Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Âåêòîð îáðàòíîé ðåøåòêè 2πn/d, î÷åâèäíî, ïðèíàäëåæèò ýòîìó ìíîæåñòâó, òàê êàê L ñîäåðæèò öåëîå ÷èñëî ïåðèîäîâ. Ïîýòîìóìàòîè÷íûé ýëåìåíò Vpp0 îòëè÷åí îò íóëÿ, åñëèp − p0 = 2π}n/d(168) ïåðâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé ïîïðàâêà ê ýíåðãèè Vpp = V0 íå çàâèñèò îòèìïóëüñà è îïðåäåëÿåò ëèøü íà÷àëî îòñ÷åòà ýíåðãèè. Âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèèâîçìóùåíèéX|Vpp0 |2.(169)ε(2) (p) =(0) (p) − ε(0) (p − 2π}n/d)εnÓñëîâèåì ïðèìåíèìîñòè òåîðèè âîçìóùåíèé ÿâëÿåòñÿ ìàëîñòü ýòîé ïîïðàâêè ïîñðàâíåíèþ ñ V0 . Ýòî óñëîâèå î÷åâèäíî íàðóøàåòñÿ, êîãäà p ïðèáëèæàåòñÿ ê çíà÷åíèþ π}n/d.Äëÿ òàêèõ çíà÷åíèé p íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü òåîðèþ âîçìóùåíèéäëÿ âûðîæäåííîãî ñïåêòðà.94Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÏóñòü p = π}n/d − ∆p, òîãäà p0 = ∆p − π}n/d. Òîãäà èì ñîîòâåòñòâóþò âîëíîâûå ôóíêöèè ψ1 è ψ2 è ñîîòâåòñòâåííî ýíåðãèè ε1 è ε2 Èùåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿØðåäèíãåðà â âèäåψ = a1 ψ1 + a2 ψ2(170)Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà Hψ = εψ.  ðåçóëüòàòå èìååìa1 (ε1 − ε) ψ1 + a2 (ε2 − ε) ψ2 + V (a1 ψ1 + a2 ψ2 ) = 0(171)Óìíîæàÿ ýòî óðàâíåíèå íà ψ1∗ è ψ2∗ , è èñïîëüçóÿ îðòîãîãàëüíîñòü ýòèõ ôóíêöèéïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèèé(ε1 − ε + V0 ) a1 + Vn a2 = 0Vn∗ a1 + a2 (ε2 − ε + V0 ) = 0(172)Ðàâåíñòâî íóëþ äåòåðìèíàíòà ýòîé ñèñòåìû åñòü óñëîâèå åå ðàçðåøèìîñòè(ε1 − ε + V0 ) (ε2 − ε + V0 ) = |Vn |2(173)Åñëè âêëþ÷èòü V0 â ε, òî (173) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåε2 − ε (ε1 + ε2 ) + ε1 ε2 − |Vn |2 = 0Îòñþäàs(ε1 − ε2 )2+ |Vn |242ε=9(174)(ε1 + ε2 )±2(175)Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîéòåìïåðàòóðå9.1 Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå0.  èäåàëüíîì áîçå-ãàçå ïðè íèçêîé òåìïåðàòóðå èìååò ìåñòî çàìå÷àòåëüíîåÿâëåíèå íàêàïëèâàíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîãî ÷èñëà ÷àñòèö íà íèæíåì óðîâíå - êîíäåíñàöèÿ Áîçå-Ýéíøòåéíà. Ýòî ñâîéñòâî ñóùåñòâóåò è â íåèäåàëüíîì áîçå-ãàçåñ ïàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì ÷àñòèö. Áîëåå òîãî, îíî ñîõðàíÿåòñÿ â êîíäåíñèðîâàííîé ñðåäå èç áîçå-÷àñòèö, ò.å. â áîçå-æèäêîñòè. Òàêîé æèäêîñòüþ ÿâëÿåòñÿ íèçêîòåìïåðàòóðíûé ãåëèé. (Âñå äðóãèå ïëîòíûå âåùåñòâà ïðè òåìïåðàòóðå,áëèçêîé ê íóëþ, íàõîäÿòñÿ â òâåðäîì ñîñòîÿíèè.) Íî âçàèìîäåéñòâèå àòîìîâ âæèäêîñòè âåëèêî, è òåîðèÿ æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíîé. Ïîýòîìóìû îãðàíè÷èìñÿ ïîñòðîåíèåì òåîðèè ðàçðåæåííîãî ñëàáî íåèäåàëüíîãî áîçå-ãàçà.Äî ïîñëåäíåãî âðåìåíè òàêàÿ òåîðèÿ èìåëà ÷èñòî ìîäåëüíûé ñìûñë êàê ïðîñòàÿäåìîíñòðàöèÿ ïðîèñõîæäåíèÿ îñíîâíûõ ñâîéñòâ æèäêîãî ãåëèÿ.
Íî â 1995 ã. ñóìåëè ïîëó÷èòü ìåòîäîì ëàçåðíîãî îõëàæäåíèÿ íåáîëüøèå ïîðöèè (∼ 106 àòîìîâ)ãàçîîáðàçíîãî ðóáèäèÿ â ìàãíèòíûõ ëîâóøêàõ ñ ðåêîðäíî íèçêîé òåìïåðàòóðîéïîðÿäêà 10−9 K. Àòîì ùåëî÷íîãî ìåòàëëà 37 Rb85 èìååò íå÷åòíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ(37) è íå÷åòíîå ÷èñëî íóêëîíîâ (85) è ÿâëÿåòñÿ áîçå-÷àñòèöåé. Áûëî ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîêàçàíî, ÷òî â ãàçå ðóáèäèÿ äåéñòâèòåëüíî èìååòñÿ áîçå-êîíäåíñàöèÿ.95Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÀ íàëè÷èå â íåì íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé óêàçûâàåò íà íàëè÷èå âòîðîãî óäèâèòåëüíîãî ñâîéñòâà áîçå-ñèñòåì - íà ñâåðõòåêó÷åñòü. Âíà÷àëå èçëîæèì òåîðèþÁîãîëþáîâà, à çàòåì òåîðèþ ñâåðõòåêó÷åñòè èçëîæèì íà ñîâðåìåííîì ÿçûêå.1. Ðàññìîòðèì íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç. îñíîâíîì ñîñòîÿíèè íåèäåàëüíîãî áîçåãàçà è ïðè òåìïåðàòóðå, ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ òåìïåðàòóðîé áîçå-êîíäåíñàöèèèäåàëüíîãî ãàçà (Tc = 3.31n2/3 /m), áîëüøèíñòâî àòîìîâ íàõîäèòñÿ íà óðîâíå ñ íóëåâûì èìïóëüñîì (N0 ' Ntot ), ò.å.
îáðàçóþò áîçå-êîíäåíñàò. Òåðìîäèíàìè÷åñêèåñâîéñòâà ýòîãî ãàçà áóäåì îïèñûâàòü â ïðîñòåéøåé ìîäåëè ñ ëîêàëüíûì ïàðíûìâçàèìîäåéñòâèåì (îòòàëêèâàíèåì, U > 0 ) Ýôôåêòèâíûé ãàìèëüòîíèàí ìîäåëèâ èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè èìååò âèäΩ̂ = Ĥ − µN̂ =X k2X1+(− µ)â+â+Uâ+kkk1 âk2 âk3 âk42m2k6=0k1+k2=k3+k4(1)×òîáû íå ñëåäèòü çà ðàçìåðíîñòüþ, ïðèíÿòî V = 1 è ~ = 1.
 ïåðâîé ñóììå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû îòñ÷èòûâàåòñÿ îò õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà. Êàæäûé÷ëåí âòîðîé ñóììû îïèñûâàåò s-ðàññåÿíèå äâóõ ÷àñòèö ñ ñîõðàíåíèåì ñóììàðíîãî èìïóëüñà.Çäåñü è â äàëüíåéøåì äëÿ êðàòêîñòè îïóñêàåì ñòðåëêè íàä âåêòîðàìè. Êàê è âñëó÷àå ãàçà ôîíîíîâ, îïåðàòîðû ïîãëîùåíèÿ è ðîæäåíèÿ áîçå-÷àñòèö ñ âîëíîâûìâåêòîðîì (èìïóëüñîì) k óäîâëåòâîðÿþò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì[âk , â+k0 ] = δk,k0 ,+[âk , âk0 ] = [â+k , âk0 ] = 0,(2)è îïåðàòîð N̂k = â+k âk èìååò ñìûñë îïåðàòîðà ÷èñëà ÷àñòèö â ýòîì ñîñòîÿíèè.Êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîå ñðåäíåå îò (1) åñòü òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ω, âêîòîðîì çàäàí õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë µ , à íå ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö.
Èç òåîðèè îäíîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà è êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè èçâåñòíî,÷òî áîëüøîå ÷èñëî ÷àñòèö â îäíîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê êëàññè÷åñêîå√ïîëå è çàìåíÿòü îïåðàòîð ïîëÿ íà êëàññè÷åñêóþ àìïëèòóäóïîëÿ : â0 → a0 = N0 . Âñå îïåðàòîðû ïîãëîùåíèÿ è ðîæäåíèÿ ñ íå ðàâíûì íóëþèìïóëüñîì áóäåì ó÷èòûâàòü òî÷íî.Ïðåíåáðåãàÿ (1) íàäêîíäåíñàòíûìè ÷àñòèöàìè(N0 ' N ), áóäåì èìåòü1Ω0 = −µN + U N 22(3)Ìèíèìèçèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ïî N0 ïðè ôèêñèðîâàííîì µ, ïîëó÷àåìµ = UN(4)Îòñþäà ñðàçó íàõîäèì äàâëåíèå íåèäåàëüíîãî ãàçà ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå1P = −Ω0 = U N 22è ñêîðîñòü çâóêàc2 =∂P∂P1µ== UN =∂ρ∂mNmm96(5)(6)Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÓ÷èòûâàÿ â (1) ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå a40 è a20 , è ïðåíåáðåãàÿ âçàèìîäåéñòâèåìíàäêîíäåíñàòíûõ ÷àñòèö, áóäåì èìåòüĤ − µN̂ = Ω0 += Ω0 +X k2X1+ +[4â+− µ)â+â+UN(k0kk âk + â−k âk + âk â−k ]2m2k6=0k6=0X1k2+ +[ξk â+â+µ(ââ+ââ)],ξ=(+ µ)−k kkk kk −k22mk6=0 ýòîì âûðàæåíèè ïåðåïóòûâàþòñÿ áîçå-îïåðàòîðû ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè èìïóëüñàìè++ +Ωk>0 = ξk (â+k âk + â−k â−k ) + µ(â−k âk + âk â−k )Ýòà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà äèàãîíàëèçóåòñÿ êàíîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåìÁîãîëþáîâà-Òÿáëèêîâàâk = uk b̂k − v−k b̂+(7)−kè åãî ýðìèòîâî ñîïðÿæåííîãî âûðàæåíèÿ (ñ çàìåíîé çíàêà èìïóëüñà)+∗∗â+−k = u−k b̂−k − vk b̂k .(8)Çäåñü ââåäåíû îïåðàòîðû ïîãëîùåíèÿ b̂k è ðîæäåíèÿ b̂+k êâàçè÷àñòèö, êîòîðûåäîëæíû óäîâëåòâîðÿòü òàêèì æå ïðàâèëàì êîììóòàöèè, ÷òî è èñõîäíûå îïåðàòîðû ãîëûõ ÷àñòèö (2)hihi hi+ +00b̂k , b̂+=δ,b̂,b̂=b̂,b̂= 0.(9)00k,kk kkkku2k − vk2 = 1´³´´³´³³++++∗∗∗b̂âub̂−vb̂b̂−vb̂ub̂−vb̂+ξu−vΩk = ξk u∗k b̂+k−k−kk−kkk−kkk−k −k−k−kk−kk´´³´³´³³∗∗∗ +u∗−k b̂+uk b̂k − v−k b̂++ µ u−k b̂−k − vk b̂+−k − vk b̂kk−k + µ uk b̂k − v−k b̂−k+Ïðèðàâíèâàÿ íóëþ ìíîæèòåëü ïåðåä b̂−k b̂k è b̂+k b̂−k , íàõîäèìξk 2uk vk = µ(vk2 + u2k )qξkµ222uk vk = , (vk + uk ) = , εk = ξk2 − µ2εkεk11ξξkku2k = ( + 1), vk2 = ( − 1)2 εk2 εk+Ωk = (εk − ξk ) + εk (b̂+k b̂k + b̂−k b̂−k )XXXĤ − µN̂ =Ωk =(εk − ξk ) +εk b̂+k b̂kÒàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Áîãîëþáîâà ãàìèëüòîíèàí íåèäåàëüíîãî ãàçà ïðåäñòàâëåí êàê ñóììà íåçàâèñèìûõ âîçáóæäåíèé, ýíåðãèÿ êîòîðûõåñòü εk .97Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå2.Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. Èòàê, ðàññìîòðèì íåèäåàëüíûé áîçåãàç. Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ òåìïåðàòóðîé, áëèçêîé ê íóëþ, êîãäà òåïëîâûõ âîçáóæäåíèé î÷åíü ìàëî.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö èìååò âèäHint1=2Zd3 r1 d3 r2 ρ(~r1 )U (~r1 − ~r2 )ρ(~r2 ),(10)ãäå ρ(~r1 ) - ïëîòíîñòü ÷èñëà ÷àñòèö. Ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ÷àñòèö V èìååò õàðàêòåð îòòàëêèâàíèÿV (~r1 − ~r2 ) ≥ 0.(11) ñëó÷àå ïðèòÿæåíèÿ ÷àñòèö ãàç íåóñòîé÷èâ îòíîñèòåëüíî ïåðåõîäà â æèäêóþôàçó. êâàíòîâîé ìåõàíèêå â ïðåäñòàâëåíèè ÷èñåë çàïîëíåíèÿ ïëîòíîñòü ÷èñëà ÷àñòèö ñëåäóåò çàìåíèòü íà îïåðàòîð ρ(~r1 ) = ψ̂ + (~r1 )ψ̂(~r1 ) è ðàñïîëîæèòü îïåðàòîðíûå âîëíîâûå ôóíêöèè â íîðìàëüíîì ïîðÿäêå - ñïðàâà äâå ÷àñòèöû èñ÷åçàþòè ñëåâà - âîçíèêàþò:Z1Ĥint =d3 r1 d3 r2 ψ̂ + (~r1 )ψ̂(~r1 )U (~r1 − ~r2 )ψ̂ + (~r2 )ψ̂(~r2 )21=2Zd3 r1 d3 r2 ψ̂ + (~r1 )ψ̂ + (~r2 )U (~r1 − ~r2 )ψ̂(~r2 )ψ̂(~r1 ).(12)Âîëíîâûå ôóíêöèè â ðàçíûõ òî÷êàõ êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì:[ψ̂(~r1 ), ψ̂ + (~r2 )] = δ(~r1 − ~r2 )(13)è ïîëíûé ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû ìîæíî ïîëó÷èòü, äîáàâèâ ê (12) ãàìèëüòîíèàíêèíåòè÷åñêîé ýíåðãèèZĤ =p̂21d rψ̂ (~r)ψ̂(~r) +2m23+Zd3 r1 d3 r2 ψ̂ + (~r1 )ψ̂ + (~r2 )U (~r1 − ~r2 )ψ̂(~r2 )ψ̂(~r1 ).(14)Âûïèøåì òàêæå îïåðàòîð ïîëíîãî ÷èñëà ÷àñòèöZN̂ =d3 rψ̂ + (~r)ψ̂(~r).(15)Ñîãëàñíî îáùèì çàêîíàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè îïåðàòîðû áîçå-ïîëÿ â ïðåäñòàâëåíèè Ãåéçåíáåðãà èìåþò âèäΨ̂(t, ~r) = eiĤt/~ ψ̂(~r)e−iĤt/~ ,(16)Ψ̂+ (t, ~r) = eiĤt/~ ψ̂(~r)e−iĤt/~ .(17)98Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÃàìèëüòîíèàí ñèñòåìû â ïðåäñòàâëåíèè Ãåéçåíáåðãà èìååò âèä (14), íî ñ çàìåíîéψ̂ íà Ψ̂.Äèôôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèå (16), ïîëó÷àåì ñòàíäàðòíîå âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé ëþáîãî îïåðàòîðà ïî âðåìåíèih∂i~ Ψ̂(t, ~r) = Ψ̂(t, ~r), Ĥ .∂t(18)Ïðîèçâîäèì êîììóòàöèþ îïåðàòîðà ïîëÿ ñ ãàìèëüòîíèàíîì, ñ ó÷åòîì òîãî,÷òîhiΨ̂(t, ~r1 ), Ψ̂+ (t, ~r2 )Ψ̂(t, ~r2 ) = δ(~r1 − ~r2 )Ψ̂(t, ~r2 )(19)è ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîìó èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ØðåäèíãåðàZ∂p̂2i~ Ψ̂(t, ~r) =Ψ̂(t, ~r) + d3 r1 Ψ̂+ (t, ~r1 )U (~r − ~r1 )Ψ̂(t, ~r1 )Ψ̂(t, ~r).(20)∂t2mÏðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ñóùåñòâóþò òîëüêî íèçêîýíåðãåòè÷åñêèå äëèííîâîëíîâûå âîçáóæäåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
