå íîðìàëüíîå ñîñòîÿíèå, ÷òî áóäåòñäåëàíî íèæå.208Ëåêöèÿ 14. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿÒåîðèÿ ÁÊØ Ââèäó âàæíîñòè è íåòðèâèàëíîñòè ðåçóëüòàòîâ ïîëó÷åííûõ âïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ïðèâåäåì íåñêîëüêî èíîé èõ âûâîä.
Ýòî ïîçâîëèò ëó÷øåïî÷óâñòâîâàòü ñòðóêòóðó ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé è ïðèðîäó âîçíèêíîâåíèÿýíåðãåòè÷åñêîé ùåëè â ñïåêòðå ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé. Êðîìå òîãî, ìû àêêóðàòíî ïîêàæåì, ÷òî ïåðåñòðîåííîå îñíîâíîå ñâåðõïðîâîäÿùåå ñîñòîÿíèå îáëàäàåò ìåíüøåé ýíåðãèåé ïî ñðàâíåíèþ ñ îñíîâíûì íîðìàëüíûì ñîñòîÿíèåì.Íàïîìíèì, êàê êëàññèôèöèðóþòñÿ ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ â íåâçàèìîäåñòâóþùåì ôåðìè-ãàçå.
Ïðè òåìïåðàòóðå, ðàâíîé íóëþ, ýëåêòðîíû çàïîëíÿþò âèìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ñôåðó ðàäèóñà, ðàâíîãî èìïóëüñó Ôåðìè pF . Îáîçí÷èì ýòî ìíîãî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå ÷åðåç |0i . Ïåðåâåäåì ÷àñòèöó ñ óðîâíÿ Ôåðìèâ ñîñòîÿíèå ñ íåêîòîðûì èìïóëüñîì p > pF . Òîãäà ýòî ñîñòîÿíèå ìîæíî ïðåä22ñòàâèòü êàê a+p |0i . Ýíåðãèÿ òàêîãî âîçáóæäåíèÿ ðàâíà ξ = p /2m − pF /2m..Ïåðåâåäåì òåïåðü ýëåêòðîí èç ñîñòîÿíèÿ ñ èìïóëüñîì p < pF íà ïîâåðõíñòüÔåðìè.
Ïîëó÷åííîå ñîñòîÿíèå åñòü ôåðìè-ñôåðà ñ "äûðêîé". Îíî èìååò ýíåðãèþ ξ = p2F /2m − p2 /2m. Ýòî âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäåap |0i . Åñëè ôîðìàëüíî ââåñòè íîâûå îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿbp = ap , p > pF , b+p = ap , p < pF .(32)òî äëÿ âñåõ p îïåðàòîðû b+p îïèñûâàþò ðîæäåíèå âîçáóæäåíèÿ, à bp îïèñûâàþòóíè÷òîæåíèå âîçáóæäåíèÿ.Ðàññìîòðèì êàê èçìåíèòñÿ ýòà êàðòèíà âî âçàèìîäåéñòóþùåì ôåðìè-ãàçå.Åñëè âçàèìîäåéñòâóþò ýëåêòðîíû â óçêîé êîðî÷êå |p − pF | ≤ ~ωD , òî äëÿ òàêèõ èìïóëüñîâ îïèñàííûé ñöåíàðèé ïîñòðîåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé (32)ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâûì. Ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàòîðàì bp , äîëæíû áûòü ñóïåðïîçèöèé a è a+ (ïðåîáðàçîâàíèå Áîãîëþáîâà)+bp+ = up ap+ − vp a+−p− , bp− = up a−p− + vp a−p+ ,(33)Äëÿ äàëüíåéøåãî âàæíî, ÷òî ïðè p À pF è p ¿ pF ñöåíàðèé, îòâå÷àþùèé (33),äîëæåí ïåðåõîäèòü â (32).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîup → 1, vp → 0, åñëè p À pF ,up → 0, vp → 1, åñëè p ¿ pF .(34)Ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå (33), èìååò âèä+ap+ = up bp+ + vp b+−p− , ap− = up bp− − vp b−p+ ,+++a+p+ = up bp+ + vp b−p− , ap− = up bp− − vp b−p+. .Âû÷èñëèì àíòèêîììóòàòî𩪩ª©ª2+2+ap+ , a+p+ = up bp+ , bp+ + vp b−p− , b−p− +(35)(36)+up vp {bp+ b−p− } + up vp {bp+ b−p− } = 1.Ïîòðåáóåì, ÷òîáû íîâûå îïåðàòîðû ïîä÷èíÿëèñü òåì æå ôåðìèåâñêèì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿ쩪bpσ , b+= 1,(37)pσ{bps , bpσ } = 0.209Ëåêöèÿ 14. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿ×òîáû óñëîâèå (36) áûëî ïðè ýòîì íåïðîòèâîðå÷èâûì, íåîáõîäèìî, ÷òîáûu2p + vp2 = 1.(38)Èñõîäíûé ãàìèëüòîíèàí â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèèèìååò âèäH=X p2g X + +a+ap0 + a−p0 − a−p− ap+ ,pσ apσ −2mVpσp6=p(39)0g - àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ äâóõ ôåðìè ÷àñòèö äðóã íà äðóãå.
Çäåñü ïåðâûé ÷ëåíåñòü êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ. Âòîðîé ÷ëåí îïèñûâàåò ðàññåÿíèå äðóãíà äðóãå ýëåêòðîíîâ ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè èìïóëüñàìè è ñïèíàìè. Ýòîò ãàìèëüòîíèàí íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì Áàðäèíà-Êóïåðà-Øðèôåðà (ÁÊØ).Ïðè âûâîäå óðàâíåíèé Ãèíçáóðãà-Ëàíäàó èññëåäîâàëñÿ ìèíèìóì ñâîáîäíîéýíåðãèè.  äàííîì ðàçäåëå, ÷òîáû íå ó÷èòûâòü ÿâíûì îáðàçîì ñîõðàíåíèå ÷àñòèö, ââåäåì õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ñèñòåìû ýëåêòðîíîâ µ = p2F /2m è áóäåìðåøàòü çàäà÷ó â ðàìêàõ áîëüøîãî êàíîíè÷åñêîãî àíñàìáëÿ. Âìåñòî ñâîáîäíîéýíåðãèè ìèíèìóì äîëæåí èìåòü ïîòåíöèàë Ω = PF − µN = E − T S − µN =(E − µN ) − T S, ãäå îïåðàòîð ÷èñëà ÷àñòèö N =a+pσ apσ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
