Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ëèíåéíîçàâèñèò îò èìïóëüñà.rrµU0 N0εk = c~k, c ==, εk ¿ µ.(134)mmVÂåëè÷èíà c ÷èñëåííî ðàâíà ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñêîðîñòè çâóêà (122). Òàêèìîáðàçîì, êâàçè÷àñòèöû èãðàþò â áîçå-ãàçå ðîëü çâóêîâûõ êâàíòîâ - ôîíîíîâ.Ôàçîâàÿ ñêîðîñòü êâàçè÷àñòèö ðàâíàsεk(~k)2c(k) ==c 1+(135)~k4µmè åå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàâíî c. íåèäåàëüíîì áîçå ãàçå íåò äðóãèõ íèçêîëåæàùèõ ìîä âîçáóæäåíèé.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî êðèòåðèþ Ëàíäàó íåèäåàëüíûé ãàç ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõÿâëÿåòñÿ ñâåðõòåêó÷èì, ïîêà ñêîðîñòü ïîòîêà ìåíüøå ñêîðîñòè çâóêàv≤cÎäíèì èç ïðÿìûõ äîêàçàòåëüñòâ ñâåðõòåêó÷åñòè ÿâëÿåòñÿ íàáëþäåíèå íåçàòóõàþùèõ îñöèëëÿöèé ãàçà â ìàãíèòíîé ëîâóøêå (ñì. ðàçäåë Â).Èç ïðåîáðàçîâàíèé Áîãîëþáîâà ñëåäóåò, ÷òî ñðåäíåå ïî ñîñòîÿíèþ ãàçà ÷èñëî÷àñòèö ñ èìïóëüñîì k ðàâíîEDED®++222b̂(136)b̂b̂+vNk = â+â=v+ub̂kkk−k −k .k kk kÏðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå êâàçè÷àñòèöû îòñóòñòâóþò, è ïåðâûé ÷ëåí (136) äàåòµ¶1 ξk(0)2N k = vk =−1 .(137)2 εkÏðè εk ¿ µ ýòî ÷èñëî âåñüìà âåëèêî, íî ïðè εk À µ áûñòðî ïàäàåò.
Ïîëíîå ÷èñëîíàäêîíäåíñàòíûõ ÷àñòèö ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâíî,î÷åâèäíî, ÷èñëó ñîñòîÿíèé√ñâîáîäíûõ ÷àñòèö ñ èìïóëüñàìè ìåíüøå pmax = 2mµ . Ýòî ÷èñëî ðàâíî(0)n1 =pp31 X (0)Nk ' max 3 ' n0 n0 a3 .V(2π~)(138)Òåîðèÿ Áîãîëþáîâà îïèðàåòñÿ íà ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè áîëü(0)øèíñòâî ÷àñòèö íàõîäèòñÿ â êîíäåíñàòå, è n1 ¿ n0 . Îòñþäà íàõîäèì îöåíêóìàêñèìàëüíîé ïëîòíîñòè ãàçàmax n0 ' a−3 ,116(139)Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÏîëó÷èëè åñòåñòâåííûé ðåçóëüòàò: ãàç ìîæíî ñ÷èòàòü ðàçðåæåííûì, ïîêà ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷àñòèöàìè âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé ðàññåÿíèÿ.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòîìµ' an1/3 ¿ 1.TcÝòî îçíà÷àåò ÷òî òåìïåðàòóðà, èìåþùàÿ ïîðÿäîê âåëè÷èíû µ, ìíîãî íèæåòåìïåðàòóðû ôàçîâîãî ïåðåõîäà, è ñóùåñòâóåò øèðîêàÿ îáëàñòü òåìïåðàòóð(µ ≤ T ≤ Tc ), â êîòîðîé ìîæíî ïðåíåáðåãàòü îòëè÷èåì êâàçè÷àñòèö îò ÷àñòèö.Ïëîòíîñòü ÷àñòèö, âîçáóæäåííûõ òåìïåðàòóðîé ñîãëàñíî (136) ðàâíà(T )n1=X ξkεknbk , nbkED+= b̂k b̂k .×èñëî êâàçè÷àñòèö îïðåäåëÿåòñÿ òåìïåðàòóðîé è, ñëåäîâàòåëüíî, îïèñûâàåòñÿðàñïðåäåëåíèåì Ïëàíêà-Áîçå-Ýéíøòåéíà ñ íóëåâûì õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîìnbk =1.exp(βεk ) − 1 çàâèñèìîñòè îò ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè òåìïåðàòóð ïëîòíîñòü âîçóæäåííûõ ÷àñòèö ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâíà(T )n1(T )n1µ ¶3µ T', 0 < T < µ,T cXµ'Nk ' (mT )3/2 , µ < T ¿ Tc= an1/3 .Tc(140)(141)Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ýíòðîïèÿ êîíäåíñàòà ðàâíà íóëþ, è ïðè T ¿ Tc âêëàä â ýíòðîïèþ è òåïëîåìêîñòü äàþò òîëüêî íàäêîíäåíñàòíûå ÷àñòèöû.Âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé áîçå-ãàçà ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ÿâëÿåòñÿ àíîìàëüíîå ñðåäíååE1 D1 X µA=Ψ̂1 Ψ̂1 = −(1 + 2nbk ).VV2εk(142)Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ýòîãî àíîìàëüíîãî ñðåäíåãî ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì íàäêîíäåíñàòíûõ ÷àñòèö.
Îòëè÷èå ýòîãî àíîìàëüíîãî ñðåäíåãî îòíóëÿ ÿâíûì îáðàçîì ïîêàçûâàåò, ÷òî ñâåðõòåêó÷èé áîçå-ãàç â çàìêíóòîì îáúåìåïðèíöèïèàëüíî íå îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé èëè ìàòðèöåé ïëîòíîñòè ñôèêñèðîâàííûì ÷èñëîì ÷àñòèö.Ïðèìåíèì âûðàæåíèå (136) ê ñëó÷àþ, êîãäà ãàç, íàõîäÿùèéñÿ â îñíîâíîìñîñòîÿíèè, âîçáóæäåí ñ îáðàçîâàíèåì nq êâàçè÷àñòèö ñ èìïóëüñîì q . Òîãäà ÷èñëî÷àñòèö ñ èìïóëüñàìè q è -q óâåëè÷èâàåòñÿ:Nq = vq2 + u2q nq , N−q = vq2 + vq2 nq .Òàêîå âîçáóæäåíèå íåäàâíî áûëî ðåàëèçîâàíî, ñîîòâåòñòâóþùåå óâåëè÷åíèå÷àñòèö ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè èìïóëüñàìè áûëî èçìåðåíî è, òåì ñàìûì, ýêñïåðèìåíòàëüíî äîêàçàíà ðåàëüíîñòü áîãîëþáîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.117Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå9.3.43À. Ýíåðãèÿ è âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿÈç òåîðèè Áîãîëþáîâà√ ñëåäóåò, ÷òî â íåèäåàëüíîì ãàçå ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåíåáîëüøàÿ ÷àñòü ( n0 a3 ) ÷àñòèö èìååò îòëè÷íûå îò íóëÿ èìïóëüñû. Ïîýòîìó ïðèâû÷èñëåíèè ïîëíîé ýíåðãèè è ïîñòðîåíèè ïîëíîé ôóíêöèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿãàçà ñëåäóåò ó÷åñòü âêëàä íàäêîíäåíñàòíûõ ÷àñòèö. ãàìèëüòîíèàíå ñèñòåìû (104) ÷ëåíû âòîðîãî ïîðÿäêà ïî îïåðàòîðàì âk (t)ðàâíûX11++Ĥ =[ξk â+U0 â+U0 â+(143)0 â0 âk â−k +k âk +−k âk â0 â0 ],2V2Vk6=0P 1Ìû áóäåì ïðåíåáðåãàòü ÷ëåíîì ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêàU â+ â+ â â , êî2V 0 k1 k2 k3 k4ki 6=0òîðûé ïðè T ¿ Tc íå èãðàåò ðîëè.Ïîëàãàÿ,√ ÷òî êîíäåíñàò íàõîäèòñÿ â êîãåðåíòíîì ñîñòîÿíèè, çàìåíèì îïåðàòîð â0 íà N0 è ó÷òåì (120).
Òîãäà ãàìèëüòîíèàí (143) ïðèíèìàåò ôîðìóĤ =X11 + +[ξk â+k âk + µâk â−k + µâ−k âk ].22k6=0(144)Âûðàæåíèå (144) ïîñëå ïîäñòàíîâêè (126),(127) ïðèíèìàåò äèàãîíàëüíóþôîðìóĤ = E1 + ĤbX1XE1 =(εk − ξk ) , Ĥb =εk b̂+k b̂k2 k6=0k6=0(145)(146)Çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ áîãîëþáîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïóòåì íåïîñðåäñòâåííîé äèàãîíàëèçàöèè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû (144) ÿâëÿåòñÿ áîëåå óòîìèòåëüíûì ñïîñîáîì, ÷åì ìåòîä äèàãîàíàëèçàöèè ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ(125).Ãàìèëüòîíèàí Ĥb îïèñûâàåò ñóììàðíóþ ýíåðãèþ âîçáóæäåíèé. Âåëè÷èíà E1åñòü ýíåðãèÿ íàäêîíäåíñàòíûõ ÷àñòèö ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå. Åñëè îáðåçàòü√åå íà èìïóëüñàõ ïîðÿäêà mµ , îíà ðàâíà íåáîëüøîé îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíå1/2ïîðÿäêà − (a3 N0 /V ) E00 . Ïðè áîëüøèõ èìïóëüñàõ ýíåðãèÿ E1 ðàñõîäèòñÿ.
Ýòàðàñõîäèìîñòü ëèêâèäèðóåòñÿ óòî÷íåíèåì âûðàæåíèÿ äëÿ U0 âî âòîðîì ïîðÿäêåòåîðèè âîçìóùåíèé (Õóàíã,ßíã,Ëè,1957).  ðåçóëüòàòå ïîëíàÿ ýíåðãèÿ îñíîâíîãîñîñòîÿíèÿ ãàçà ðàâíàr2π~2 aN 2128 a3 NE0 =[1 +].mV15πVÂîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ãàçà ñ ó÷åòîì ÷àñòèö ñ íåíóëåâûìèìïóëüñîì äîëæíà ñîäåðæàòü íóëåâîå ÷èñëî êâàçè÷àñòèö, è óäîâëåòâîðÿòü ïðèâñåõ k 6= 0 óðàâíåíèþb̂k |Ψ0 i = 0.(147)118Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÂîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ãàçà èìååò î÷åíü èíòåðåñíóþ ñòðóêòóðó(Õóàíã)Y|Ψ0 i =Qk |Ψ00 i ,(148)k>0X1 ¡ + + ¢jâ âj! k −kj=0s µ¶ξk − εk1 ξkAk = −, Bk = 1/+1µ2 εkQk =Bk Ajk(149)(150)Çäåñü |Ψ00 i - âåêòîð ñîñòîÿíèÿ êîíäåíñàòà ÷àñòèö ñ íóëåâûì èìïóëüñîì.
Ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (149) â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè |Ψ0 i ÷àñòèöû ðàçáèâàþòñÿ íà ïàðûñ ïðîòèâîïîëîæíûìè èìïóëüñàìè, êîòîðûå ãðóïïèðóþòñÿ â êâàçèêîãåðåíòíûåñîñòîÿíèÿ, àíàëîãè÷íûå (114).Èç (145) è (147) ñëåäóåò, ÷òî |Ψ0 i åñòü òî÷íîå ðåøåíèå óð-èÿ ØðåäèíãåðàĤ |Ψ0 i = E1 |Ψ0 i(151)Òåïåðü ðàññìîòðèì íåîäíîðîäíûå ñîñòîÿíèÿ êîíäåíñàòà.9.3.5À4. Ñîëèòîíû è ñòàöèîíàðíûé ýôôåêò ÄæîçåôñîíàÓðàâíåíèå (116) êðîìå òðèâèàëüíîãî îäíîðîäíîãî ðåøåíèÿ (117) èìååò òî÷íîåðåøåíèå Çàõàðîâà-Øàáàòà â ôîðìå ïëîñêîé óåäèíåííîé áåãóùåé âîëíû (êèíêèëè ñîëèòîí)√Ψ(t, x) = nc [sin θ tanh(sin θ (x − vt) /λ) + i cos θ],(152)ãäå v - ñêîðîñòü ñîëèòîíà, êîòîðàÿ âñåãäà ìåíüøå ñêîðîñòè çâóêà c, cos θ =√v/c, λ = ~/ mµ - êîððåëÿöèîííàÿ äëèíà, nc = µ/U0 - ïëîòíîñòü âäàëè îò öåíòðà.Ïîêîþùèéñÿ ñîëèòîí√Ψ(t, x) = nc tanh(x/λ)](153)èìååò òîëùèíó 2λ , à ïëîòíîñòü ãàçà â íà÷àëå êîîðäèíàò îáðàùàåòñÿ â íóëü.Äëèíà ñîëèòîíà è ïëîòíîñòü ãàçà â öåíòðå ñ óâåëè÷åíèåì åãî ñêîðîñòè ðàñòóò:2λL= q1 − (v/c)2, |Ψ(t, vt)|2 = nc (v/c)2 .Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî âäàëè îò öåíòðà äâèæóùåãîñÿ ñîëèòîíà ãàç íåïîäâèæåí.√√Ψ(t, x) = nc [± sin θ − i cos θ] = −i nc exp(±iθ), x = ±∞è èìååò ðàçíîñòü ôàçδϕ = 2θ, 0 < δϕ < π ðàáîòå Õàêèìà /1998/ ñîëèòîííàÿ ôóíêöèÿ (â äðóãîé ôîðìå) áûëà èñïîëüçîâàíà ïðè ðåøåíèè çàäà÷è î äâèæåíèè îäíîìåðíîé ïðèìåñè â ñðåäå, îïèñûâàåìîé íåëèíåéíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà.
Ðåçóëüòàòû ýòîé ðàáîòû ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè ñòàöèîíàðíîãî ýôôåêòà Äæîçåôñîíà â áîçå-ãàçå.119Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÓðàâíåíèå Ãðîññà-Ïèòàåâñêîãî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïåðåõîäà â äâèæóþùóþñÿ ñèñòåìó êîîðäèíàò, åñëè êðîìå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò ~r0 = ~r − ~v t, ïðîèçâåñòè êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå0Ψ(t, ~r) = eiϕ(t,~r ) Ψ̃(t, ~r0 ),m~vmv 2ϕ̇ =, ∇0 ϕ =.2~~∂p̂2Ψ(t, ~r) =Ψ(t, ~r) + U0 Ψ∗ (t, ~r)Ψ(t, ~r)Ψ(t, ~r) − µΨ(t, ~r).(154)∂t2mÝòî ïîçâîëÿåò èç (152) íàéòè âèä íåïîäâèæíîãî ñîëèòîíà â ïîëå êîíäåíñàòà,êîòîðûé äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v.
Òàêîé ñîëèòîí îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåéi~√Ψ(t, x) = eiϕ(t,x) nc {sin θ tanh[sin θ(x + b)] − i cos θ},mvmv 2ϕ(t, x) =x−t + ϕ0 ,~2~√Ψ(t, x → ±∞) = −i nc exp(±iθ) exp iϕ(t, x).(155)(156)(157)Ïðÿìîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî (134) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ÃðîññàÏèòàåâñêîãî (116).Ââîäèì áåñêîíå÷íî óçêèé áàðüåð, íåïîäâèæíûé îòíîñèòåëüíî ñîëèòîíàV (x) = gδ(x). Ðåøåíèå çàäà÷è î òóííåëèðîâàíèè ñâåðõòåêó÷åãî ïîòîêà ñêâîçüýòîò áàðüåð äàåòñÿ ôóíêöèÿìè, êîòîðûå ñëåâà è ñïðàâà îò áàðüåðà èìåþò âèä(155) è îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî çíà÷åíèÿìè ôàç ϕ0 è ïîëîæåíèÿìè öåíòðîâ ñîëèòîíîâ.
Ðàçíûå çíà÷åíèÿ cos θ ñïðàâà è ñëåâà íåâîçìîæíû, ïîñêîëüêóñïðàâà è ñëåâà ïîòîê ÷àñòèö äîëæåí áûòü îäèíàêîâûì. Ïðè x > 0 áóäåì èñïîëüçîâàòü (155), (156), à ïðè x < 0 - ôóíêöèþ√Ψ(t, x) = eiϕ(t,x) nc {sin θ tanh(sin θ (x − b)) − i cos θ}.mvmv 2ϕ(t, x) =x−t + ϕ− ,~2~µ¶√mvmv 2Ψ(t, x → −∞) = −i exp(−iθ) nc exp(ix−t + ϕ− )~2~(158)(159)(160)Íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò íà÷àëà êîîðäèíàò ôàçû ôóíêöèè èìåþò âèä ñëåâà22x − mvt + ϕ− − θ) è ñïðàâà (− 12 π + mvx − mvt + ϕ0 + θ) Ñëåäîâàòåëü(− 12 π + mv~2~~2~íî, àññèìïòîòè÷åñêèé ñêà÷îê ôàçû, îáóñëîâëåííûé áàðüåðîì, õàðàêòåðèçóåòñÿâåëè÷èíîé δϕ = 2θ + ϕ0 − ϕ− .Íà äåëüòàîáðàçíîì ïîòåíöèàëå ôóíêöèè íåïðåðûâíû, à èõ ëîãàðèôìè÷åñêèåïðîèçâîäíûå ïðåòåðïåâàþò ñêà÷îêΨ̃(t, +0) = Ψ̃(t, −0)∂∂Ψ̃(t, +0) −Ψ̃(t, −0) = 2gΨ̃(t, +0)∂x0Ψ̃(t, −0)∂x0120Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÎòñþäà íàõîäèì óðàâíåíèÿ, çàäàþùèå âåëè÷èíó ïàðàìåòðà b è ðàçíîñòü ôàçexp(iϕ0 ){A sin θ − i cos θ} = exp(iϕ− ){−A sin θ − i cos θ}(1 − A ) sin θ(1 − A2 ) sin2 θ−= 2g, A = tanh[b sin θ]{A sin θ − i cos θ} {−A sin θ − i cos θ}22Ïðèâåäåì ýòè óðàâíåíèÿ ê âèäóA (1 − A2 ) sin3 θ2A sin θ cos θ= g, sin (ϕ0 − ϕ− )) = − 2222cos θ + A sin θcos θ + A2 sin2 θ(161) ñëó÷àå âûñîêîãî áàðüåðà (g À 1, A ¿ 1, cos θ ¿ 1, 2θ = π − 2v/c) ýòèóðàâíåíèÿ ïðèíèìàþò âèäg=v2A, sin (ϕ0 − ϕ− ) = −gv.+ A2Ïåðâîå ðàâåíñòâî èìååò ðåøåíèå òîëüêî ïðè v ≤ v = c/2g . Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñêà÷îê ôàçû (çà âû÷åòîì mvx/~) íà áîëüøèõðàññòîÿíèõ îò áàðüåðàv = vc sin δϕ.Ìû âèäèì, ÷òî ïðè òóííåëèðîâàíèè êîíäåíñàòà ÷åðåç âûñîêèé áàðüåð ñâåðõòåêó÷èé ïîòîê ñâÿçàí ñ ìàêñèìàëüíûì ïîòîêîì, çàâèñÿùèì îò âûñîòû áàðüåðà,ñîîòíîøåíèåì òîãî æå âèäà, ÷òî è â ñòàöèîíàðíîì ýôôåêòå Äæîçåôñîíà â ñâåðõïðîâîäíèêàõ.9.3.6À5.
Ðåøåòî÷íûé ãàçÍåäàâíî ïîÿâèëîñü íîâîå íàïðàâëåíèå èññëåäîâàíèé áîçå-êîíäåíñàòà â ëîâóøêàõ. Ãàç ïîìåùàåòñÿ â ïîëå ñòîÿ÷åé âîëíû ëàçåðà, êîòîðàÿ îáðàçóþò ïåðèîäè÷åñêóþ ïîòåíöèàëüíóþ ðåøåòêó. Ó ÷àñòèö â ðåøåòêå êâàíòîâûì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿíå èìïóëüñ, à êâàçèèìïóëüñ, è êîíäåíñàò â ðåøåòêå ïðèíèìàåò ðÿä íîâûõ ñâîåîáðàçíûõ ñâîéñòâ. ×òîáû îïðåäåëèòü, â êàêîì ñîñòîÿíèè íàõîäèëñÿ ãàç â ðåøåòêå,áûë âûïîëíåí ýêñïåðèìåíò (Ïåäðè è äð., 2001) ïî ðàçëåòó ÷àñòèö ãàçà ïîñëå âûêëþ÷åíèÿ ïîòåíöèàëà. Íà ýêñïåðèìåíòå â êàæäîé ÿ÷åéêå íàõîäèëîñü îêîëî 100÷àñòèö, à ÷èñëî ÿ÷ååê - 200.Ðàññìîòðèì ïðîñòóþ ìîäåëü âîëíîâîé ôóíêöèè êîíäåíñàòà Ψ â îäíîìåðíîìïåðèîäè÷åñêîì ïîòåíöèàëå â ñèãàðîîáðàçíîé ëîâóøêå êîíå÷íîé äëèíû L. ýòîé ìîäåëè ôóíêöèÿ Ψ èìååò âèä áëîõîâñêîé âîëíû, ìîäóëèðîâàííîé îãèáàþùåé ôóíêöèåé ÃàóññàΨ(x, t) ∼ (1 + 2 cos Bx) exp(−x2 /4L2 ), B = 2π/d(162)Çàâèñèìîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè Ψ îò ðàññòîÿíèÿ äî îñè x âûïèñûâàòü íåáóäåì.121Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå×òîáû ïîíÿòü, ðåçóëüòàò ýêñïåðèìåíòà, íàéäåì âèä ýòîé ôóíêöèè â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ñ òî÷íîñòüþ äî íîðìèðîâêèZ∞dx exp(−x2 /4L2 )e−ipx (1 + eiBx + e−iBx )ψ0 (p) =−∞2 L2= e−p+ e−(p−B)2 L22 L2+ e−(p+B)Ôóíêöèÿ èìååò âèä òðåõ óçêèõ ïèêîâ: ïåðâûé ðàñïîëîæåí â íà÷àëå êîîðäèíàò, àäâà äðóãèõ â òî÷êàõ îáðàòíûõ âåêòîðîâ ðåøåòêè ±B. õîäå ìãíîâåííîãî ñíÿòèÿ ïîòåíöèàëà â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 êàæäàÿ ÷àñòèöà íå óñïåâàåò èçìåíèòü ñâîé èìïóëüñ, è [ψ(p)]t=0 = ψ0 (p).
Ïðåíåáðåãàÿ âçàèìîäåéñòâèåì ÷àñòèö â ïðîöåññå ðàçëåòà, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ÷àñòèöû ðàçëåòàþòñÿêàê ñâîáîäíûå ÷àñòèöû ñ ñîõðàíåíèåì èìïóëüñà, è íàïèñàòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ÷àñòèö â ðåàëüíîì ïðîñòðàíñòâå â ìîìåíò âðåìåíè 0 < t ¿ mL2 â âèäå ôóíêöèèψ0 (p), óìíîæåííîé íà áåãóùóþ âîëíó:Z∞Z∞1 2ipx−i 2mp tΨ(x, t) =dpψ0 (p)e−∞=dpe1 2p tipx−i 2m³−p2 L2e−(p−B)2 L2+e−(p+B)2 L2´+e−∞12∼ exp(−x2 /4L2 ) + eiBx−i 2m B t exp(−(x −1B 2B2t) /4L2 ) + e−iBx−i 2m B t exp(−(x + t)2 /4LmmÂêëàä îò p ' 0 ñîñòîèò èç íåïîäâèæíûõ ÷àñòèö è îñòàåòñÿ îêîëî íà÷àëà êîîðäèíàò.
×àñòèöû c p ' ±B ðàçëåòàþòñÿ ñî ñêîðîñòÿìè ±B/m. Òàêîé ðàñïàä÷àñòèö íà òðè îáëàêà íàáëþäàëñÿ íà ýêñïåðèìåíòå. Ýòî - ïðÿìîå äîêàçàòåëüñòâîñóùåñòâîâàíèÿ åäèíîé êîãåðåíòíîé âîëíîâîé ôóíêöèè áîçå-êîíäåíñàòà. Ëåãêîïîíÿòü, ÷òî ñîñòîÿíèå â ðåøåòêå, â êîòîðîì âîëíîâûå ôóíêöèè êîíäåíñàòà âñîñåäíèõ ÿ÷åéêàõ èìåþò ñëó÷àéíóþ ðàçíîñòü ôàç, ïîñëå ñíÿòèÿ óäåðæèâàþùåãî ïîòåíöèàëà ïðèâîäèò ê îäíîìó îáëàêó îêîëî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîñêîëüêóäëÿ îáðàçîâàíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ñ âåêòîðàìè îáðàòíîé ðåøåòêè äîëæíî ñóùåñòâîâàòü òóííåëèðîâàíèå êîíäåíñàòà ìåæäó ÿ÷åéêàìè ñ ñîõðàíåíèåì îáùåéôàçû, êàê ó (162)9.3.7À6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
