Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Âîëíû,âðàùàþùåéñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íå ñóùåñòâóåò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè çàäàííîì ~k èìååòñÿ òîëüêî îäíà âîëíà. Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ òåîðåìîé Ãîëäñòîóíà,êîòîðàÿ ïðåäñêàçûâàåò íàëè÷èå ν áåçùåëåâûõ ìîä êîëåáàíèé â ñèñòåìå, êîòîðàÿ164Ëåêöèÿ 12. Ôåððîìàãíèòíûå ìàãíîíûèìååò ν ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, íå ìåíÿþùèõ ýíåðãèþ.îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ. Âòðåõìåðíîì ôåððîìàãíåòèêå äëèíà ñïèíà ÿâëÿåòñÿ ôèêñèðîâàííîé âåëè÷èíîé, èèìååòñÿ òîëüêî îäíî ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè - ïîâîðîò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ñïîíòàííîãî ìîìåíòà. Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ñïèíîâûå âîëíû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê áîçå-ãàç ìàãíîíîâ, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿêîòîðûõ åñòü ðàñïðåäåëåíèå Ïëàíêà-Áîçå-Ýéíøòåéíà®nk = a+a=kk1−1eβωkÎòñþäà ïîëíîå ÷èñëî ìàãíîíîâ ðàâíîZXd3 k1Nmagn =nk =∼ T 3/23k2(2π~) exp( 2m∗ T ) − 1Ìàãíîíû îïðåäåëÿþò òåìïåðàòóðíóþ çàâèñèìîñòü íàìàãíè÷åííîñòè ïðè íèçêèõòåìïåðàòóðàõM = M0 − constNmagn = M0 − constT 3/2è ïîâûøàþò ýíåðãèþ òåëàEmagn =XZnk ωk =1k2d3 k∼ T 5/22(2π~)3 exp( 2mk ∗ T ) − 1 2m∗Îòñþäà íàõîäèì ìàãíîííûé âêëàä â òåïëîåìêîñòü òåëà:Cmagn =∂Emagn∼ T 3/2∂TÏðè äîñòàòî÷íî íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ýòà âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùåé,ïîñêîëüêó ôîíîííàÿ òåïëîåìêîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà T 3 .
Îäíàêî â ôåððîìàãíèòíûõ ìåòàëëàõ ãëàâíóþ ðîëü èãðàåò òåïëîåìêîñòü ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè(Cmet ∼ T ).12.2 Ïðåîáðàçîâàíèå Õîëñòåéíà-Ïðèìàêîâà, çàêîí äèñïåðñèè ìàãíîíîâÐàññìîòðèì ñïåêòð âîçáóæäåíèé â ñèñòåìå â ìîäåëè Ãàéçåíáåðãà, ãàìèëüòîíèàíêîòîðîé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó îáìåííûõ è çååìàíîâñêèõ ÷ëåíîâ ,XX(24)H = −JSj Sj+δ − 2µ0 hSjz .j,δjÇäåñü Sj − îïåðàòîð ñïèíà, íàõîäÿùåãîñÿ â óçëå ðåøåòêè j, êîòîðàÿ äëÿ ïîðîñòîòû ñ÷èòàåòñÿ êóáè÷åñêîé; δ− íóìåðóåò ìíîæåñòâî óçëîâ ðåøåòêè, áëèæàéøèõê j; h− ìàãíèòíîå ïîëå, íàïðàâëåííîå ïî îñè z.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âçàèìîäåéñòâóþò òîëüêî áëèæàéøèå ñîñåäè. Êîìïîíåíòû ñïèíà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìSj Sj = S(S + 1).165Ëåêöèÿ 12. Ôåððîìàãíèòíûå ìàãíîíûÄëÿ ïåðåõîäà îò ñïèíîâûõ îïåðàòîðîâ ê áîçåâñêèì âûïîëíèì ïðåîáðàçîâàíèåÕîëñòåéíà-ÏðèìàêîâàÃSj+Sj−!1/2+aajj= Sjx + iSjy = (2S)1/2 1 −aj ,2SÃ!1/2+aajj= Sjx − iSjy = (2S)1/2 a+1−,j2S(25)S z = S − a+j aj ,ïðè ýòîì ìû òðåáóåì âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ£¤aj , a+= δiji(26)Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ââåäåííûå òàêèì îáðàçîì ïðåîáðàçîâàíèÿ íåïðîòèâîðå÷èâû, òàê êàê ïî-ïðåæíåìó âûïîëíÿþòñÿ êîìóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ£ ± z¤Sj , Sj = ∓Sj± ,(27)£ + −¤Sj , Sj= 2Sz(28)Íàñ áóäóò â îñíîâíîì èíòåðåñîâàòü ñëàáîâîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû,êîãäà + ®aj ajhnj i=¿ 1.(29)SSÏîýòîìó ïðåîáðàçîâàíèå Õîëñòåéíà-Ïðèìàêîâà ïðèáëèæåííî çàïèøåòñÿ â âèäåSJ+ ≈ (2S)1/2 aj ,Sj−Sjz1/2(30)a+j ,≈ (2S)≈ S − a+j aj .+Ïî ôîðìóëå (61) ïåðåéäåì îò îïåðàòîðîâ a+j , aj ê íîâûì îïåðàòîðàì ak , akaj =1 X −ikj1 X ikj ++ea,a=e ak .kjN 1/2 kN 1/2 k(31)Ëåãêî ïðîâåðèòü , èñïîëüçóÿ (63) è (64), ÷òî èìååò ìåñòî ïðåîáðïçîâàíèåak =1 X ikj1 X −ikj ++=ea,aeaj .jkN 1/2 jN 1/2 jÈñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (32), (64),(26), ïîëó÷èì, ÷òî£ + +¤£¤0 , [ak , ak0 ] = 0, a , a 0ak , a+=δ0kkkk = 0.kÏîñêîëüêóSix Sjx+Siy SjySi+ Sj− + Sj− Si+, i 6= j,=2166(32)(33)Ëåêöèÿ 12.
Ôåððîìàãíèòíûå ìàãíîíûòîSi+ Sj− + Sj− Si+Si Sj =+ Siz Sjz(34)2 ðåçóëüòàòå, ïîñëåäîâàòåëüíî äåëàÿ ïîäñòàíîâêè (34), (30), (31), ïîëó÷èìÃ!−−X Sj+ Sj+δX+ Sj+δSj+z− 2µ0 hH = −J+ Sjz Sj+δSjz2j,δjX£ ¡X¢¡¢¡¢¤+++= −JS aj a++aa+S−aaS−aa−2µhSjz = (35)jjj+δ0j+δj+δjj+δj,δX= −JS/Niq(j+δ) −ikjeaq a+eikj e−iq(j+δ) ak a+q +ek + JSX+a+(36)=j aj + aj+δ aj+δ ...j,δj,δ,k,q2H = −JN zS − 2µ0 H0 N S + H0 ,X¡X¢++H0 = −JzSγk ak a++γaa−2aa+2µha+−kkk0kkkk akkγk =j(37)(38)k1 X −ikδez δ(39)Ïðè ïåðåõîäå îò (35) ê (36) ìû âîñïîëüçîâàëèñü óñëîâèåì (29), îïóñòèâ ÷ëåíû÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïî îïåðàòîðàì ñïèíîâûõ âîëí.
Äëÿ êðèñòàëëîâ èìåþùèõ+öåíòð ñèììåòðèè γk = γ−k ,ïîýòîìó äåëàÿ ïîäñòàíîâêó ak a+k = 1 + ak ak è îïóñêàÿïîñòîÿííûé ÷ëåí ïîëó÷èìXH0 =[2JzS (1 − γk ) + 2µ0 h] a+(40)k ak =k=Xωk a+k ak(41)kÒàêèì îáðàçîì, ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ (êîãäà ÷èñëî âîçáóæäåíèé ìàëî è ìîæíî ïðåíåáðå÷ü èõ âçàèìîäåéñòâèåì) ãàìèëüòîíèàí (24) èçìîðôåí ñèñòåìå íåçàâèñèìûõ îñöèëëÿòîðîâ (ñïèíîâûõ âîëí). Ýòîò âûâîä àíàëîãè÷åí ðåçóëüòàòó, ïîëó÷åííîìó äëÿ êîëåáàòåëüíîãî ñïåêòðà êðèñòàëëîâ, äëÿ êîòîðûõ ãàìèëüòîíèàíòàêæå ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå íåçàâèñèìûõ îñöèëëÿòîðîâ, à ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ôîíîíàìè.Äëÿ äëèíîâîëíîâûõ âîçáóæäåíèé, êîãäà |kδ| ¿ 1,òîz(1 − γk ) ≈1X(kδ)2 = (ka)22 δ(42)Ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî äëÿ êóáè÷åñêîé ðåøåòêè |δi | = aÏîýòîìó ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ â ìîäåëè Ãàéçåíáåðãà ñ ôåððîìàãíèòíûì âçàèìîäåéñòâèåì ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìàãíîíû (ñïèíîâûå âîëíû) ñ êâàäðàòè÷íûì çàêîíîì äèñïåðñèèωk = 2µ0 H0 + 2JS (ka)2(43) îòñóòñâèå âíåøíåãî ïîëÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ãîëäñòîóíà ñïåêòð âîçáóæäåíèé ÿâëÿåòñÿ áåçùåëåâûì167Ëåêöèÿ 12.
Ôåððîìàãíèòíûå ìàãíîíû12.3 Ìàãíîííàÿ òåïëîåìêîñòüÄëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì íóëåâîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Òîãäà çàêîí äèñïåðñèè ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäåωk = Dk 2 , D = 2JSa2 .(44)Òîãäà ïðè òåìïåðàòóðå T ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäU =Xωk hnk i =Xk=ωkkT 5/24π 2 a3 D3/2Zxmdxx3/21eωkTex4πD=(2πa)3−1Z2πdkk 401eDk2T−1=(45)1, xm = 4π 2 D/T.−10Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ, êîãäà xm À 1 âåðõíèé ïðåäåë â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå çàìåíÿåòñÿ íà ∞. Òîãäà äëÿ ýíåðãèè è òåïëîåìêîñòè, ñîîòâåòñòâåííî èìååì0.45T 5/2,π 2 D3/2µ ¶3/2TdU= 0.1c =dTDU ≈(46)Ïîëó÷åííûé çàêîí òåïëîåìêîñòè ñïèíîâûõ âîëí íîñèò íàçâàíèå çàêîíà 3/2 Áëîõà. Ðàññìîòðåíèå âûñîêèõ òåìïåðàòóð íå èìååò ñìûñëà, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àåòåðÿåò ñìûñë èñïîëüçóåìîå ñïèíâîëíîâîå ïðèáëèæåíèå.12.4 Îäíîìåðíàÿ çàäà÷à Èçèíãà è ìåòîä òðàíñôåðìàòðèöû(òî÷íîå ðåøåíèå)Ãàìèëüòîíèàí îäíîìåðíîé çàäà÷è Èçèíãà â íóëåâîì ìàãíèòíîì ïîëå èìååò âèäH = −JN−1Xσj σj+1 , σ = ±1(47)j=1Òîãäà ñòàòñóììà çàïèøíòñÿZN =Xσ1 =±1X...Ãexp KσN =±1N−1X!σj σj+1 , K = J/T.j=1Ïðåäñòàâèì ýòó ñòàòñóììó â âèäåà N −2!XXXXZN =...exp Kσj σj+1exp (KσN −1 σN ) .σ1 =±1ÏîñêîëüêóPσN =±1σN −1 =±1(48)j=1(49)σN =±1exp (KσN −1 σN ) = 2chK,òîZN = ZN −1 (2chK) = Z2 (2chK)N −2 .168(50)Ëåêöèÿ 12.
Ôåððîìàãíèòíûå ìàãíîíûÍîZ2 =X Xexp (Kσ1 σ2 ) = 4chK.(51)σ1 =±1 σ2 =±1ÏîýòîìóZN = 2 (2chK)N −1 .(52)Ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ èìååò âèäF = −T ln Z = −N T ln (2chK)Ñîîòâåòñòâåííî ýíåðãèÿ è òåïëîåìêîñòü èìåþò âèäµ ¶J∂F= −N JthE =1T∂T TC =(53)∂EN J 2 /T 2=∂Tch2 TJ ïðåäåëå âûñîêèõ è íèçêèõ òåìïåðàòóð C → 0. ïðèñóòñòâèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòñóììàà N −1!NXXXXZ=...exp Kσj σj+1 + µ0 Hσjσ1 =±1σN =±1j=1(54)j=1íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëåíà áûòü íå ìîæåò. Óäîáíî îòîæäåñòâèòü 1-é è N-é óçëû. ìàêðîñêîïè÷åñêîì ïðåäåëå ýòî íå ñêàçûâàåòñÿ íà òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ñèñòåìû.Äëÿ ðàñ÷åòà ñòàòñóììû ââåäåì ìàòðèöó P âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ìàòðè÷íûìèýëåìåíòàìèP (σj , σj+1 ) = exp (Kσj σj+1 + µ0 Hσj ) .(55)Çäåñü σj = ±1 îïðåäåëÿåò äâå ñòðîêè, à σj+1 = ±1 äâà ñòîëáöà ìàòðèöû P.
Òîãä൶exp (K + M ) exp (−K + M )P =.(56)exp (−K − M ) exp (K − M )Îáîçíà÷èì ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ÷åðåç P (σ, σ 0 ) . Ýòî ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ñòàòñóììó â âèäåXXZ =...P (σ1 , σ2 ) P (σ2 , σ3 ) ...(57)...Xσ1 =±1σN −1 =±1P (σN −1 , σN ) P (σN , σ1 ) = SpP N =σN −1 =±1XλNj ,(58)jãäå λj - ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû P. Ñåêóëÿðíîå óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ λj èìååò âèä(exp (K + M ) − λ) (exp (K − M ) − λ) = e−2K169(59)Ëåêöèÿ 12. Ôåððîìàãíèòíûå ìàãíîíûêîòîðîå ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäåλ2 − 2λ exp KchM − e−2K = 0Îòêóäàµλ1λ2¶¡¢1/2= eK chM ± e2K sh2 M + e−2K.(60)(61)Ïðè N → ∞ â îêîí÷àòåëüíîì âûðàæåíèè äëÿ ñàòñóììû (58) ñëåäóåò îñòàâèòüòîëüêî áîëüøåå λmax .
ÏîýòîìóZ = λN(62)maxñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ äàåòñÿ âûðàæåíèåìF = −T N ln λmaxÇíàíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè ïîëíîñòüþ ðåøàåò ïîñòàâëåííóþ òåðìîäèíàìè÷åñêóþçàäà÷ó. Íàïðèìåð, íàìàãíè÷åííîñòü íà îäèí óçåë ðàâíàM∂F∂ ln λmax=−= −TN∂H∂H12.5 Òåîðåìà Ãîëäñòîóíà è ñïèíîâûå âîëíûÍåêîòîðûå âåùåñòâà â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè îáëàäàþò òàê íàçûâàåìûì äàëüíèì ïîðÿäêîì. Ýòîò ïîðÿäîê õàðàêòåðèçóåòñÿ ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà Mα (~r) - nêîìïîíåíòíîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé, êîððåëÿòîð êîòîðîé hMα (~r) , Mα (~r0 )i îñòàåòñÿ êîíå÷íûì ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèÿ |~r − ~r0 | . Íàïðèìåð,~ , êîôåððîìàãíåòèê õàðàêòåðèçóåòñÿ òðåõìåðíûì âåêòîðîì íàìàãíè÷åííîñòè Mòîðûé èìååò îäèíàêîâóþ âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå âî âñåõ òî÷êàõ ôåððîìàãíèòíîãî òåëà.
Ó ñåãíåòîýëåêòðèêîâ ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè , ó ñâåðõïðîâîäíèêîâ - ùåëü ýëåêòðîííîãî ñïåêòðà, â îñíîâíîìñîñòîÿíèè íåèäåàëüíîãî áîçå ãàçà ðîëü ïàðàìåòðà ïîðÿäêà èãðàåò âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ êîãåðåíòíîãî ñîñòîÿíèÿ. Ìû, äëÿ êîíêðåòíîñòè, áóäåì ãîâîðèòü îá èçîòðîïíîì ôåððîìàãíåòèêå, äëÿ êîòîðîãî n = 3. Ñóùåñòâåííî, ÷òî ýíåðãèÿ ôåððîìàãíåòèêà â îòñóòñòâèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ íàìàãíè÷åííîñòè. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ âûðîæäåíèåì îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ. Íàïðàâëåíèåâåêòîðà íàìàãíè÷åííîñòè õàðàêòåðèçóåòñÿ äâóìÿ óãëàìè (ïîëÿðíûì è àçèìóòàëüíûì). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòåïåíü âûðîæäåíèÿ ν = 2. Ñëàáîâîçáóæäåííûåñîñòîÿíèÿ ôåððîìàãíåòèêà îïèñûâàþòñÿ êîëåáàíèÿìè íàìàãíè÷åííîñòè ñî ñïåêòðîì ε (~q).
Êàæäîìó âîëíîâîìó âåêòîðó ~q îòâå÷àþò òðè âîçìîæíûõ ïîëÿðèçàöèè- òðè ìîäû - ñïèíîâûõ âîëí.Òåîðåìà Ãîëäñòîóíà óòâåðæäàåò, ÷òî â âåùåñòâå, êîòîðîå õàðàêòåðèçóåòñÿn-êîìïîíåíòíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà è èìååò ñòåïåíü âûðîæåíèÿ ν , ïî êðàéíåéìåðå ν áåçùåëåâûõ ìîä êîëåáàíèé. Çíà÷èò â ôåððîìàãíåòèêå åñòü ïî êðàéíåéìåðå äâå áåçùåëåâûõ ìîäû ñïèíîâûõ âîëí.Áóäåì îïèñûâàòü ñëàáîâîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ ôóíêöèîíàëîì ñâîáîäíîéýíåðãèè Ëàíäàó:#"ZX12(∇Mj )(63)F = d3 r U (M ) + g2 j170Ëåêöèÿ 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
