Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ñîãëàñíî êâàíòîâîé ìåõàíèêå,ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, ñîçäàâàåìîãî ýëåêòðîíàìè â ïðèñóòñòâèè ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà, ðàâíà (âñïîìíèì,³ ÷òî ñêîðîñòüçàðÿæåííîé ÷àñòèöû åñòüe ´îòíîøåíèå êèíåìàòè÷åñêîãî èìïóëüñà p − A0 ê ìàññå)c³´e+*¶p̂ − A0Xµ k®+cΨ̂0 = e+ vs â+j = evn = e ReΨ̂0k âk .mmÂíåñåì çíàê ñóììû ïîä çíàê ñòàòèñòè÷åñêîãî óñðåäíåíèÿDXEe DX + Ej = evsâ+â+kâk âkk km(83)Òîãäà â ïåðâîì ÷ëåíå ïîëó÷àåì ïîëíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ Ne , à âî âòîðîì ñó÷åòîì (79) òîê êâàçè÷àñòèöEe DX +j = evs Ne +kb̂kσ b̂kσ(84)mEDPb̂=(Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó (83) òîê îáðàùàåòñÿ â íóëü, êîãäà P =kb̂+kσkσ−mvs Ne ò.å. êîãäà èìïóëüñ êâàçè÷àñòèö ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóåò ñóììàðíûé èìïóëüñ ýëåêòðîíîâ, äâèãàþùèõñÿ êàê öåëîå ñî ñêîðîñòüþ vs )Ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå êâàçè÷àñòèö íåò, è â ñèñòåìå ñóùåñòâóåò íåçàòóõàþùèé òîêj = evs NeÈç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî â îáðàçîâàíèè ñâåðõòåêó÷åãî ýëåêòðè÷åñêîãî òîêàïðèíèìàþò ó÷àñòèå âñå ýëåêòðîíû. Ýòî óäèâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ïðè ïåðåõîäå âñâåðõïðîâîäÿùåå ñîñòîÿíèå ïî Áîãîëþáîâó ïåðåñòðàèâàþòñÿ òîëüêî ýëåêòðîíû âóçêîé êîðî÷êå îêîëî ïîâåðõíîñòè Ôåðìè.Ïðè T 6= 0 â òåðìîäèíàìè÷åñêîì ðàâíîâåñèè ÷èñëî êâàçè÷àñòèö â çàäàííîìñîñòîÿíèè ðàâíîED1b̂.nbk = b̂+kσ kσ = β ε̃ke +1Ýíåðãèÿ êâàçè÷àñòèö çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ.
Åñëè ñêîðîñòü ìàëà, òî ε̃k ≈ εk +vs k è∂nbknbk (ε̃k ) ≈ nbk (εk ) + (vs k)(85)∂εkÒîëüêî ïîïðàâêà â (85) äàåò âêëàä êâàçè÷àñòèö â ýëåêòðè÷åñêèé òîê ïðè ïîäñòàíîâêå (85) â (84):¯¯X ¯ ∂nbk ¯ee X∂nbk2¯¯(86)=−vsk ¯j̃ =k (vs k)m∂εk3m∂εk ¯218Ëåêöèÿ 14. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿÇäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî, åñëè ïåðåéòè îò ñóììèðîâàíèÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî k, òîZZX∂nbk∂nbkVk (vs k)=dkk (vs k) dΩk =(87)3∂ε∂ε(2π)kkkZZX ∂nbk∂nbk∂nbkVV2dk(4π/3) vs k = vs /3dk(4π/3) k 2 = vs /3k 2 (88).33∂ε∂ε∂ε(2π)(2π)kkkkÂîçíèêàþùèé(87) çäåñü èíòåãðàë ïî óãëàì ñ÷èòàåòñÿ òàê:ZdΩk (vs k) = avs .(89)Äîìíîæèâ îáå ÷àñòè ñêàëÿðíî íà vs , ïîëó÷èìZ πZ222avs = dΩ (vs k) = 2πvsd (− cos θ) cos2 (θ) = vs2 4π/3.(90)0Òî åñòü a = 4π/3.Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî êâàçè÷àñòèöû ñîçäàþò ýëåêòðè÷åñêèé òîê (86), ïðîòèâîïîëîæíûé ñêîðîñòè vs , â íàïðàâëåíèè êîòîðîé òå÷åò ýëåêðè÷åñêèé òîê ýëåêòðîíîâ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè .
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè vsñ óâåëè÷åíèåì òåìïåðàòóðû ñâåðõòåêó÷èé òîê ïàäàåòj = evs Ns (T ) ,ãäå ïëîòíîñòü ñâåðõòåêó÷èõ ýëåêòðîíîâ ðàâíà1 X 2 ∂nbkkNs (T ) = Ne +3∂εkkÊîãäàNs (T ) = 0,ñâåðõòåêó÷åñòü ïðîïàäàåò. Ýòî ïðîèñõîäèò ïðè T = Tcµµ¶¶1 X 2 ∂nbk1 X 2 ∂nbkk=k= −Ne3∂εk Tc3∂ |ξk | ∆=0kkÈñïîëüçóÿ (82), íàïèøåì ìàêñèìàëüíûé (êðèòè÷åñêèé) òîêj=e∆Ns ,pF(91)C ïîìîùüþ ôîðìóë (74) âåðíåìñÿ â èñõîäíîå ïðåäñòàâëåíèå³ e´e(92)j = Ns − A + (~∇χ)mcÝòî åñòü êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíàÿ ôîðìóëà äëÿ ïëîòíîñòè òîêà ñâåðõïðîâîäÿùèê ýëåêòðîíîâ â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Ïðè êàëèáðîâî÷íîì ïðåîáðàçîâàíèèìåíÿåòñÿ âåêòîðíûé ïîòåíöèàë è ôàçà âîëíîâîé ôóíêöèè, íî âèä âûðàæåíèÿâ ñêîáêàõ îñòàåòñÿ íåèçìåííûì. Ýòîò òîê ñóùåñòâóåò â ñîñòîÿíèè òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ, â îòëè÷èå îò òîêà ýëåêòðîíîâ â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè,êîòîðûé åñòü ïðîÿâëåíèå íåîáðàòèìîãî ïðîöåññà ñ âûäåëåíèåì òåïëà.219Ëåêöèÿ 14.
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿ14.8 Òåïëîåìêîñòü ñâåðõïðîâîäíèêà .Òåïëîâûå ñâîéñòâà ñâåðõïðîâîäíèêà îïðåäåëÿþòñÿ åãî âîçáóæåíèÿìè - êâàçè÷àñòèöàìè, êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôåðìè-ãàç ñ íóëåâûì õèìè÷åñêèìïîòåíöèàëîì. Ýíòðîïèÿ ýòîãî ãàçà ðàâíàXS=−[n ln n + (1 − n) ln(1 − n)]pn = (eβε + 1)−1 , ε = ξ 2 + ∆2 .Òåïëîåìêîñòü ðàâíàX ∂S ∂nX∂S∂n=T=−T [ln n − ln(1 − n)]∂T∂n ∂T∂Tn1ln n − ln(1 − n) = ln= − ln( − 1) = −βε1−nnC=TÒàêèì îáðàçîìX ∂nε .∂TÏðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ òåïëîåìêîñòü ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëà. Âáëèçè êðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû ñàìîå ñëîæíîå - íàéòè ïðîèçâîäíóþ îò ðàñïðåäåëåíèÿ êâàçè÷àñòèö∂n∂n ∂βε∂nε1 1 ∂∆2== T (− 2 +)∂T∂βε ∂T∂ε TT 2ε ∂TC=Êâàäðàò ùåëè ëèíåéíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû∂∆2∂Tc − TTc=Tc=−∂T∂TAA¯¯¯X ¯ ∂n ¯ ε2X ¯ ∂n ¯¯TTcc¯ ¯( +¯ ¯ = Cn + Tc ν(0)Cs =) = Cn +¯ ∂ε ¯ T¯ ∂ε ¯2A2A2AÒàê êàê Cn =ðàâåíπ2ν(0)T3, òî ñêà÷åê òåïëîåìêîñòè â òî÷êå ôàçîâîãî ïåðåõîäàCs − CnTc ν(0)3=== 1, 432πCn2Aπ 22A 3 ν(0)TÝëåêòðîí-ôîíîííîå âçàèìîäåéñòâèå Ïîêàæåì òåïåðü, êàêèì îáðàçîìýëåêòðîí-ôîíîííîå âçàèìîäåéñòâèå ìîæåò ïðèâåñòè ê ýôôåêòèâíîìó ïðèòÿæåíèþ ýëåêòðîíîâ.
 îòñóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåêòðîíàìè è ðåøåòêîéãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû èìååò âèä.XX(93)c+εk a+H0 =~ωq c+q qk ak .qkÊîãäà àòîìû ðåøåòêè êîëåáëþòñÿ âîçíèêàåò ëîêàëüíàÿ äåôîðìàöèÿ ðåøåòêèè âîçíèêàåò ëîêàëüíàÿ ïîëÿðèçàöèÿ, îïèñûâàåìàÿ äèïîëüíûì ìîìåíòîì P (r) .220Ëåêöèÿ 14. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿÂîçíèêàþùåå ïðè ýòîì èçìåíåíèå ïëîòíîñòè ñâÿçàííîãî çàðÿäà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äèïîëüíûé ìîìåíò ñîîòíîøåíèåì ρ (r) = − divP (r) .
Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíà, íàõîäÿøåãîñÿ â òî÷êå r, ñ ýòîé ïîëÿðèçàöèåé äàåòñÿ âûðàæåíèåìZe Q (r − r0 ) divP.Åñëè áû íå áûëî äåáàåâñêîé ýêðàíèðîâêè (ñì. íàøè Ëåêöèè ïî ôèçè÷åñêîé êèíåòèêå ), òî Q (r − r0 ) ïðîñòî îïèñûâàëî áû êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå.  ñèëóýêðàíèðîâêè, êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå îáðåçàåòñÿ íà ìåæàòîìíîì ðàññòîÿíèèa ∼ ~/pF . Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîQ (r − r0 ) = a2 δ (r − r0 ) .Äèïîëüíûé ìîìåíò P ∼ neu, ãäå n êîíöåíòðàöèÿ ýòîìîâ, ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíûðàâíàÿ êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîâ, u ñìåùåíèå óçëà ðåøåòêè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ðàññìîòðèì âêëàä â divP îò íåêîòîðîé ôóðüå-êîìïîíåíòû ôëóêòóàöèåédivPk ∼ V −1/2 ikuk . ÏîýòîìóVk ∼ V −1/2 ie2 a2 n (ω/s) uk .Îïåðàòîð ñìåùåíèÿ åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ôîíîíîâ c+ è c.
 ëåêöèè ïî ôîíîíàì áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âýòîîïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ âõîäÿò â êîìáèíàöèèq ðàçëîæåíèå¡¢+~i 2nM ωk ck + ck .Ïîýòîìó ïðîöåññ, ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò ïîãëîùåíèå èëè èñïóñêàíèå ôîíîíà îïèñûâàåòñÿ îïåðàòîðîìr¡¢~Vk ∼ V −1/2 ie2 a2 n (ωk /s)ck + c+k ∼2nM ωkrr2 2¡ 3 ¢ e2¢ωk ~ωk ~ ¡−1/2−1/2 ne a= iVnack + c+iVk .s2nMas 2nM1/2(94)Òèïè÷íûé ìàñøòàá ýíåðãèé â ìåòàëëå åñòü e2 /a.
Ïðèðàâíèâàÿ ýòó âåëè÷èíó êè2íåòè÷åñêîé p÷àñòè ýíåðãèèäëÿ ñêîðîñòü çâóêà îöåíêóp êîëåáàíèé M s /2 , ïîëó÷èì2s ∼ aωD ∼ e2 /aM ∼ pF /mM . Êðîìå òîãî na3 ∼ 1. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè îöåíêè â(94), ïîëó÷èìr¢~ωk ¡Vk ∼ iV −1/2 pFck + c+k .2nmÏîãëîùåíèå èëè èñïóñêàíèå ôîíîíà, ïðîèñõîäèò ïðè ðàññåÿíèè ýëåêòðîíà. Ïîëíûé ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû ýëåêòðîíîâ è ôîíîíîâ ñ ó÷åòîì âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó íèìè ìîæåò, òàêèì îáðàçîì, áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäåH0 =Pq~ωq c+q cq+PkH = H0 + V p¢¡P+εk a+~ωq a+k ak ; V = Dk+q ak cq + c−q(95)kqÇäåñü c+q , cq − îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ôîíîíîâ ñ èìïóëüñîì è ýíåðãèåé q è ωq ñîîòâåòñòâåííî; a+k , ak − îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ñ èìïóëüñîì k è ýíåðãèåé εk , ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñëåäíèé ÷ëåí â (95) îïèñûâàåò ðàññåÿíèå ýëåêòðîíîâ íà êîëåáàíèÿõ ðåøåòêè ñ èñïóñêàíèåì (ïîãëîùåíèåì)221Ëåêöèÿ 14. Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿôîíîíà, ïðè÷åì D− ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïåðåõîäà.
Ãàìèëüòîíèàí V îïèñûâàåòðàññåÿíèå ýëåêòðîíà ñ èñïóñêàíèåì èëè ïîãëîùåíèåì ýëåêòðîíà. Ãàìèëüòîíèàíðàññåÿíèÿ (ÁÊØ) âîçíèêàåò êàê ïðîöåññ âòîðîãî ïîðÿäêà òåîðèè âîçìóùåíèé.Âìåñòî ñòàíäàðòíîé òåîðèè âîçìóùåíèé óäîáíî ïðèìåíèòü êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâíèå, ïðåäëîæåííîå Ôðåëèõîì,H̃ ≡ e−S HeS = H + [H, S] +1[[H, S] , S] ...2(96)Ïåðåõîä îò H ê H̃ ñ ïîìîùüþ óíèòàðíîãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ îçíà÷àåò ïðîñòî ïåðåõîä ê äðóãîìó áàçèñó, â êîòîðîì ãàìèëüòîíèàí ìîæåò âûãëÿäåòüïðîùå.Áóäåì ñ÷èòàòü V ìàëûì âîçìóùåíèåì ïî ïàðàìåòðó D. Òîãäà S òàêæå ìàëîïî ýòîìó ïàðàìåòðó.
Âûáåðåì S èç óñëîâèÿ îáðàùåíèÿ â íóëü â H̃ ëèíåéíûõ ïîD ÷ëåíîâ:V + [H0 , S] = 0(97)Âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèéH̃ ≡ e−S HeS = H0 + [V, S] + 12 [[H0 , S] , S] + O (D3 ) == H0 + 12 [V, S] + O (D3 )(98)Ïåðåïèøåì (97) â áàçèñå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ãàìèëüòîíòàíà H0 ñ ñîáñòâåííûìèçíà÷åíèÿìè Em . ÒîãäàVmnSmn =.(99)En − Emè ýôôåêòèâíûé ãàìèëüòîíèàí ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíîâ ÷åðåç îáìåí âèðòóàëüíûìôîíîíîì ðàâåí1H2 = [V, S]2Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì íóëåâûõ òåìïåðàòóð (êîãäà ôîíîíû âîçíèêàþò ëèøü âèðòóàëüíûìîáðàçîì).Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèè H̃ íàñ èíòåðåñóåòDEìàòðè÷íûé ýëåìåíò0 | H̃ | 0 (ÿâëÿþùèéñÿ îïåðàòðîì ïî îòíîøåíèþ ê ýëåêòðîííîìó ãèëüáåðòîâó ïðîñòðàíñòâó). Çäåñü |0i ôîíîííàÿ êîìïîíåíòà ïîëíîéâîëíîâîé ôóíêöèè ýëåêòðîí-ôîíîííîé ñèñòåìû ïðè îòñóòñòâèè ôîíîíîâ.
Ïðèâû÷èñëåíèè ýíåðãèè âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé íàñ èíòåðåñóþò ìàòðè÷íûå ýëåìåíòûp~ωq a+Pk−q akh1q | S | 0i = D,− εk−q − ~ωqk εkp(100)~ωq a+Pk+q akh0 | S | 1q i = D,k εk + ~ωq − εk+qçäåñü |1i ôîíîííàÿ êîìïîíåíòà âîëíîâîé ôóíêöèè ýëåêòðîí-ôîíîííîé ñèñòåìûñ îäíèì ôîíîíîì â ñîñòîÿíèè q . Î÷åâèäíî, ÷òîXp(101)a+h0 | V | 1q i = D ~ωqk+q ak ,h1q | V | 0i = Dpk~ωqXk222a+k−q ak .(102)Ëåêöèÿ 14.
Ñâåðõïðîâîäèìîñòü II - ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿÈñïîëüçóÿ (100)-(102), ïîëó÷èì~ωq a+~ωq a+11 2X +k−q akk+q ak[V, S] = Dak0 +q ak0−a+k0 −q ak022ε−ε−~ωε+~ω−εkk−qqkqk+qkqk0(103)Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ωq = ω−q , âî âòîðîì ñëàãàåìîì äåëàåì çàìåíó q → −q è+ïåðåñòàâèì ïàðû îïåðàòîðîâ a+k+q ak è ak0 −q ak0 .(Êîììóòàòîð ýòèõ îïåðàòîðîâ åñòüêâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïî îïåðàòîðàì è ìîæåò áûòü âêëþ÷åí â ïåðåíîðìèðîâêóεk .)µ¶P11++1 2~ωq ak0 +q ak0 ak−q ak−=D2εk − εk−q − ~ωq εk + ~ωq − εk−qkqk0P +(~ωq )2= D2ak0 +q ak0 a+a=(104)k−q k(εk − εk−q )2 − (~ωq )2kqk0P + +(~ωq )220=Dak−q ak0 +q ak ak.(εk − εk−q )2 − (~ωq )2kqk0Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè|εk − εk−q | < ~ωq ,(105)òî àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ äâóõ ýëåêòðîíîâ èìååò îòðèöàòåëüíûé çíàê.Èòàê, ïîñëå êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâíèÿ ãàìèëüòîíîàí ýëåêòðîí-ôîíîííîéñèñòåìû èìååò âèäH = H0 + D2Xkqk0(~ωq )2++022 ak−q ak0 +q ak ak(εk − εk−q ) − (~ωq )(106)Íàèáîëüøèé ôàçîâûé îáúåì ∼ q 2 îòâå÷àåò ïðîöåññàì, â êîòîðûõ èìïóëüñ q äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ q ∼ ~/a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
