Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ïîýòîìó êîðîòêîäåéñòâóþùèé ïàðíûé ïîòåíöèàë ìîæíî çàìåíèòü íà ëîêàëüíûéU (~r1 − ~r2 ) = U0 δ(~r1 − ~r2 ).(21)Ïàðàìåòð U0 èìååò ðàçìåðíîñòü ýíåðãèÿ*îáúåì è ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäåU0 =4π~2 a.m(22)Âåëè÷èíà a íàçûâàåòñÿ äëèíîé ðàññåÿíèÿ.  ðåçóëüòàòå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðàïðèíèìàåò ëîêàëüíóþ ôîðìói~∂p̂2Ψ̂(t, ~r) =Ψ̂(t, ~r) + U0 Ψ̂+ (t, ~r)Ψ̂(t, ~r)Ψ̂(t, ~r).∂t2m(23)Ðàçëîæèì ôóíêöèþ áîçå-ïîëÿ Ψ̂ ïî ïëîñêèì âîëíàì V −1/2 eikr (V - îáúåì ñèñòåìû):X1Ψ̂ =âk (t) √ eikr .(24)VkÇäåñü è â äàëüíåéøåì äëÿ êðàòêîñòè îïóñêàåì ñòðåëêè íàä âåêòîðàìè. Êàê è âñëó÷àå ãàçà ôîíîíîâ, îïåðàòîðû ïîãëîùåíèÿ è ðîæäåíèÿ áîçå-÷àñòèö ñ âîëíîâûìâåêòîðîì (èìïóëüñîì) óäîâëåòâîðÿþò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì[âk , â+k0 ] = δk,k0 ,+[âk , âk0 ] = [â+k , âk0 ] = 0.(25)è îïåðàòîð N̂k = â+k âk èìååò ñìûñë îïåðàòîðà ÷èñëà ÷àñòèö â ýòîì ñîñòîÿíèè. èäåàëüíîì áîçå-ãàçå ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå âñå ÷àñòèöû íàõîäÿòñÿ â êîíäåíñàòå, ò.å. èìåþò íóëåâîé èìïóëüñ.
 íåèäåàëüíîì ãàçå áîëüøèíñòâî ÷àñòèöN0 îñòàþòñÿ â êîíäåíñàòå, íî èç-çà îòòàëêèâàíèÿ íåáîëüøàÿ äîëÿ ÷àñòèö èìåþò íåíóëåâûå èìïóëüñû äàæå ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå. Íèæå ñîîòâåòñòâóþùåå÷èñëî íàäêîíäåíñàòíûõ ÷àñòèö Nk áóäåò âû÷èñëåíî.99Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå2. ×àñòèöû, ïðèíàäëåæàùèå êîíäåíñàòó, íàõîäÿòñÿ â òàê íàçûâàåìîì êîãåðåíòíîì ñîñòîÿíèè.
Êîãåðåíòíûì ñîñòîÿíèåì íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîå ñîñòîÿíèåîïåðàòîðà ïîãëîùåíèÿâ0 |Ai = A |Ai .(26)Ýòî ñîñòîÿíèå åñòü ñóïåðïîçèöèÿ ñîñòîÿíèé ñ ðàçíûì ÷èñëîì n ÷àñòèö ñ íóëåâûìèìïóëüñîì âèäà∞n2 X A1√ |ni , hA| Ai = 1.|Ai = e− 2 |A|(27)n!nÑðåäíåå ÷èñëî ÷àñòèö â ýòîì ñîñòîÿíèè è ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèñïåðñèÿ ðàâíûN0 =hA| â+0 â0|Ai = e−|A|2∞X|A|2nn = |A|2 ,n!¡¢2¡¢2|Ai = hA| â+|Ai − N02 =(δn0 )2 = hA| â+0 â00 â0 − N0(28)n2e−|A|∞Xn(29)2n|A|n2 − |A|4 = |A|2 ,n!®(δn0 )21=.2N0hn0 i(30)(31)Îáðàòèì âíèìàíèå íà êà÷åñòâåííîå îòëè÷èå êîãåðåíòíîãî ñîñòîÿíèÿ îò ñîñòîÿíèÿ÷àñòèö ñ íóëåâûì èìïóëüñîì â â èäåàëüíîì ãàçå ñ ôèêñèðîâàííûì õèìè÷åñêèìïîòåíöèàëîì, êîòîðîå îïèñûâàåòñÿ íå âîëíîâîé ôóíêöèåé, à äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé ïëîòíîñòè (ñì. êîíåö ïðåäûäóùåé ëåêöèè (47))ρ̂0 =∞1 X βnµe |ni hn| .Z n=0(32) ýòîì ñîñòîÿíèè, êàê áûëî âû÷èñëåíî â çàäà÷å 2 ïðåäûäóùåé ëåêöèè, èìååì®(δn0 )211 + N02®hn0 i = N0 = β|µ|,(δn0 ) = N0 (1 + N0 ) ,== eβ|µ| .2e−1Nhn0 i0Ðàçëè÷èå îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî â ñîñòîÿíèè èäåàëüíîãî ãàçà ñ èñ÷åçàþùå ìàëûì õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü çàäàííîå ÷èñëî ÷àñòèöâ êîíäåíñàòå î÷åíü ñëàáî çàâèñèò îò ÷èñëà ÷àñòèö.
Íàîáîðîò â ìàêðîñêîïè÷åñêîì (N0 → ∞) êîãåðåíòíîì ñîñòîÿíèè îòíîñèòåëüíàÿ ôëóêòóàöèÿ ÷èñëà ÷àñòèöâ êîíäåíñàòå, òàê æå êàê è îòíîñèòåëüíàÿ ôëóêòóàöèÿ ïîëíîãî ÷èñëà ÷àñòèö,ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ.Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ÷àñòèö (è êîðåíü èç íåãî) â êîãåðåíòíîì ñîñòîÿíèè êîíäåíñàòà íåèäåàëüíîãî áîçå-ãàçà ïðàêòè÷åñêè íå ôëóêòóèðóþò.
Ïîýòîìó èç îïåðàòîðíîé ôóíêöèè (24) öåëåñîîáðàçíî âûäåëèòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ êîíäåíñàòàΨ̂ = Ψ0 + Ψ̂1 ,Ψ̂1 =100X1âk (t) √ eikrVk6=0(33)Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåè ðàññìàòðèâàòü Ψ0 êàê êëàññè÷åñêîå ïîëå, àíàëîãè÷íîå ïîòåíöèàëó êëàññè÷åñêîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ïîäñòàâèì ýòó ôîðìóëó â (23) è ïðåíåáðåæåì îïåðàòîðíîé ÷àñòüþ ïîëÿ, îïèñûâàþùåé íàäêîíäåíñàòíûå ÷àñòèöûi~∂p̂2Ψ0 (t, ~r) =Ψ0 (t, ~r) + U0 Ψ+r)Ψ0 (t, ~r)Ψ0 (t, ~r).0 (t, ~∂t2m(34)Õîòÿ ýòî óðàâíåíèå íåëèíåéíî, íî åãî êîýôôèöèåíòû ïîñòîÿííû, è îíî èìååòïðîñòîå îäíîðîäíîå ðåøåíè壤Ψ0 (t, ~r) = Ψc exp − ~i ε0 ,(35)ε0 = U0 Ψ2c , Ψ∗c = Ψc .Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ Ψc èìååò ïîñòîÿííóþ ôàçó (ðàâíóþ íóëþ) è, ñëåäîâàòåëüíî, îïèñûâàåò íåïîäâèæíûé êîíäåíñàò.
Ïåðåõîäÿ â äâèæóþùóþñÿ ñèñòåìó êîîðäèíàò, ìîæíî ïîëó÷èòü ñîñòîÿíèå íåèäåàëüíîãî áîçå -ãàçà ñ îòëè÷íûì îò íóëÿïîòîêîì êîíäåíñàòíûõ ÷àñòèö. Êàê ìû óâèäèì íèæå, ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ òàêîå ñîñòîÿíèå óñòîé÷èâî. Ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî íåèäåëüíûé áîçå-ãàçÿâëÿåòñÿ ñâåðõòåêó÷èì.×èñëî êîíäåíñàòíûõ ÷àñòèö è ýíåðãèÿ êîíäåíñàòà (ñì. (14)) ñâÿçàíû ñ àìïëèòóäîé êîíäåíñàòà Ψc ôîðìóëàìèZN0 =1E0 = U02Zd3 rΨ+r)Ψ0 (t, ~r) = Ψ2c V,0 (t, ~1U0 N02+4d3 rΨ+(t,~r)Ψ(t,~r)Ψ(t,~r)Ψ(t,~r)=UΨV=.000 c0022V(36)(37)Äèôôåðåíöèðóÿ ýíåðãèþ ïî ÷èñëó ÷àñòèö, íàõîäèì õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàëµ=∂E0U 0 N0== U0 Ψ2c .∂N0V(38)Ñîãëàñíî (35) âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ êîíäåíñàòà Ψ0 (t) èìååò ôàçó, çàâèñÿùóþ îòâðåìåíè (ϕ = −µt/~). Ýòî íåóäîáíî, ò.ê. ìíîæèòåëü e−iµt/~ óñëîæíÿåò ïîñëåäóþùèå ôîðìóëû, íî íå äàåò âêëàäà â ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû.
Îò ýòîãî ìíîæèòåëÿëåãêî èçáàâèòüñÿ, ïåðåéäÿ ñ ñàìîãî íà÷àëà â (23) îò îïåðàòîðà Ψ̂(t, ~r) ê îïåðàòîðóΨ̃(t, ~r) = eiµt/~ Ψ̂(t, ~r) :i~∂p̂2Ψ̃(t, ~r) =Ψ̃(t, ~r) + U0 Ψ̃+ (t, ~r)Ψ̃(t, ~r)Ψ̃(t, ~r) − µΨ̃(t, ~r).∂t2m(39)Ñòàöèîíàðíûì ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ àìïëèòóäàêîíäåíñàòà Ψc .3. Òåïåðü íàéäåì ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ íåèäåàëüíîãî áîçå-ãàçà. Áóäåìñ÷èòàòü, ÷òî ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè, áëèçêîì ê îñíîâíîìó è Ψ̃(t, ~r) ñëàáîîòëè÷àåòñÿ îò Ψc :¯¯¯¯(40)Ψ̃(t, ~r) = Ψc + Ψ̂1 (t, ~r), ¯Ψ̂1 (t, ~r)¯ ¿ Ψc .101Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÏîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â (39), è óäåðæèì ëèíåéíûå ïî Ψ̂1 ÷ëåíû:i~∂p̂2Ψ̂1 (t, ~r) =Ψ̂1 (t, ~r) + 2U0 Ψ2c Ψ̂1 (t, ~r) + U0 Ψ2c Ψ̂+r) − µΨ̂1 (t, ~r).1 (t, ~∂t2mñ ó÷åòîì (38) ïðèâîäèì ýòî óðàâíåíèå ê êîìïàêòíîìó âèäóµ 2¶∂p̂i~ Ψ̂1 =+ µ Ψ̂1 + µΨ̂+1.∂t2mÄëÿ êàæäîãî ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ (33) èìååì"#∂(~k)2i~ âk (t) =+ 2µ âk (t) + µâ+−k (t) .∂t2m(41)(42)(43) ýòîì óðàâíåíèè ïåðåìåøàíû áîçå-îïåðàòîðû âk (t) è â+−k (t).
Äèàãîíàëèçóåìýòî óðàâíåíèå ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Áîãîëþáîâàhi+ iεk t/~−iεk t/~âk (t) = uk b̂k e− vk b̂−k e(44)è åãî ýðìèòîâî ñîïðÿæåííîãî âûðàæåíèÿ (ñ çàìåíîé çíàêà èìïóëüñà)hi+ +iεk t/~−iεk t/~â+(t)=ub̂e−vb̂e.k −kk k−k(45)Çäåñü ââåäåíû îïåðàòîðû ïîãëîùåíèÿ b̂k è ðîæäåíèÿ b̂+k íîâûõ êâàçè÷àñòèö,êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò òàêèì æå ïðàâèëàì êîììóòàöèè, ÷òî è èñõîäíûå îïåðàòîðû ãîëûõ ÷àñòèö (25)hihi hi+ +00b̂k , b̂+=δ,b̂,b̂=b̂,b̂= 0.(46)00k,kk kkkkÊîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ uk , vk ïðåäïîëàãàþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè, ÷åòíûìè ôóíêöèÿìè âåêòîðà k. Íàñ íå áóäåò èíòåðåñîâàòü ïðîáëåìà îäíîçíà÷íîñòè.Òðåáóåòñÿ íàéòè õîòÿ áû îäíî ïðåîáðàçîâàíèå, äèàãîíàëèçóþùåå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà è ñîîòâåòñòâóþùèé ãàìèëüòîíèàí.
Òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ íàçûâàþòñÿêàíîíè÷åñêèìè, è èõ, êàê èçâåñòíî èç êâàíòîâîé ìåõàíèêè, áåñêîíå÷íî ìíîãî.Ñìûñë ôîðìóëû (44) ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñêà÷îê áîçå-÷àñòèöû, íàïðèìåð áëàãîäàðÿ ïîãëîùåíèþ ôîòîíà, èç ñîñòîÿíèÿ ñ èìïóëüñîì k â âûñîêî âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå (íà áåñêîíå÷íîñòü) ýêâèâàëåíòåí ñ âåðîÿòíîñòüþ u2k ïîãëîùåíèþêîíäåíñàòîì îäíîãî êâàíòà ýëåìåíòàðíîãî âîçáóæäåíèÿ è ñ âåðîÿòíîñòüþ vk2 ðîæäåíèþ èç êîíäåíñàòà êâàíòà ñ ïðîòèâîïîëîæíûì èìïóëüñîì.Ïîäñòàâèâ (44),(45) â (43), ïîëó÷àåì"#2iihh(~k)+ iεk t/~+ iεk t/~−iεk t/~−iεk t/~(47)=− vk b̂−k e+ µ uk b̂k e+ vk b̂−k eεk uk b̂k e2mih−iεk t/~+iεk t/~b̂e.(48)e−v+ µ uk b̂+kk−k102Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÝòî óðàâíåíèå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè ïðèðàâíÿòü ïî-îòäåëüíîñòè êîýôôèöèåíòû ïðè b̂k è b̂+−k :(εk − ξk ) uk + µvk = 0,µuk − (εk + ξk ) vk = 0,ãäå ξk =(~k)22m(49)(50)+ µ. Îòñþäà ëåãêî íàõîäèìvÃ!u2 2u (~k)2(~k)ξk2 − µ2 = tµ+.m2mqεk =(51)Ïîäñòàâèâ ïðåîáðàçîâàíèÿ Áîãîëþáîâà â ïåðâûé êîììóòàòîð (25), óñòàíàâëèâàåìíîðìèðîâêóu2k − vk2 = 1.è íàõîäèì êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿs µs µ¶¶1 ξk1 ξk+ 1 , vk =−1 ,uk =2 εk2 εku2k + vk2 =ξk,εk2uk vk =µ.εk(52)(53)(54)Ôàêòè÷åñêè, ýòî êîýôôèöèåíòû ïîâîðîòà â ïðîñòðàíñòâå ñ ãèïåðáîëè÷åñêîé ìåòðèêîé (52).×òîáû íàãëÿäíî âûÿâèòü ñâîéñòâà âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé áîçå-ãàçà, âûðàçèì ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû (04) â êâàäðàòè÷íîì ïðèáëèæåíèè ïî îïåðàòîðàì âk .X (~k)211 +++[â+k (t) âk (t) + µâk (t) âk (t) + µâk (t) â−k (t) + µâ−k (t) âk (t)].2m22k(55)Ýòî âûðàæåíèå ïîñëå ïîäñòàíîâêè (44),(45) ïðèíèìàåò äèàãîíàëüíóþ ôîðìóĤ = E0 +Ĥ = E0 +X1Xεk b̂+(εk − ξk ) +k b̂k .2 kk(56)Íàèáîëåå âàæíûì äëÿ íàñ ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäíèé ÷ëåí, îïèñûâàþùèé ñóììàðíóþýíåðãèþ âîçáóæäåíèé.
Ïîñêîëüêó îïåðàòîð b̂+k b̂k åñòü îïåðàòîð ÷èñëà êâàçè÷àñòèö, òî âåëè÷èíà εk (51) èìååò ñìûñë ýíåðãèè ýëåìåíòàðíîãî âîçáóæäåíèÿ ñèìïóëüñîì ~k. Ïðè áîëüøèõ èìïóëüñàõ εk ñîâïàäàåò ñ ýíåðãèåé ñâîáîäíîé ÷àñòèöû(~k)2, εk À µ,(57)εk '2mà äëèííîâîëíîâàÿ ÷àñòü ñïåêòðà èìååò ôîðìó çâóêîâîãî ñïåêòðà, ò.å. ëèíåéíîçàâèñèò îò èìïóëüñà.103Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðårεk = c~k,c=µ=mrU0 N0,mVεk ¿ µ.(58)Ýíåðãèÿ êîíäåíñàòà E0 áûëà âû÷èñëåíà âûøå (37). Âòîðîé ÷ëåí â (56) îïðåäåëÿåò âêëàä íàäêîíäåíñàòíûõ ÷àñòèö â âåëè÷èíó ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ.
Ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû √E2 ' µΓ , ãäå Γ- ÷èñëî ñîñòîÿíèé ñâîáîäíûõ ÷àñòèö ñ èìïóëüñàìè ìåíüøå 2mµ (ïðè áþëüøèõèìïóëüñàõ ðàçíîñòü (εk − ξk )áûñòðî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ). Ïîñêîëüêó ýòî ÷èñëî ðàâíî Γ ' V (2mµ)3/2 /~3 , òîE2 ' µV (2mµ)3/2 /~3 . Ãàç ìîæíî ñ÷èòàòü ñëàáî íåèäåàëüíûì, ïîêà ýòà ÷àñòüýíåðãèè ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ E0 .E2µV 2 (2mµ)3/2N 1/2 3/2'a ¿ 1.'E0~3 U0 N02V 1/2(59)Îòñþäà íàõîäèì îöåíêó ìàêñèìàëüíîé ïëîòíîñòèmaxN1' 3,Va(60)âûøå êîòîðîé èçëàãàåìàÿ òåîðèÿ íåïðèìåíèìà. Ïîëó÷èëè åñòåñòâåííûé ðåçóëüòàò: ãàç ìîæíî ñ÷èòàòü ðàçðåæåííûì, åñëè ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷àñòèöàìèâåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé ðàññåÿíèÿ.Íàéäåì ñðåäíåå ÷èñëî ÷àñòèö ñ íåíóëåâûì èìïóëüñîì ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå, êîãäà ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè.®Nk = â+(61)k (t) âk (t)DEiεk t/~iεk t/~= [uk b̂+− vk b̂−k e−iεk t/~ ][uk b̂k e−iεk t/~ − vk b̂+](62)ke−k eDDEEDEDE++22iεk t/~−2iεk t/~= u2k b̂+b̂+b̂−k b̂k .
(63)k b̂k + vk b̂−k b̂−k − uk vk ek b̂−k − vk uk eÏîä çíàêîì ïîñëåäíåãî ñðåäíåãî ñòîèò ïðîèçâåäåíèå äâóõ îïåðàòîðîâ óíè÷òîæåíèÿ êâàçè÷àñòèö, ñðåäíåå îò êîòîðîãî ïî ëþáîìó ñîñòîÿíèþ ðàâíî íóëþ. Ïîàíàëîãè÷íîé ïðè÷èíå ðàâåí íóëþ è ïðåäïîñëåäíèé ÷ëåí. Îïåðàòîð b̂+k b̂k èìååòñìûñë ÷èñëà êâàçè÷àñòèö â ñîñòîÿíèè ñ èìïóëüñîì k. Íî ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå êâàçè÷àñòèöû îòñóòñòâóþò, è ïåðâûé ÷ëåí â (63) òîæå ðàâåí íóëþ. Íàêîíåö,âòîðîé ÷ëåí äàåò¶µED1 ξk+22−1 .(64)Nk = vk 1 + b̂−k b̂−k = vk =2 εkÏðè εk ¿ µ ýòî ÷èñëî âåñüìà âåëèêî, íî ïðè εk À µ áûñòðî ïîäàåò. Ïîëíîå ÷èñëîíàäêîíäåíñàòíûõ ÷àñòèö ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâíî, î÷åâèäíî, Γ.
Îòíîøåíèåýòîãî ÷èñëà ê ïîëíîìó ÷èñëó ÷àñòèö ðàâíî (59)Γ'NµN a3V104¶1/2.(65)Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÑêîðîñòü ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî çâóêà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéc2 =∂p,∂ρ(66)ãäå p - äàâëåíèå, à ρ = mN/V - ïëîòíîñòü ãàçà. Äàâëåíèå ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâîäíîé îò ýíåðãèè ãàçà ïî îáúåìó è â ïåðâîì ïðèáëèæåíèèðàâíî∂E0U0 N02U0 ρ2p=−==.(67)∂V2V 22m2Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ïî ïëîòíîñòè, ïîëó÷àåìrU0 ρc=.(68)m2Ýòî âûðàæåíèå ñîâïàäàåò ñî ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ äëèííîâîëíîâûõ âîçáóæäåíèé ãàçà (58).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
