Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿ13.13Âèõðè ÀáðèêîñîâàÏåðåéäåì ê äåòàëüíîìó èçó÷åíèþ ñâåðõïðîâîäíèêîâ âòîðîãî ðîäà.Âûøå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äëÿ íèõ ýíåðãèÿ ãðàíèöû ìåæäó íîðìàëüíîé è ñâåðõïðîâîäÿùåé ôàçàìè σns < 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòàíîâèòñÿ ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíûì ðàññëîåíèåîáðàçöà íà îáëàñòè íîðìàëüíîé è ñâåðõïðîâîäÿùåé ôàç. Âíà÷àëå ýòîé ÷àñòè ïîñîáèÿ ìû îïèñàëè, êàêèì îáðàçîì ìàãíèòíîå ïîëå ïðîíèêàåò â ñâåðõïðîâîäíèêâòîðîãî ðîäà. Òàê, âíóòðè öèëèíäðè÷åñêîãî îáðàçöà îáðàçóþòñÿ âèõðè. Êàæäûéâèõðü ïðåäñòàâëÿåòà ñîáîé öèëèíäð ñ íîðìàëüíîé ñåðäöåâèíîé, ðàäèóñ êîòîðîãîïîðÿäêà äëèíû êîãåðåíòíîñòè ξ.  ñåðäöåâèíå ïàðàìåòð ïîðÿäêà ψ = 0.
Âîêðóãýòîé íîðìàëüíîé ñåðäöåâèíû òå÷åò íåçàòóõàþùèé ñâåðõòîê. Ñîçäàâàåìîå èì ìàãíèòíîå ïîëå íàïðàâëåíî âäîëü ñåðäöåâèíû. Âèõðåâîé òîê çàõâàòûâàåò îáëàñòüðàäèóñà ïîðÿêà λ ãëóáèíû ïðîíèêíîâåíèÿ. Ýòà îáëàñòü ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé, ïîñêîëüêó äëÿ ñâåðõïðîâîäíèêîâ âòîðîãî ðîäà λ À ξ.Îäèí âèõðü íåñåò îäèí êâàíò ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Îáðàçîâàíèå âèõðåé ñòàíîâèòñÿ ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíûì ïðè âíåøíåì ïîëå H0 > Hc1 . Âèõðè, îáðàçîâàâøèñü â ñâåðõïðîâîäíèêå, ðàñïîëàãàþòñÿ íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà λ è îáðàçóþòâ ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ïðàâèëüíóþ òðåóãîëüíóþ ðåøåòêó. Âîçíèêàþùåå ñîñòîÿíèå íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì.
Ýòî ñîñòîÿíèå ñóùåñòâóåò ïðè ïîâûøåíèè âåëè÷èíûâíåøíåãî ïîëÿ äî çíà÷åíèÿ Hc2 , íàçûâàåìîãî âòîðûì êðèòè÷åñêèì ïîëåì.  ýòîìñëó÷àå ïåðèîä ðåøåòêè ñòàíîâèòñÿ ïîðÿäêà ξ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âèõðè ñîïðèêàñàþòñÿ ñâîèìè íîðìàëüíûìè ñåðäöåâèíàìè è ïàðàìåòð ïîðÿäêà ψ îáðàùàåòñÿ âíóëü âî âñåì îáúåìå îáðàçöà.Âáëèçè âåðõíåãî ïîëÿ åñòü îáëàñòü, ãäå ðåøåòêà ïëàâèòñÿ. Î÷åíüáëèçêî îò åñòü ðàçðåæåííûé ãàç ñâðõïðîâîäÿùèõ íèòåé ñì íèæåÊðèâàÿ íàìàãíè÷åííîñòè äëÿ ñâåðõïðîâîäíèêà âòîðîãà ðîäà âåäåò ñåáÿ êàêïîêàçàíî íà ðèñóíêå...13.13.1Îäèíî÷íûé âèõðüÐàññìîòðèì ñâåðõïðîâîäíèê âòîðîãî ðîäà, òî åñòü ñëó÷àé λ À ξ. Ìû õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò îáëàñòü ìàãíèòíûõ ïîëåé, ïðè êîòîðûõ âûãîäíî îáðàçîâàíèå â òîëùå ñâåðõïðîâîäíèêà íîðìàëüíûõ òîíêèõ öèëèíäðè÷åñêèõ îáëàñòåéðàäèóñà ξ âèõðåé.
Ïàðàìåòð ïîðÿäêà âíóòðè ýòîé îáëàñòè èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî1. Âíå ñåðäöåâèíû |ψ|2 = 1. Ïîýòîìó äëÿ áîëüøèõ ðàññòîÿíèé ρ À ξ.óðàâíåíèåÃË (58) ïåðåïèøåòñÿµ¶1 Φ0rotrotA = 2∇θ − A , ρ À ξ.λ2πÏðîèíòåãðèðóåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó îõâàòûâàþùåìóíîðìàëüíóþ ñåðäöåâèíó âèõðÿ.II¡ 2¢ Φ0dl∇θ.(68)dl λ rotrotA + A =2πÅñëè áû íå ìàãíèòíàÿ ñåðäöåâèíà, òî ôàçà âîëíîâîé ôóíêöèè áûëà áû îäíîçíà÷íîé àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé è èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ðàâíÿëñÿ áû íóëþ.195Ëåêöèÿ 13. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿÍàëè÷èå íîðìàëüíîé ñåðäöåâèíû äåëàåò ñâåðõïðîâîäÿùèé îáðàçåö ìíîãîñâÿçíûì.  òî æå âðåìÿ, îñòàåòñÿ òðåáîâàíèå îäíîçíà÷íîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè. Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ïðè îáõîäå ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó ôàçà ìîæåò èçìåíèòüñÿ íà 2πn çíà÷åíèå èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè (68). Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü (68) ê ïîâåðõíîñòíîìó èíòåãðàëó, ó÷èòûâàÿ, ÷òî rotA = B:Z¡¢dS λ2 rotrotB + B = nΦ0 .Ïîñêîëüêó èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè íå çàâèñèò îò êîíòóðà (ãëàâíîå, ÷òî îí îõâàòûâàåò ñåðäöåâèíó!), òî ôîðìàëüíî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿåñòü δ -ôóíêöèÿ.
Ïîýòîìóλ2 rotrotB + B =nΦ0 δ (ρ) .(69)Âñþäó âíå ñåðäöåâèíû ïðè ρ À ξ èìååìrotrotB = −1B.λ2(70)Ðàñêðûâàÿ ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî âûðàæåíèÿ ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå, ïîëó÷èì∆B =1B.λ2(71) öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ èìååòñÿ òîëüêî îäíà z -êîìïîíåíòà hz . Ïîýòîìóäëÿ íåå èìååì1 ∂ ∂ρρ hz = 2ρ ∂ρ ∂ρλÏóñòü hz = f (x), x = ρ/λ.
Òîãäàxf 00 + f 0 − xf = 0.Ýòî óðàâíåíèå Áåññåëÿ. Íàñ èíåðåñóåò åãî ðåøåíèå â îêðåñòíîñòè âèõðÿ, òîåñòü ïðè ρ < λ. Ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà f = ln x. (Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòüíåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé ). Ïîýòîìó ìàãíèòíîå ïîëå â îêðåñòíîñòè îñèâèõðÿ èìååò âèäµ ¶λh ∼ ln, ξ < ρ < λ.(72)ρÒî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (69) ïðè óñëîâèè h (∞) = 0 èìååò âèäh=Φ0K0 (ρ/λ) .2πλ2K0 ôóíêöèÿ Ìàêäîíàëüäà, àññèìïòîòèêà êîòîðîé K0 (z) ∝ ln (1/z) ïðè z ¿ 1ïðèâîäèò ê (72). Ýòî ïîçâîëÿåò îöåíèòü ïîëå â öåíòðå âèõðÿ ñ ëîãàðèôìè÷åñêîéòî÷íîñòüþΦ0ln (ξ/λ) .(73)h (0) ' h (ξ) '2πλ2196Ëåêöèÿ 13.
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿ13.13.2Ïåðâîå êðèòè÷åñêîå ïîëåÈñõîäèì èç ôóíêöèîíàëà Ãèíçáóðãà-Ëàíäàó äëÿ ñâîáîäíîé ýíåðãèè£RFsH = Fn + dV α |Ψ|2 + β2 |Ψ|4 +#¯2 (rotA)21 ¯¯+−i~∇Ψ − 2ec AΨ¯ +4m8π(74)Íàïîìíèì âûðàæåíèÿ äëÿ äëèíû êîãåðåíòíîñòè è ãëóáèíû ïðîíèêíîâåíèÿìàãíèòíîãî ïîëÿ~2,4m |α|mc2mc2 β==.4πns e28πe2 |α|ξ2 =(75)λ2(76)Åñëè âèõðÿ íåò, òî ïîñêîëüêó âíóòðè ñâåðõïðîâîäíèêà ìèêðîñêîïè÷åñêîå ïîëåB = 0, òî âêëàä â ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ (74) äàåò òîëüêî âåðõíÿÿ ñòðîêà. Ýíåðãèåé âèõðÿ áóäåì íàçûâàòü ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ, îïðåäåëÿåìóþ íèæíåé ñòðîêîé â(74), òî åñòü áóäåì åå îòñ÷èòûâàòü îò ñâîáîíîé ýíåðãèè ñîñòîÿíèÿ áåç âèõðåé.Íàñ èíòåðåñóåò ñëó÷àé λ À ξ.
Ïîýòîìó ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ñâîáîäíîé ýíåðãèåé, ñîñðåäîòî÷åííîé â îáúåìå íîðìàëüíîé ñåðäöåâèíû8 . Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêóìû èíòåðåñóåìñÿ ðàññòîÿíèÿìè ρ > ξ, , ãäå ïàðàìåòð ïîðÿäêà ïðàêòè÷åñêè íåèçìåíÿåòñÿ, ìîæíî ñ÷èòàòü |Ψ|2 = |Ψ0 |2 = |α|. Ïî ýòîé ïðè÷èíå â (39) ìîæíîβïðåíåáðå÷ü êâàíòîâûì ÷ëåíîì −i~∇Ψ.
Ïîýòîìó èç (39) äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèèâèõðÿ îñòàåòñÿ òîëüêî âûðàæåíèåµ 2¶Zeh22 |α|ε = dVA+.(77)mc2β8πÂî âòîðîì óðàâíåíèè ÃË (58)|ψ|2rotrotA = 2뵶Φ0∇θ − A2πîïóñòèì êâàíòîâûé ãðàäèåíòíûé ÷ëåí. Òîãäൠ¶2µ ¶2λλA=rotrotA =rotB.|ψ||ψ|Ïîäñòàâëÿÿ (77) â (78), ïîëó÷èìZ¡¢1dV λ2 (rotB)2 + B2 .ε=8π(78)(79)Çàìåòèì, ÷òî, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü ïðè λ À ξ , ýòî åñòü Ëîíäîíîâñêîå âûðàæåíèå, (20),.¡¢ýíåðãèÿ ïîðÿäêà Hc2 /8π πξ 2 . Âû÷èñëåííàÿ íèæå ýíåðãèÿ âèõðÿ îêàæåòñÿ áîëüøå ýòîéìàëîé ïîïðàâêè.8 Ýòà197Ëåêöèÿ 13. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿÏðèìåíèì ê âûðàæåíèþ (rotB)2 =rot B·rot B ôîðìóëóarotb = brota − div [a, b]ÒîãäàÏî òåîðåìå Ãàóññà(rotB)2 = BrotrotB−div[rotB,B].Z(80)Idiv [rotB × B] =dS [rotB × B] .(81)Íàïîìíèì, ÷òî íàñ èíòåðåñóåò öèëèíäðè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ, êîãäà âåêòîð B íàïðàâëåí ïî îñè z.
Âû÷èñëèì ýíåðãèþ âèõðÿ åäèíè÷íîé äëèíû, îãðàíè÷åííîãîïëîñêîñòÿìè z = 0, z = 1. Èíòåãðàë ïî òîðöåâûì îêðóæíîñòÿì ðàâåí íóëþ, òàêêàê âåêòîð [rotB × B] ëåæèò â ïëîñêîñòè ýòèõ òîðöîâ. Ïîñêîëüêó ïîëå âèõðÿB → 0, ïðè ρ → ∞, òî èíòåãðàë è ïî áåñêîíå÷íî óäàëåííîé öèëèíäðè÷åñêîéïîâåðõíîñòè â (81) îáðàùàåòñÿ â íóëü.
Èòàê,Z£ ¡¢¤1ε=dV B λ2 rotrotB + B .(82)8π ñèëó óðàâíåíèÿ (69), âûðàæåíèå â êðóãëûõ ñêîáêàõ åñòü δ -ôóíêöèÿ. Ïîýòîìó,èñïîëüçóÿ (73), ïîëó÷è쵶2Φ0Φ0 B (0)ε==ln (ξ/λ)(83)8π4πλÂî âíåøíåì ïîëå ìèíèìóì äîëæíà èìåòü ýíåðãèÿ ÃèááñàZBH0ε1 = ε −dV.4π(84)H0 ìîæíî âûíåñòè çà çíàê èíòåãðàëà. Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî âèõðü íåñåò îäèí êâàíòìàãíèòíîãî ïîòîêà, òîZZ 1 ZBBΦ0dV =dzdS =.(85)4π4π4π0Èòàêµε1 =Φ04πλ¶2ln (ξ/λ) −Φ0 H0.4π(86)Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â ñëàáîì ìàãíèòíîì ïîëå ε1 > 0 è îáðàçîâàíèå âèõðÿ íåâûãîäíî. Èç (86) ñëåäóåò, ÷òî ìèíèìàëüíîå ïîëå ïðè êîòîðîì ε1 < 0 åñòüHc1 =Φ0Φ0ln (ξ/λ) =ln (κ) .24πλ4πλ2(87)Ýòî ïîëå íàçûâàåòñÿ ïåðâûì êðèòè÷åñêèì ïîëåì, ïðè êîòîðîì âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå íà÷èíàåò ïðîíèêàòü â ñâåðõïðîâîäíèê.
Âñïîìèíàÿ îöåíêó (66), ïîëó÷èìHc1 (T → Tc ) ∼ Hc1 (0) (Tc − T ) .198(88)Ëåêöèÿ 13. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü I - ôåíîìåíîëîãèÿ13.13.3Âòîðîå êðèòè÷åñêîå ïîëåÍàéäåì òåïåðü âòîðîå êðèòè÷åñêîå ïîëå, ïðè êîòîðîì ïî÷òè âåñü îáðàçåö íàõîäèòñÿ â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè, òî åñòü ïàðàìåòð ïîðÿäêà Ψ ìàë. Èç ïåðâîãîóðàâíåíèÿ Ãèíçáóðãà Ëàíäàó èìååì¶2µ2π2(89)ξ i∇ +A ψ = aψ, a = 1 − |ψ|2Φ0 ñèëüíîì ïîëå ñâåðõïðîâîäÿùàÿ ôàçà ñëàáà, è â óðàâíåíèè (89) íåëèíåéíîñòüïðîÿâëÿåòñÿ òîëüêî â òîì ñìûñëå, ÷òî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿa < 1.Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (89) ïîòåíöèàë A = (0, Bx, 0) :µ¶2222e2∂ ψ222∂ ψ−ξ+ξ/~i~∇+Bxψ−ξ= aψ.(90)∂x2c∂z 2Ïîõîæåå óðàâíåíèå ðåøàëîñü â ðàçäåëå î ìàãíåòèçìå ýëåêòðîííîãî ãàçà. Åñëèóñòàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå~2m0 = 2 , e0 = 2e,2ξòî ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîì ïîë嵶2~2 ∂ 2 ψ1e0~2 ∂ 2 ψ− 0 2 +−i~∇−Bxψ−= aψ.(91)2m ∂x2m0c2m0 ∂z 2022eBξ~e BÌèíèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå óðàâíåíèÿ (91) åñòü a = 2m.
Íàñ0c =~cèíòåðåñóåò ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, êîãäà a < 1. Èòàê, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (90)ñóùåñòâóåò (ïðè a < 1 ), åñëè2eBξ 2< 1.~cÒîãäà âåðõíåå êðèòè÷åñêîå ïîëå îïðåäåëèòñÿ êðèòåðèåìHc2 =~c.2eξ 2(92)Ýòî óñëîâèå èìååò ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Âî âíåøíåì ïîëå H ∼ Hc2 ïîëå ïî÷òè ïîëíîñòüþ ïðîíèêàåò â îáðàçåö. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäóâèõðÿìè ñòàíîâèòñÿ ïîðÿäêà òîëùèíû ñåðäöåâèíû âèõðÿ.è ïîëå âíóòðè ñâåðõïðîâîäíèêà h ∼.Hc2 . Ñëåäîâàòåëüíî îäèí âèõðü íåñåò ìàãíèòíûé ïîòîê ïî ïîðÿäêóâåëè÷èíû ðàâíûé ξ 2 Hc2 .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòîò ïîòîê ðàâåí Φ0 , ÷òî è îòðàæàåòêðèòåðèé (92).Çàìåòèì, ÷òî ïðè ïðèáëèæåíèè H0 ê Hc2 ïàðàìåòð ïîðÿäêà |Ψ|2 = 1 − H0 /Hc .Ñòðîãèé àíàëèç, îñíîâàííûé íà óðàâíåíèÿõ Ãèíçáóðãà-Ëàíäàó,ïîêàçûâàåò,√÷òî â ñâåðõïðîâîäíèêàõ âòîðîãî ðîäà, äëÿ êîòîðûõ κ > 1/ 2, â èíòåðâàëåHc1 < H0 < Hc2 îáðàçóþòñÿ âèõðè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
