Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàç8Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàç8.1 Òåðìîäèíàìèêà ôåðìè-ãàçàÐàññìîòðèì ñèñòåìó, íàõîäÿùóþñÿ â òåðìîñòàòå, ñ êîòîðûì ìîæåò ïðîèñõîäèòüîáìåí ÷àñòèö. Ðàñïðåäåëåíèå Ãèááñà â ýòîì ñëó÷àå çàïèøåòñÿwnN = AeµN −EnNT(1)çäåñü µ−õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë, à EnN − ýíåðãèÿ ñèñòåìû, ñîäåðæàùåé N ÷àñòèöè íàõîäÿùåéñÿ â n− êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íîðìèðîâî÷íîé êîíñòàíòû A âû÷èñëèì ýíòîðîïèþ ñèñòåìûS = − hln wnN i = − ln A −µNE+TT(2)Òîãäà ln A = E − T S − µN = F − Φ = −pV = Ω. Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå äëÿòåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ñèñòåìû ïîëó÷àåòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêèXwnN = 1(3)nNîòêóäàΩ = −T lnXeµNTXe−EnNT(4)nNÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òîPNn= PNeN eµNTµNTPPne−EnNTE− nNTne=−∂Ω∂µ(5) ïðåäñòàâëåíèè âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ýëåêòðîíîâ èìååò âèäXH=εk nk(6)kãäå εk - ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â ñîñòîÿíèè k, nk − îïåðàòîð ÷èñëà ÷àñòèö â ýòîì ñîñòîÿíèè, èìåþùèé ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ 0, 1.
Òîãäà ïîòåíöèàë Ω çàïèñûâàåòñÿ ââèäå¶ XPXX µ(εk −µ)(ε −µ)nk− k kTΩ = −T lne= −Tln 1 + e T=Ωk(7)n1 ,n2 ,...nNkkÀääèòèâíîñòü ïîòåíöèàëà Ω ïî èíäåêñó k îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöû íàõîäÿùèåñÿâ ñîñòîÿíèè k ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîäñèñòåìó, íàõîäÿùóþñÿ â òåðìîñòàòåè îáìåíèâàþùåéñÿ ÷àñòèöàìè ñ ïîñëåäíèì. Òîãäà â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (5) äëÿñðåäíåãî ÷èñëà ÷àñòèö â íåêîòîðîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè k ïîëó÷èìnk = −∂Ωk1= (ε −µ)k∂µe T +175(8)Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÄëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà èìååìp2x + p2y + p2z2mε=(9)×èñëî ñîñòîÿíèé â ýëåìåíòå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà dpx dpy dpz dV ðàâíîgdpx dpy dpz dV(2π~)3(10)g = 2s + 1, ãäå s− ñïèí ÷àñòèöû.
Îòêóäà ÷èëî ÷àñòèö â ýòîì ýëåìåíòå ôàçîâîãîïðîñòðàíñòâà ðàâíînk gdpx dpy dpz dVdNp =(11)(2π~)3Ïåðåõîäÿ ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì ïîëó÷èìdNp =gV p2 dp³ (εp −µ)´23T2π ~ e+1(12)Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ε = p2 /2m,ïîëó÷èì ðàñïðåäåëåíèå ïî ýíåðãèÿìdNε =gV m3/2 ε1/2 dεbV ε1/2 dε³ (ε−µ)´ = (ε−µ)e T +121/2 π 2 ~3 e T + 1Ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö â ñèñòåìå èìååò âèäZZN = dNε = bV∞ε1/2 dεe0(ε−µ)T+1(13)(14)Ýíåðãèÿ ñèñòåìû èìååò âèäZE=Z∞εdNε = bV0Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàëZ∞Ω = −bV Tε3/2 dεe(ε−µ)T³´(µ−ε)ε1/2 ln 1 + e Tdε0Èíòåãðèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èìZε3/2 dε2Ω = − bV(ε−µ)3e T +1Îòêóäà èìååìÏîñêîëüêó Ω = −pV,òî2Ω=− E32p= b3+1Z∞076(ε−µ)T(16)(17)(18)ε3/2 dεe(15)+1(19)Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÏåðåïèøåì ýòî ñîîòíîøåíèå â âèäå2p = bT 5/23Z∞0z 3/2 dzµez− T + 1(20)Âûðàæåíèå äëÿ ÷èñëà ýëåêòðîíîâ â ñèñòåìå â ýòèõ æå îáîçíà÷åíèÿõ èìååò âèäZN2 3/2 ∞ z 1/2 dz= bT(21)µV3ez− T + 10Ïðè ðàâíîé íóëþ òåìïåðàòóðå âûðàæåíèå äëÿ äàâëåíèÿ (19) ïåðåïèøåòñÿp = bµ5/2 (0)(22)Íèæå áóäåò ïîêàçàíî (ñì.
(30) ) µ (0) = εF ∼ (N/V )2/3 . Ïîýòîìó äàâëåíèå ôåðìèãàçà ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå ïðîïîðöèîíàëüíî åãî ïëîòíîñòè â ñòåðåíè 5/3.Âû÷èñëèì òåïëîåìêîñòü ìíîãîýëåêòðîííîé ñèñòåìû. Èç (15) èìåå쵶Z ∞1 ∂E∂c ==bε3/2f (ε)(23)V ∂T V∂T01f (ε) = (ε−µ)(24)e T +1Ïðîèçâîäíàÿ∂f∂T(ε) èìååò âèä∂f1= ³∂TTeeµ(ε−µ)T(ε−µ)T+1´2Ñ äðóãîé ñòîðîíû,∂f1=− ³∂εTÑëåäîâàòåëüíî,∂f∂f=−∂T∂εµee(ε − µ)+ µ0T(ε−µ)T(ε−µ)T+1(25)(26)´2(ε − µ)+ µ0T¶¶(27)Ïîäñòàâëÿÿ (27) â (23) è â ñîîòíîøåíèå ∂N= 0 (ñì.
(14)), îçíà÷àþùåå ïîñòîÿí∂Tñòâî ÷èñëà ÷àñòèö ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû, ïîëó÷èì´R ∞ 3/2 ∂f ³ (ε−µ)0c = −b 0 ε ∂ε+ µ dεT´(28)R ∞ 1/2 ∂f ³ (ε−µ)0ε+µdε=0∂εT0Ïðè T → 0 ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ f (ε) → θ (εF − ε) , òî åñòü çàïîëíåíû âñåñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé 0 < ε < εF . Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ïðåäåëüíîå âûðàæåíèå äëÿôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â (14), ïîëó÷èìZ ∞23/2(29)N = bVθ (εF − ε) ε1/2 dε = bV εF3077Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÎòêóä൶2/33NεF =(30)2bVÒåîðèÿ ôåðìè-ãàçà îáû÷íî ïðèìåíÿåòñÿ ê ìåòàëëàì, äëÿ êîòîðûõ â îáëàñòè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóð T ¿ εF . ïðèëîæåíèÿõ ïîëåçíîé îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíîé ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ ñëåäóþùåãî âèäàZ∂fF (ε)dε(31)∂εÏðåäñòàâèì ôîðìóëó (26) â âèäå∂f11=−¡ ε−µ ¢2∂ε4T ch22T(32)Ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò òî÷êè ε = µ, ýòà ôóíêöèÿ áûñòðî óáûâàån, ïîýòîìó ïðåäåëûèíòåãðèðîâàíèÿ â èíòåãðàëå (31) ìîæíî çàìåíèòü íà ±∞.
Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå â(31) äëÿ ôóíêöèè F (ε) ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì ÷ëåíîâ â ðàçëîæåíèè1F (ε) = F (µ) + (ε − µ) F 0 (µ) + (ε − µ)2 F 00 (µ) ...(33)2 ñèëó ÷åòíîñòè ôóíêöèè (32) âêëàä â èíòåãðàë (31) äàþò òîëüêî ÷åòíûå ÷ëåíûðàçëîæåíèÿ (33). Îñòàâøèåñÿ èíòåãðàëû ðàâíûR ∂fdε = −1∂εRR2 2(34)2 ∂f1z2(ε − µ) ∂ε dε = − 4Tdz = − π 3Tch2 (z/2T )Òàêèì îáðàçîì,Zπ 2 T 2 00∂fdε = −F (µ) −F (µ)(35)∂ε6Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî (35) ê èíòåãðàëàì (28), ïîëó÷àå쵶µ¶Z ∞(ε − µ)∂f3 ∂µπ2T 23/203/2 ∂µ1/2εc = −b+µdε = bµ+b+ 3µ /TT∂ε∂T64µ1/2 ∂T0(36)赶µ¶Z ∞(ε − µ) ∂µ ∂fπ2T 21 −3/2 ∂µ1/21/2 ∂µ−1/2ε+dε = µ+− µ+µ/T = 0T∂T ∂ε∂T64∂T0(37)³ ´2Âòîðîé ÷ëåí â (37) ñîäåðæèò äîïîëíèòåëüíûé ìàëûé ìíîæèòåëü Tµ , è èììîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Òîãäà∂µπ2T=−(38)∂T6µÑîîòíîøåíèå (38) ïîçâîëÿåò îïóñòèòü ïåðâûé ÷ëåí â ñêîáêàõ â ïðàâîé ÷àñòè (36),³ ´2ìàëûé ïî ñðàâíåíèþ ñî âòîðûì ïî ïàðàìåòðó Tµ . Ïîýòîìó, ïîäñòàâëÿÿ (38) â(36) äëÿ òåïëîåìêîñòè èìååìπ 2 bTc=(39)3µF (ε)78Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÒî åñòü òåïëîåìêîñòü âûðîæäåííîãî ôåðìè-ãàçà ëèíåéíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû.
Ýòîò ðåçóëüòàò íå çàâèñèò îò ðàçìåðíîñòè ñèñòåìû.8.2 Ìàãíåòèçì ýëåêòðîííîãî ãàçàÐàññìàòðèâàåòñÿ ýëåêòðîííûé ãàç â ìàãíèòíîì ïîëå. Íàëè÷èå ñïèíîâîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñïèíû âûñòðàèâàþòñÿ âäîëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ- ïàðàìàãíèòíûé ýôôåêò. Îäíàêî, íàðÿäó ñ ïàðàìàãíåòèçìîì ýëåêòðîííûé ãàçîáíàðóæèâàåò è äèàìàãíèòíûå ñâîéñòâà, èìåþùèå ÷èñòî êâàíòîâîå ïðîèñõîæäåíèå. Ýòî ñëåäóåò èç èçâåñòíîé èç òåîðèè ïîëÿ òåîðåìû Áîðà - Äîðôìàíà - âàíËååâåí. Êà÷åñòâåííî ýòî ìîæíî ïîíÿòü èç òîãî, ÷òî ñèëà Ëîðåíöà äåéñòâóþùàÿíà çàðÿä â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ïåðïåíäèêóëÿðíà åãî ñêîðîñòè è íå âûïîëíÿåò íàä íèì ðàáîòó.
Ïîýòîìó ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà (åñëè îòâëå÷üñÿ îò ýíåðãèè∂εñïèíà â ìàãíèòíîì ïîëå) íå çàâèñèò îò ïîëÿ è ìàãíèòíûé ìîìåíò M = − ∂H= 0.Êàê ïîêàçàë Ëàíäàó, ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå, íàïðâëåííîì ïî îñè z, êâàíòóåòñÿ â ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè è èìååò âèäε (pz , H) = µB H (2n + 1) +p2z± µB H, n = 0, 1, ....2m(40)e}− ìàãíåòîí Áîðà, H− âåëè÷èíà ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íàïðàâëåííîãî ïî îñèµB = 2mcz.Äëÿ âûâîäà ôîðìóëû (40) ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ýëåêòðîíàâ ìàãíèòíîì ïîëå, íàïðàâëåííîì ïî îñè z. Âûáåðåì âåêòîð ïîòåíöèàë â âèäåAy = Hx, Ax = Az = 0. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà çàïèøåòñÿ´2}2 ∂ 2 ψ1 ³e}2 ∂ψ−+−i}∇−Hxψ−= εψ(41)y2m ∂x22mc2m ∂z 2Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò èñêàòü â âèäåψ (x, y, z) = e−ipy y/} e−ipz z/} ψ (x)Ïîäñòàâëÿÿ (42) â (41), ïîëó÷èì´2}2 ∂ 2 ψ (x)1 ³ep2z−+p−Hxψ(x)+ψ (x) = εψ (x)y2m ∂x22mc2mèë赶}2 ∂ψ (x) e2 H2 ³cpy ´2p2z+x−ψ (x) = ε −ψ (x)−2m ∂x22mc2eH2m(42)(43)(44)Ââåäåì îáîçíà÷åíèå ω = eH.
Òîãäà ïîñëåäííå óðàâíåíèå ïåðåïèøåòñÿ â âèäåccpóðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ îñöèëëÿòîðà, ñ òî÷êîé ðàâíîâåñèÿ, ñìåùåííîé â eHy .Ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì (40), â êîòîðîì ó÷òåíà ýíåðãèÿ ñïèíà â ìàãíèòíîì ïîëå.Âûèñëèì ÷èñëî ñîñòîÿíèé ñ ôèêñèðîâàííûì n è ïðîäîëüíûì èìïóëüñîì âèíòåðâàëå (pz , pz + dpz ) . Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ýëåêòðîíà â ïðÿìîóãîëüíîì ÿùècpêå ðàçìåðà Lx , Ly , Lz . Ïî ñâîåìó ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó x0 = eHy åñòü ðàâíîâåñíîåïîëîæåíèå îñöèëëÿòîðà, êîòîðîå äîëæíî íàõîäèòüñÿ â ïðåäåëàõ ÿùèêà0<eHLxcpy< Lx ⇔ 0 < p y <eHc79(45)Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàç×èñëî ñîñòîÿíèé â èíòåðâàëå dpy è dpz ñîâïàäàåò ñ òàêîâûì äëÿ ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ(46)(47)dny = dpy Ly /2π}dnz = dpz Lz /2π}×èñëî ñîñòîÿíèé ñ ôèêñèðîâàííûì n è ïðîäîëüíûì èìïóëüñîì â èíòåðâàëå(pz , pz + dpz ) ðàâíîV eHρz dpz =dpz(48)(2π~)2 cÇàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ Ω−ïîòåíöèàëà ýëåêòðîííîãî ãàçà â ôîðìåX ¡¢ln 1 + e(µ−εq )/TΩ (µ, H, T ) = −T(49)qãäå ñèìâîë q îáîçíà÷àåò íàáîð èíäåêñîâ, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà n, pz è ïðîåêöèþ ñïèíà íà íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Ïîýòîìó∞ ZXXXρz dpz ...(50)... =spin n=0qÏðè V = const èìååì(51)dΩ = −SdT − M V dH − N dµÎòêóäà ïîëó÷àåì âûðààæåíèÿ äëÿ ÷èñëà ÷àñòèö è íàìàãíè÷åííîñòèµµ ¶¶∂Ω∂Ω,M = −N =−.∂µ T,HdHÄëÿ äàëüíåéøåãî âîñïîëüçóåìñÿ òðåìÿ ôîðìóëàìèZ σ+i∞¡¢1πλ eλξξdλ=ln1+e2πi σ−i∞ sin πλ λ2Z σ+i∞ λξe1dλ = ξθ (ξ) ,2πi σ−i∞ λ2(52)(53)(54)ãäå θ (ξ) − ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà èZ ∞ λξπλedξ =ξ2sin πλ−∞ 4ch 2(55)Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (53), ïðåîáðàçóåì (49) ê âèäó1Ω (µ, H, T ) = −2πiZσ+∞σ−i∞πλTsin πλTPq(µ−εq )eλλ2dλ(56)Ñ ïîìîùüþ (55) ïðèâåäåì (56) ê âèäó1Ω (µ, H, T ) = −2πiZσ+∞σ−i∞80dλλ2ZP∞dξ−∞qeλ(ξT +µ−εq )4ch2 2ξ(57)Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÏîëîæèì â (100) T = 0 è ïðîèíòåãðèðóåì ïî ξ (èñïîëüçóÿ òî, ÷òî èíòåãðàë (55)ðàâåí åäèíèöå â ïðåäåëå λ → 0)R σ+∞ Pq eλ(µ−εq ) dλ1Ω (µ, H, 0) = − 2πi σ−i∞λ2Pµ−εq )(R σ+∞ q eλdλ1= − 2πiλ2σ−i∞R∞dξ−∞ 4ch2 ξ2=(58)Èçìåíèì â (100) ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿP λ(ξT +µ−εq )Z σ+∞Z1dλ ∞qeΩ (µ, H, T ) = −dξ=(59)2πi σ−i∞ λ2 −∞4ch2 2ξR σ+∞ dλ P λ(ξT +µ−εq )Z ∞Z ∞1− 2πiΩ (µ + ξT, H, 0)qeσ−i∞ λ2=dξ=dξξ24ch 24ch2 2ξ−∞−∞Z ∞1Ω (u, H, 0)duT −∞4ch2 u−µ2TÒàêèì îáðàçîì, ìû ñâÿçàëè òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ω ïðè ïðîèçâîëüíîéòåìïåðàòóðåçíà÷åíèåì ïðè T = 0.
Èç ïðåäûäóùåé ëåêöèè ìû çíàåì, ÷òî¡¢ ñ åãî ∂f2 u−µ −14T ch 2T= − ∂u = δ (u − µ) . Òî åñòü âûðàæåíèå (59) íåïðîòèâîðå÷èâî.Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü ôîðìóëîé (54) è ïðåîáðàçóåì (58) ê âèäó1 XΩ (µ, H, 0) = −2πi qZσ+∞σ−i∞eλ(µ−εq )λ2dλ=−X(µ − εq ) θ (µ − εq )(60)qÂûïîëíèì âíà÷àëå ñóììèðîâàíèå ïî n è ïî ïðîåêöèè ñïèíà. Çàìåòèì, ÷òî ðàçíîñòü µ − ε äëÿ êâàíòîâîãî ÷èñëà n − 1 è ñïèíà íàïðàâëåííîãî ïî ïîëþ ðàâíàçíà÷åíèþ ýòîé ðàçíîñòè äëÿ êâàíòîâîãî ÷èñëà n è ñïèíà íàïðàâëåííîãî ïðîòèâïîëÿp2zµ − µB H [2 (n − 1) + 1] − 2m− µB H =(61)p2zp2zµ − µB H [2n + 1] − 2m + µB H = µ − 2nµB H − 2mÝòî èìååò ìåñòî êðîìå êâàíòîâîãî ÷èñëà n = 0 è ñïèíà íàïðàâëåííîãî ââåðõ.Ïîýòîìó"µµ¶¶#Z22XV eHppΩ (µ, H, 0) = −dpzµ− z +2µ − 2nµB H − z(62)22m2m(2π~) cn=1pÈíòåãðèðîâàíèåïîpïðîõîäèòâïðåäåëàõ−2m (µ − 2nµB H),zp2m (µ − 2nµB H)³´pRp2zdpz µ − 2nµB H − 2m= 2 · (µ − 2nµB H) 2m (µ − 2nµB H)(63)√2− 3·2m(2m (µ − 2nµB H))3/2 = 43 2m (µ − 2nµB H)3/2Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ãàçà ïðè T = 0µ¶2/33N(2π~)2µ0 =8πV2m81(64)Ëåêöèÿ 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
