Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî íåðåëÿòèâèñòñêèå ÷àñòèöû ñî ñïåêòðîì εp = p2 /2m. Ïîýòîìó ε0 = 0, è ìû áóäåìãîâîðèòü, ÷òî õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë èäåàëüíîãî áîçå-ãàçà âñåãäà îòðèöàòåëåíµ<0(20)Ïðè ýòîì óñëîâèè ãåîìåòðè÷åñêèå ïðîãðåññèè â (17),(18) ñõîäÿòñÿ è äàþòZp =1[1 −e−β(εp −µ) ],£¤Ωp = T ln 1 − e−β(εp −µ)67(21)Ëåêöèÿ 7. Èäåàëüíûé áîçå-ãàçÈç ôîðìóëû (7) íàõîäèì ñðåäíåå ÷èñëî ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè pµ¶∂Ωphnp i = Np = −∂µ1Np = β(εp −µ)e−1(22)(23)Ýòî - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èäåàëüíîãî áîçå-ãàçà, ðàñïðåäåëåíèå ÁîçåÝéíøòåéíà.Ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèöN=XNp =Xpp1eβ(εp −µ)(24)−1íå çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû è, òåì ñàìûì íåÿâíûì îáðàçîì çàäàåò çàâèñèìîñòüõèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà îò òåìïåðàòóðû.
Íàéäåì ýòó çàâèñèìîñòü. Ïî ïðàâèëóÁîðà-Çîììåðôåëüäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè îò ýíåðãèè ñóììà ïî èìïóëüñàì ýêâèâàëåíòíà èíòåãðàëóI=XZL3 d3 pf (εp ) = νV(2π~)3f (εp ) =pZ∞ε1/2 dεf (ε)(25)03/2m. Ïðèìåíÿÿ ýòî ñîîòíîøåíèå è äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ z =ãäå ν = 21/2π 2 ~32p /2mT , ïðèâîäèì ÷èñëî ÷àñòèö (24) ê âèäóZ∞N =T3/2νVz 1/2 dzez e−βµ − 1(26)0ÎòñþäàZ∞z 1/2 dzN= 3/2z−βµee−1T νV(27)0×òîáû ïðè ðîñòå òåìïåðàòóðû èíòåãðàë ïàäàë êàê T −3/2 , íåîáõîäèìî ïàäåíèåïîäúèíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ, ò.å. ôàêòîð eβµ äîëæåí ðàñòè. Ïîýòîìó ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ åäèíèöåé â ïîäèíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè ìîæíîïðåíåáðå÷ü è ïîëó÷èòü âûðàæåíèåN = Γ(3/2)T 3/2 νV eβµ(28)èç êîòîðîãî ñëåäóåò ïîíèæåíèå õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ïî çàêîíóeβµ ∼ T 3/2 ,13µ ∼ − T ln2T(29)Ïðè òàêèõ òåìïåðàòóðàõ â çíàìåíàòåëå ðàñïðåäåëåíèÿ (23) ìîæíî ïðåíåáðå÷üåäèíèöåé è ïåðåâåñòè ðàñïðåäåëåíèå Áîçå â ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà-ÁîëüöìàíàNp = eβ(µ−εp ) ,68(30)Ëåêöèÿ 7.
Èäåàëüíûé áîçå-ãàçêîãäà âñå çàïîëíåíèå âñåõ óðîâíåé ìàëî.Ñ ïîíèæåíèåì òåìïåðàòóðû ïðè çàäàííîé ïëîòíîñòè ãàçà ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (27) ðàñòåò, õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë íà ïëîñêîñòè (T, µ) ïðèáëèæàåòñÿ ñíèçóê îñè àáñöèññ, è îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè òåìïåðàòóðåµTc =NνV J3/2Z∞J3/2 =¶2/3(31)z 1/2 dz' 2, 3ez − 1(32)0Ïðè T < Tc õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå, ò.å. µ = 0.
Ðàâåíñòâî (26) òåðÿåò ñìûñë.  ýòîé îáëàñòè ÷èñëî ÷àñòèöíà íèæíåì óðîâíåN0 î÷åíü âåëèêî, è ïðè âû÷èñëåíèè ñóììû (24) ñëåäóåò ýòî÷èñëî âûäåëèòü è çàìåíèòü ñóììó íà èíòåãðàë (25) òîëüêî äëÿ âîçáóæäåííûõñîñòîÿíèéZ∞Xz 1/2dz zN=Np = N0 + T 3/2 νV(33)e −1p0Îòñþäà ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (31) íàõîäèì òåìïåðàòóðíóþ çàâèñèìîñòü ÷èñëàN0 :"µ ¶3/2 #TN0 = N 1 −(34)TcÝòî çàìå÷àòåëüíîå ÿâëåíèå íàêàïëèâàíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîãî ÷èñëà ÷àñòèöíà íèæíåì óðîâíå íàçûâàåòñÿ êîíäåíñàöèåé Áîçå-Ýéíøòåéíà.7.3 Òåðìîäèíàìèêà áîçå-ãàçàÐàññìîòðèì òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà áîçå-ãàçà ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ.Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë èäåàëüíîãî áîçå-ãàçà ñîãëàñíî (21), (25) ðàâåíΩ=TX£−β(εp −µ)ln 1 − e¤Z∞= T νVp£¤ε1/2 dε ln 1 − e−β(ε−µ)(35)0Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ïîëó÷àåì2Ω = − νV3Z∞ε3/2 dε1eβ(ε−µ)−1(36)0Ñðàâíèì ýòî âûðàæåíèå ñ ýíåðãèåé áîçå-ãàçàE=XpZ∞ε3/2 dεNp εp = νV0691eβ(ε−µ) − 1(37)Ëåêöèÿ 7. Èäåàëüíûé áîçå-ãàçÎòñþäà2Ω=− E(38)3Ïîñêîëüêó Ω = −pV , òî äàâëåíèå èäåàëüíîãî ãàçà p ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîòíîñòèåãî ýíåðãèè2p = E/V(39)3Åñëè çàïèñàòü ýíåðãèþ, êàê ôóíêöèþ òåìïåðàòóðû, òî óðàâíåíèå (39) çàäàåò çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ îò òåìïåðàòóðû, ò.å.
óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ãàçà. Ïðè âûñîêèõòåìïåðàòóðàõ, êîãäà ðàñïðåäåëåíèå Áîçå-Ýéíøòåéíà ïåðåõîäèò â ðàñïðåäåëåíèåÁîëüöìàíà, ïîëó÷àåìZ∞E = νVZ∞ε3/2dεeβ(µ−ε)=T5/2νV eβµ0z 5/2−1 dze−z = T 5/2 νV eβµ Γ(5/2)(40)0Ïîäåëèì ýòó ýíåðãèþ íà ÷èñëî ÷àñòèö (28):EΓ(5/2)3=T = TNΓ(3/2)2(41)Îòñþäà âîñïðîèçâîäèòñÿ øêîëüíûé çàêîí Êëàéïåðîíà-Ëîìîíîñîâàp=−Ω= N T /VV(42)∂E3= N∂T2(43)è òåïëîåìêîñòü áîëüöìàíîâñêîãî ãàçàCV =Êîãäà èìååò ìåñòî áîçå-êîíäåíñàöèÿ è õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ðàâåí íóëþ, ýíåðãèÿ ãàçà ðàâíàZ∞E = νV1ε3/2 dε βε= νV T 5/2 J5/2 ,e −10Z∞J5/2 =z 3/2 dz' 1.8ez − 1(44)0(Âêëàä â ýíåðãèþ äàþò òîëüêî âîçáóæäåííûå ÷àñòèöû) Îòñþäà íàõîäèì ïðèT ≤ Tc äàâëåíèåΩ2p = − = νT 5/2 J5/2(45)V3è òåïëîåìêîñòü áîçå-ãàç൶∂E5CV =(46)= νV T 3/2 J5/2∂T V2 êà÷åñòâå ïîñëåäíåãî âîïðîñà ïîëó÷èì ìàòðèöó ïëîòíîñòè èäåàëüíîãî áîçå-ãàçàâ ïðåäñòàâëåíèè âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ.
Äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà îïåðàòîðíàÿ ôîðìà ìàòðèöû ïëîòíîñòè åñòü ñòðåëüáà èç ïóøåê ïî âîðîáüÿì. Íî äëÿ ñðàâíåíèÿ ñ70Ëåêöèÿ 7. Èäåàëüíûé áîçå-ãàçòåîðèåé íåèäåàëüíîãî áîçå ãàçà, ýòî ïîëåçíî.  ïðåäñòàâëåíèè ÷èñåë çàïîëíåíèÿìàòðèöà ïëîòíîñòè Ãèááñà ïîäñèñòåìà ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè p èìååò âèäρ̂p =1 −β(εp −µ)n̂p1 X|ni e−β(εp −µ)n hn| ,e=ZpZp nSpρ̂p = 1(47)Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àþòñÿ ôîðìóëû (17) è (23):Zp = Spe−β(εp −µ)n̂p=∞Xe−β(εp −µ)n(48)n=0hn̂p i = Sp[e−β(εp −µ)n̂p∞1 X £ −β(εp −µ)n ¤n̂p ] =neZp n=0(49)7.4 ×åòûðå ïðèìåðà çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì íåñêîëüêî çàäà÷.7.4.1Çàäà÷à 1.Íàéäåì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèå áîçå-ãàçà ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó áîçåêîíäåíñàöèè â ïåðåìåííûõ (p, T ) , (p, V ) è (V, T ) .Èçîõîðà (p, T ). òåìïåðàòóðû ïðè ôèêñèðîâàííîì îáúåìå îò çàêîíà (45) ïðèT > Tc ïîñòåïåííî ïðåâðàùàåòñÿ â (42).Èçîòåðìà (p, V ).
Çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ îò îáúåìà ïðè ôèêñèðîâàííîé òåìïåðàòóðå, õàðàêòåðíàÿ äëÿ áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà (p ∼ V −1 ) ñ óìåíüøåíèåì îáúåìàïðèáëèæåííî ñîõðàíÿåòñÿ âïëîòü äî êðèòè÷åñêîãî îáúåìà (ñì. (31))Vc =NνJ3/2 T 3/2(50)Ñîãëàñíî (45) ïðè äàëüíåøåì óìåíüøåíèè îáúåìà äàâëåíèå íå ìåíÿåòñÿ (óâåëè÷åíèå ïëîòíîñòè ÷àñòèö êîìïåíñèðóåòñÿ âûïàäåíèåì ÷àñòèö â Áîçå-êîíäåíñàò).Èçîáàðà (V, T ).
Ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ñ ïîíèæåíèåì òåìïåðàòóðû ãàçñæèìàåòñÿ âïëîòü äî îáúåìà (50). À çàòåì ñêà÷êîì, êàê ïðè îáû÷íîì ôàçîâîìïåðåõîäå ïåðâîãî ðîäà, ïðîèñõîäèò ñæàòèå äî íóëåâîãî îáúåìà, ïîñêîëüêó íèæåêðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû èäåàëüíûé áîçå-ãàç èìååò áåñêîíå÷íóþ ñæèìàåìîñòü∂V=∞∂p7.4.2(51)Çàäà÷à 2.Ïîñêîëüêó ïîäñèñòåìà ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè p ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé ñèñòåìîé, ê íåéìîæíî, êàê ìû óæå ãîâîðèëè, ïðèìåíèòü âñå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêèçàìêíóòûõ ñèñòåì. Íàéäåì, íàïðèìåð, ñðåäíåå ÷èñëî ÷àñòèö è åãî ôëóêòóàöèþ71Ëåêöèÿ 7. Èäåàëüíûé áîçå-ãàçâ ýòîì ñîñòîÿíèè ðàâíû:∞Phnp i =n=0Zp∞P 2®np =ne−βn(εp −µ)=−T ∂Zp1= Np = β(εp −µ)Zp ∂µe−1(52)n2 e−βn(εp −µ)T 2 ∂ 2 Zp(53)ZpZp ∂µ2¶2µ¶µ 2®T 2 ∂ 2 Zp1 ∂ZpT ∂Zp∂ hnp i22®2 ∂(δnp ) = np − hnp i =−=T= −T= Np (1 + N2Zp ∂µZp ∂µ∂µ Zp ∂µ∂µ(54)2®(δnp )1 + Np== eβ(εp −µ)(55)2Nphnp in=0=Îòíîñèòåëüíàÿ ôëóêòóàöèÿ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ Áîçå-÷àñòèö áîëüøå åäèíèöû.Óäèâëÿòüñÿ ýòîìó íå ñòîèò, ïîñêîëüêó ñâîéñòâî óìåíüøåíèÿ îòíîñèòåëüíîé äèñïåðñèè ñ ðîñòîì ÷èñëà ÷àñòèö êàê 1/N (çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë) îòíîñèòñÿ òîëüêîê ñèñòåìàì, ñîñòàâëåííûì èç áîëüøîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì.7.4.3Çàäà÷à 3.Îáðàòèì âíèìàíèå íà êà÷åñòâåííîå îòëè÷èå êîãåðåíòíîãî ñîñòîÿíèÿ îò ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèö ñ íóëåâûì èìïóëüñîì â èäåàëüíîì ãàçå ñ ôèêñèðîâàííûì õèìè÷åñêèìïîòåíöèàëîì, êîòîðîå îïèñûâàåòñÿ íå âîëíîâîé ôóíêöèåé, à äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé ïëîòíîñòè (ñì.
êîíåö ïðåäûäóùåé ëåêöèè (47))∞1 X −βn|µ|ρ̂0 =e|ni hn|Z n=0(56) ýòîì ñîñòîÿíèè, êàê áûëî âû÷èñëåíî â çàäà÷å 2 ïðåäûäóùåé ëåêöèè, èìååì®(δn0 )211 + N02®hn0 i = N0 = β|µ|,(δn0 ) = N0 (1 + N0 ) ,== eβ|µ|2e−1Nhn0 i0Ðàçëè÷èå îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî â ñîñòîÿíèè èäåàëüíîãî ãàçà ñ èñ÷åçàþùå ìàëûì õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü çàäàííîå ÷èñëî ÷àñòèöâ êîíäåíñàòå î÷åíü ñëàáî çàâèñèò îò ÷èñëà ÷àñòèö.
Íàîáîðîò â ìàêðîñêîïè÷åñêîì (N0 → ∞) êîãåðåíòíîì ñîñòîÿíèè îòíîñèòåëüíàÿ ôëóêòóàöèÿ ÷èñëà ÷àñòèöâ êîíäåíñàòå, òàê æå êàê è îòíîñèòåëüíàÿ ôëóêòóàöèÿ ïîëíîãî ÷èñëà ÷àñòèö,ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ.×èñëî ÷àñòèö íà íèæíåì óðîâíå ïðè ïîíèæåíèè òåìïåðàòóðûðàñòåò:1(57)N0 = −βµe−1è, ôîðìàëüíî, îáðàùàåòñÿ ïðè µ = 0 â áåñêîíå÷íîñòü. ×òîáû ñíÿòü ýòî ïðîòèâîðå÷èå, â îáëàñòè òåìïåðàòóð ïîðÿäêà è ìåíüøå Tc ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ(33) ñëåäóåò âû÷èñëÿòü áîëåå àêêóðàòíî.
Ó÷òåì, ÷òî â ýòîé îáëàñòè õèìè÷åñêèéïîòåíöèàë õîòÿ è î÷åíü ìàë, íî íå ðàâåí íóëþ:72Ëåêöèÿ 7. Èäåàëüíûé áîçå-ãàçXN=Z∞Np = N0 + T 3/2 νVpdzz 1/2ez e−βµ − 1(58)0Èç èíòåãðàëà âûäåëèì ÷àñòü, îòâå÷àþùóþ íóëåâîìó õèìè÷åñêîìó ïîòåíöèàëó(ñì.(32)):·Z∞N = N0 + T3/2νV J3/2 + T3/2νVz1/211dz z −βµ− zee−1 e −1¸(59)0Îñíîâíîé âêëàä â ïîñëåäíèé èíòåãðàë ïðè |βµ| ¿ 1 äàåò îáëàñòü z ¿ 1.  ýòîéîáëàñòè îí ðàâåíZ1T 3/2 νV¸Z∞ 1/211z dz1/2z 1/2 dz−= −T 3/2 νV |βµ|= −πT 3/2 νV |βµ|1/2z + |βµ| z(z + 1)·00Ïîäñòàâëÿÿ ýòîò ðåçóëüòàò â (59), ïîëó÷àåìN = N0 + T 3/2 νV J3/2 − πT 3/2 νV |βµ|1/2(60)(61)Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå (31) è ïîëàãàÿ, â ñîîòâåòñòâèè ñ (57), N0 ' |βµ|−1 , ïåðåïèøåì ýòó ôîðìóëó â âèäå"µ ¶3/2 #µ ¶3/2TT1N 1−=− 1.4N|βµ|1/2(62)Tc|βµ|TcÎòñþäà ïîëó÷àåì|βµ| '1·³ ´3/2 ¸ ,N 1 − TTc1, T = Tc2/3Nõ ¶3/2 !Tc1|βµ| '1−,2T|βµ| 'T ¿ Tc(63)(64)(65)Òàêèì îáðàçîì, â îáëàñòè íèæå êðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàëïðè êîíå÷íîì ÷èñëå ÷àñòèö îòëè÷åí îò íóëÿ, íî â òåðìîäèíàìè÷åñêîì ïðåäåëå(N → ∞) ðàâåí íóëþ.
 ýòîì ïðåäåëå â (61) ïîñëåäíèì ÷ëåíîì ïðè T ≤ Tcñëåäóåò ïðåíåáðå÷ü, è ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëó (34).Ïðè T > Tc , íà ìàëîì, íî êîíå÷íîì ðàññòîÿíèè îò êðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû,õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë â òåðìîäèíàìè÷åñêîì ïðåäåëå îòëè÷åí îò íóëÿ è ñîãëàñíî(65) ðàâåíõ ¶3/2 !Tc1µ = − Tc 1 −(66)2T73Ëåêöèÿ 7. Èäåàëüíûé áîçå-ãàç7.4.4Çàäà÷à 4.Íàéäåì òåïëîòó ôàçîâîãî ïåðåõîäà Áîçå-êîíäåíñàöèè.  îêðåñòíîñòè Tc äàâëåíèåðàâíîΩ2E2p=− == νV3V3Z∞ε3/2 dε1eβ(ε−µ)(67)−102= νT 5/23Z∞·¸Z∞1211z 3/2 dz z −βµ= T 5/2 ν J5/2 + z 3/2 dz z |βµ|− zee−13ee−1 e −1 00Z∞z¡¢e2z 3/2 dz z |βµ|= T 5/2 ν J5/2 − e|βµ| − 13(e e− 1) (ez − 1) (68)(69)0 îòëè÷èå îò (59) çäåñü ïîñëåäíèé èíòåãðàë íà íèæíåì ïðåäåëå ïðè |βµ| → 0íå ðàñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó ïîä çíàêîì èíòåãðàëà õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì ìîæíîïðåíåáðå÷ü è â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ïî |βµ| ïîëó÷èòü2p = T 5/2 ν{J5/2 − |βµ| Jp }3Z∞ez' 3.47Jp = z 3/2 dz(ez − 1)2(70)(71)0Îòñþäà íàõîäèì õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë, êàê ôóíêöèþ òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿJ5/2p3−T(72)µ=2 T 3/2 νJpJpÂîñïîëüçóåìñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèì òîæäåñòâîìdµ = −sdT +VdpN(73)Èç ýòîé ôîðìóëû,ïðåæäå âñåãî, ìîæíî íàéòè êðèòè÷åñêèé îáúåì (50).
Êðîìåòîãî, ïîëó÷àåì ýíòðîïèþ, îòíåñåííóþ ê îäíîé ÷àñòèöåµµ ¶2ª J5/2J5/23 1 ©3p+s = −+=J−|βµ|J= (74)=p5/22 T 5/2 νJpJp2 JpJpp35 1J5/2 − |βµ|(75)2 Jp2∂µ∂T¶Ïîñêîëüêó íèæå êðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû µ = 0, òî íèæå Tc ýíòðîïèÿ ðàâíàíóëþ, è èñêîìàÿ òåïëîòà ôàçîâîãî ïåðåõîäà ðàâíàq=5 1J5/2 Tc ' 1.3Tc2 Jp74(76)Ëåêöèÿ 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
