Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Èùåì ðåøåíèå â âèäå∂ak00= ηk ak + g (~ρ) a∗−k + Ak e−iωτ +sτ , Ak =i∂τak = ãk e−iωτ0 +sτ 0, ã∗−k = ã∗−k e−iωτ0 +sτ 0(ω + is − η)ãk = gã∗−k + Ak(−ω − is − η)ã∗−k = gãk + Ak133Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÎòñþäàak =SAkk2−iωτ 0 +sτ 0e,S=ω+.(ω + is)2 − ε22m(230)Êâàçèêëàññè÷åñêèé àíàëîã ãàìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ (201) ðàâåíHd = 2 Re LB0 [χ0 (~ρ) χ0 (~ρ)]ρ~=(~rd /b) .(231)Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîòåíöèàë, äåéñòâóþùèé íà äåôåêòñî ñòîðîíû âîçìóùåííîãî äåôåêòîì êîíäåíñàòà.
Ýòîò ïîòåíöèàë ñîçäàåò ñèëóòðåíèÿ· ¸∂d(232)F~ = −∂~ρ ρ~=(~rd /b)êîòîðàÿ ïðèâîäèò ê ïîòåðÿì ýíåðãèè·∂χ0 (~ρ)Ėτ = −V~ F~ = 2LB0 χ0 (~ρ) Re V~∂~ρ¸ρ~=(~rd /b)(Ïðîèçâîäíîé îò χ0 (~ρ) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü). Ïîäñòàâèì â ýòó ôîðìóëó, òîëüêî ÷òîíàéäåííîå âûðàæåíèå (230):Ėτ = 2LB0 χ0 (~ρ) ReXki~k V~ h i~k~ρ iSAk00pee−iωτ +sτ222ρ~=(~rd /b) (ω + is) − επR0 LÑ ó÷åòîì (205), (229) âñå ôàçû ñîêðàùàþòñÿ, è âîçíèêàåò ôîðìóëà, àíàëîãè÷íàÿ òîé, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå áûñòðîé ÷àñòèöû âñðåäåXiωSĖτ = 2 |Ak |2 Re(ω + is)2 − ε2kÊàê è äîëæíî áûòü, èíòåãðàë â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ âêëàäà â ïîòåðè íåäàåò.
Ïîòåðè ñâÿçàíû ñ ÷åðåíêîâñêèìè ïîëþñàìèω = kV cos ϕ = εÒàêèì îáðàçîìπR02Ėτ = π |Ak |2(2π)2Z∞Z2πdϕ[δ(kV cos ϕ − ε) + δ(kV cos ϕ + ε)](kV cos ϕ +kdk01 L=(B0 χ0 (rd /b))24π mk2)2m0Zk̄1k 2 dk p0V 2 − c2kÝòî âûðàæåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëåííîãî ìíîæèòåëÿ ñîâïàäàåò ñ êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîé ôîðìóëîé (216).134Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå9.3.13Â6. Ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñÎêàçûâàåòñÿ, ó ãàçà â ñèãàðîîáðàçíîé ëîâóøêå ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå ñóùåñòâóåò ìåõàíèçì ðàñïàäà îñöèëëèðóþùåãî êîíäåíñàòà äàæå â îòñóòñòâèè âíåøíèõ äåôåêòîâ. ×òîáû ïîêàçàòü ýòî, ëèíåàðèçóåì êâàçèêëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå(183)∂χ1 2 11 2 ∂ 2χi= [−∇ρ + mω02 ρ2 − µ]χ + U χ+ χχ −b,(233)∂τ2m22m ∂z 2îòíîñèòåëüíî ñëàáîãî îòêëîíåíèÿ ôóíêöèè χ = χ0 +χ0 îò êîíäåíñàòíîãî ñîñòîÿíèÿχ0 :i∂χ01 21 2 ∂ 2 χ0= [−∇ρ + G (ρ)]χ0 + G (ρ) χ0∗ −b, , G (ρ) = U0 χ20 (ρ)∂τ2m2m ∂z 2(234)Äëÿ ïîïåðå÷íûõ ìîä â ýòîì óðàâíåíèè íåò ïîñëåäíåãî ÷ëåíà ñ çàâèñÿùèìîò âðåìåíè êîýôôèöèåíòîì, è åãî ðåøåíèÿ äàþò äèñêðåòíûé ñïåêòð ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó óðîâíÿìè ïîðÿäêà ω0 (ñì.
(180)). Ïðè T ¿ ω0 ñàìîâîçáóæäåíèåïîïåðå÷íûõ âîëí íåâîçìîæíî.Ïðîäîëüíàÿ ìîäà ñ âîëíîâûì âåêòîðîì kz óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ∂χ0kz1 2 2 0i= Ḡ(χ0kz − χ0+bk χ ,−kz ) +∂τ2m z kz(235)â êîòîðîì ìû ïðåíåáðåãàåì çàâèñèìîñòüþ ðåøåíèÿ îò ðàäèóñà ρ è çàìåíÿåì ýôôåêòèâíîå ïîëå G (ρ) íà ñðåäíåå Ḡ. Ðîëü îñöèëëÿöèé êîíäåíñàòà â ñèñòåìå êîîðäèíàò (ρ, τ ) ñâîäèòñÿ ê êîëåáàíèÿì ýôôåêòèâíîé ïðîäîëüíîé ìàññû(m∗ = mb−2 (τ )).Èñêîìûì ìåõàíèçìîì ðàñïàäà êîíäåíñàòà ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ, îáóñëîâëåííûé êîëåáàíèÿìè ýôôåêòèâíîé ïðîäîëüíîé ìàññû. Ýòîò ðåçîíàíñ ïðèâîäèò ê ãåíåðàöèè áåçùåëåâûõ ïðîäîëüíûõ âîçáóæäåíèé.Ðàçëîæèì ïðîäîëüíîå ïîëå íà äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè:χ0kz = f + iF,∂f1 2 2∂F1 2 2=b kz F, −=(b k + 2Ḡ)f∂τ¶ 2m∂τ2m zµ∂2m ∂f1 2 2−=(b k + 2Ḡ)f22∂τ b kz ∂τ2m zÄëÿ ìàëûõ âîëíîâûõ âåêòîðîâ èìåå쵶∂1 ∂f−= Ω2 f, Ω = ckz ,∂τ b2 ∂τrc=Ḡm(236)(237)(238)(239)Ýòî óðàâíåíèå óäîáíî àíàëèçèðîâàòü â ñìåøàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò {ρ, t}.
Ïîñêîëüêóµ ¶µ ¶∂f∂f2=b∂τ ρ∂t ρòîc̄∂2f+ Ω2 (t) f = 0, Ω (t) = c (t) k, c (t) =(240)2∂tb (t)135Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÝòî åñòü êëàññè÷åñêàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà (ñì. íàïð.ÌÅÕÀÍÈÊÀ)Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì ìàëîãî èçìåíåíèÿ ðàäèóñà ëîâóøêè. Èç ôîðìóëû (185)ïîëó÷àåìb−2 = 1 + g cos 2ω1 t,g ≈β−1¿1(241) ýòîì ïðèáëèæåíèè óðàâíåíèå (240) èìååò âèä óðàâíåíèÿ Ìàòüå:∂ 2f+ ω 2 (1 + g cos 2ω1 t) f = 02∂t(242)Èùåì ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â ôîðìåf = a cos ω1 t + b sin ω1 t,a ∼ b ∼ est(243)Ïîäñòàâëÿÿ ýòó ôîðìóëó â óðàâíåíèå Ìàòüå, íàõîäèì ïîêàçàòåëü ðîñòà àìïëèòóäû:"µ# 21¶212s=gω0 − (ω − ω0 )(244)4Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ ðåàëèçóåòñÿ â ïîëîñå øèðèíû1δω = t−11 = gω1 ,2(245)ïðè÷åì â öåíòðå ðåçîíàíñàω = ckz = ω1èíêðåìåíò ðîñòà ðàâåí1s = gω1(246)4Çàìåòèì, ÷òî âîëíîâîé âåêòîð ïðèíèìàåò áëèçêèå, íî äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿkz = (2π/L) ∗ number.
Ïîýòîìó, äëÿ òîãî ÷òîáû õîòÿ áû îäíî çíà÷åíèå ýíåðãèè ôîíîíà ckz ïîïàëî âíóòðü ðåçîíàíñíîé ïîëîñû, ðàññòîÿíèå ìåæäó óðîâíÿìèδ(ckz ) = (2πc/L) äîëæíî áûòü ìåíüøå øèðèíû ïîëîñû (246). Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà(4πc/gω1 ) < L(247)Ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ ðàçâèâàåòñÿ ñ ìîìåíòà t = 0 è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñ ñàìîãî íà÷àëà èìååòñÿ íåíóëåâàÿ àìïëèòóäà ïðîäîëüíîé âîëíû. Ïðèêîíå÷íîé òåìïåðàòóðå - ýòî àìïëèòóäà òåïëîâûõ êîëåáàíèé. Ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå, ñòðîãî ãîâîðÿ, íåîáõîäèìî êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå íà÷àëüíîãî ýòàïà, âû÷èñëÿÿ èíòåíñèâíîñòü ãåíåðàöèè ïðîäîëüíûõ ïàð âîçáóæäåíèé ñèìïóëüñàìè kz è −kz . Îäíàêî, ê òîìó æå ðåçóëüòàòó ïðèâîäèò êâàçèêëàññè÷åñêîå îïèñàíèå ïðîöåññà, åñëè â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ ïðèíÿòü íóëåâûåïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ.136Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÁëàãîäàðÿ ïàðàìåòðè÷åñêîìó ðåçîíàíñó àìïëèòóäà ïðîäîëüíîé âîëíû, ïðèíàäëåæàùàÿ ðåçîíàíñòíîé ïîëîñå (244), ðàñòåò êàê exp (st), à ýíåðãèÿ, ïåðåõîäÿùàÿ îò êîíäåíñàòà â ïðîäîëüíûå âîçáóæäåíèÿ, ðàâí൶X1¡ 2st¢1E(t) '~ωk e − 1 θδω − |ωk − ω1 | .(248)22kÅñëè íåðàâåíñòâî (247) âûïîëíÿåòñÿ ñ áîëüøèì çàïàñîì, òî ñóììó ìîæíîçàìåíèòü íà èíòåãðàë è ïîëó÷èòügL~ω12E(t) =J(t),16πc̄Z1J(t) =−1·¸t√dx(exp1 − x2 − 1)t1(249)Ïðè áûñòðîì óìåíüøåíèè ÷àñòîòû ëîâóøêè îò ω0 äî ω1 êîíôèãóðàöèÿ êîíäåíñàòà íå óñïåâàåò èçìåíèòüñÿ, è ýíåðãèÿ êîíäåíñàòà ïàäàåò îò çíà÷åíèÿ E0 = 32 µN0äî1 ω2E 0 = ( 12 + 1)E0 .2 ω0Âû÷èòàÿ èç ýòîé ýíåðãèè ýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ, îòâå÷àþùåãî êîíå÷íîé÷àñòîòå E1 = ωω10 E0 , ïîëó÷àåì íà÷àëüíóþ ýíåðãèþ îñöèëëÿöèé êîíäåíñàòà1Ec = E 0 − E1 = g 2 E02(250)Òàêèì îáðàçîì, çàòóõàíèå îñöèëëÿöèé êîíäåíñàòà îïèñûâàåòñÿ îòíîøåíèåìE(t)3aω0=Ec4πgc̄µ~ω0µ¶3aJ(t) 'gR0µ~ω0µ¶3J(t).Ïðè ìàëûõ âðåìåíàõ J(t) ' t/t1 , (t1 = 2/gω0 ) ýòî îòíîøåíèå ðàâíîE(t)3 aω02'Ec16 c̄µ~ω0µ¶3(251)t.Êîãäà t À t1 , äåìïèíã ðàñòåò ýêñïîíåíöèàëüíîE(t)3 a'Ec2π gR0µ~ω0µ¶3 µ2πt1t¶1/2expt.t1(252)Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî âðåìÿ çàòóõàíèÿ îñöèëëÿöèé êîíäåíñàòà ñ ëîãàðèôìè÷åñêîé òî÷íîñòüþ ðàâíî2gR0t∗ =ln{gω1aµµ~ω0¶3 µt∗2πt1¶1/2}.(253)Ïåðåõîä ýíåðãèè îöèëëÿöèé êîíäåíñàòà â íåêîãåðåíòíûå ïðîäîëüíûå âîçáóæäåíèÿ ïðèâîäèò ê íàãðåâàíèþ ãàçà.
Îäíàêî ýíåðãèÿ (250) â ïåðåñ÷åòå íà îäíó137Ëåêöèÿ 10. Êîëëåêòèâíûå âîçáóæäåíèÿ â òâåðäûõ òåëàõ÷àñòèöó, ðàâíàÿ 13 g 2 µ, ìíîãî ìåíüøå òåìïåðàòóðû áîçå-êîíäåíñàöèè Tc , è òåïëîâîé ýôôåêò ìàë (Ec /Tc N0 ' g 2 (an1/3 ) ¿ 1).Òàêèì îáðàçîì, ñîâîêóïíîñòü ñâîéñòâ áîçå-ãàçà â ëîâóøêå äîêàçûâàåò, ÷òîïðè òåìïåðàòóðå, áëèçêîé ê íóëþ, ãàç ÷àñòèö ýêâèâàëåíòåí êëàññè÷åñêîìó íåëèíåéíîìó êîìïëåêñíîìó ïîëþ. Áîçå-êîíäåíñàò ïî ñâîåé ïðèðîäå àíàëîãè÷åí ïîëþëàçåðà, à òåïëîâûå íàäêîíäåíñàòíûå ÷àñòèöû íàïîìèíàþò êâàíòû ÷åðíîãî èçëó÷åíèÿ.
È òå, è äðóãèå îïèñûâàþòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ïëàíêà-Áîçå-Ýéíøòåéíà ñíóëåâûì õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì.10Ëåêöèÿ 10. Êîëëåêòèâíûå âîçáóæäåíèÿ â òâåðäûõ òåëàõ10.1 Ìîäåëü æåëå êîëëåêòèâíûå âîçáóæäåíèÿ â ìåòàëëàõÎïèøåì êîëëåêòèâíûå âîçáóæäåíèÿ â ìåòàëëàõ â ïðîñòåéøåé ìîäåëè, â êîòîðîéìåòàëë ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê õîëîäíàÿ ïëàçìà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ èç ñåáÿ êâàçèíåéòðàëüíóþ ñìåñü äâóõ ïðîòèâîïîëîæíî çàðÿæåííûõ æèäêîñòåé - ýëåêòðîíîâè èîíîâ .
Ýòî - ìîäåëü æåëå. Äëÿ ýòîé ìîäåëè ñëåäóåò âû÷èñëèòü äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü ε (k, ω), ïîëþñà êîòîðîé îïðåäåëÿþò ñïåêòð ñîáñòâåííûõêîëåáàíèé ïëàçìû.Âíåñåì â ïëàçìó (èëè îêîëî íåå) íåáîëüøîé âíåøíèé (ñòîðîííèé) çàðÿä ñïëîòíîñòüþ çàðÿäà ρcm (r, t) .
Ýòîò çàðÿä ñîçäà¸ò âíóòðè ïëàçìû ýëåêòðè÷åñêîåïîëå E . Ýòî ïîëå â ñâîþ î÷åðåäü èíäóöèðóåò âîçìóùåíèå ïëîòíîñòè ýëåêòðîíîâδρe (r, t) è δρi (r, t) èîíîâ. Âåëè÷èíà ýòîãî ïîëÿ çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà:divE = 4π(ρcm + δρe + δρi ),rotE = 0.(1)Ïîëåçíî ñîïîñòàâèòü ýòè ìèêðîñêîïè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ ìàêðîñêîïè÷åñêèìèóðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà:divD = 4πρcm ,rotD = 0,D = εE.(2)Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü äâèæåíèå çàðÿäîâ íåðåëÿòèâèñòñêèì è ïðåíåáðåãàòü èíäóöèðîâàííûì ìàãíèòíûì ïîëåì â ïðàâîé ÷àñòè âòîðîãî óðàâíåíèÿ (− 1c ∂B). Â∂týòîì ïðèáëèæåíèè ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì (E = −gradϕ).Ýëåêòðè÷åñêèé ïîòåíöèàë, ñîãëàñíî (1), (2) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì−∇2 ϕ(r, t) = 4π(ρcm (r, t) + δρe (r, t) + δρi (r, t)),−∇(ε∇ϕ(r, t)) = 4πρcm (r, t) (3)Ðàçëîæèì âñå âåëè÷èíû â ýòèõ óðàâíåíèÿõ ïî ïëîñêèì âîëíàì:ZZ 3d kdωi(kr−ωt), ϕ(k, ω) = d3 rdtϕ(r, t)e−i(kr−ωt) .ϕ(r, t) =4 ϕ(k, ω)e(2π)(4)è ïîëó÷èìk 2 ϕ(k, ω) = 4π(ρcm (k, ω) + δρe (k, ω) + δρi (k, ω)),138k 2 ε(k, ω)ϕ(k, ω) = 4πρcm (k, ω) .(5)Ëåêöèÿ 10.
Êîëëåêòèâíûå âîçáóæäåíèÿ â òâåðäûõ òåëàõÅñëè âíåøíåå âîçìóùåíèå çàäàíî â âèäå áåãóùåé âîëíû(ρcm (r, t) = ρcm (k, ω) exp i(kr − ωt))(6)òî óðàâíåíèÿ (5) îïèñûâàþò ëèíåéíûé îòêëèê íà ýòî âîçìóùåíèå. ×òîáû äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü, êîòîðóþ ìû äîëæíû âû÷èñëèòü, áûëà (â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèìè çàêîíàìè ýëåêòðîäèíàìèêè) àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé êîìïëåêñíîé ÷àñòîòû â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, ñëåäóåò ïðåäïîëàãàòü , áåñêîíå÷íîìåäëåííîå (àäèáàòè÷åñêîå) âêëþ÷åíèå âíåøíåãî âîçìóùåíèÿ. Ñëåäóÿ Áîãîëþáîâó, äëÿ ýòîãî ê ÷àñòîòå äîáàâëÿþò áåñêîíå÷íî ìàëóþ ìíèìóþ ÷àñòü δ > 0,áëàãîäàðÿ êîòîðîé âîçìóùåíèå exp (−i (ω + iδ) t) èñ÷åçàåò ïðè t → −∞. Äðóãîéñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ïðàâèëüíîãî àíàëèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ε (k, ω), - âìåñòî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïî âðåìåíè èñïîëüçîâàòü â (4) ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, âêîòîðîì âêëþ÷åíèå âíåøíåãî âîçìóùåíèÿ ïðîèñõîäèò â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 :∞+iδZϕ(t) =dωϕ(k, ω)e−iωt ,2πZ∞dtϕ(r, t)eiωtϕ(ω) =0−∞+iδÍèæå ýòó ìíèìóþ äîáàâêó ìû áóäåì îïóñêàòü è âñïîìèíàòü î íåé òîëüêî òîãäà,êîãäà îíà ñòàíîâèòñÿ âàæíîé.Èíäóöèðîâàííûå ïîëåì ïåðåðàñïðåäåëåíèå âíóòðåííèõ çàðÿäîâ ïðèíÿòî çàïèñûâàòü â ôîðìåδρe (k, ω) = Πe (k, ω)ϕ(k, ω),δρi (k, ω) = Πi (k, ω)ϕ(k, ω).(7)Êîýôôèöèåíòû Πe (k, ω), Πe (k, ω) íàçûâàþòñÿ ïîëÿðèçàöèîííûìè îïåðàòîðàìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
