Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÒîãäàV eH 4 √8πV (2m)3/2 eH ~ · N12m == µB N H 3/2233N (2π~) c 2m(2π~) c 3µ0Ïîäñòàâëÿÿ (63) è (102) â (62), ïîëó÷èì"µ ¶¶3/2 #l µ3/2Xµµ − 2nµB H−Ω (µ, H, 0) = µB N H+2µ0µ0n=1(65)(66)Ïåðåïèøåì ýòî âûðàæåíèå â âèäåµ−Ω (µ, H, 0) = N µ0µB Hµ0¶5/2 "µµµB HÒåïåðü ââåäåì îáîçíà÷åíèåx=èRa (x) = axa−1 + 2a¶3/2¶3/2 #l µXµ+2− 2nµHBn=1µµB H∞X(67)(68)(x − 2n)a−1 θ (x − 2n)(69)n=1Äèôôåðåíöèðóÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíè壤P∞a−2∂Ra (x)a−2=a(a−1)x+2(a−1)(x−2n)θ(x−2n)+n=1∂xPa−12a ∞(x−2n)δ(x−2n)n=1(70)Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî a > 1∂Ra (x)= aRa−1 (x)∂xÈòàê,2−Ω (µ, H, 0) = N µ05µµB Hµ0(71)¶5/2R5/2 (x)(72)Èç (52), (71), (72) èìååìµN =NÎòêóäà ñëåäóåò, ÷òîµB Hµ0¶3/2R3/2 (x)£¤2/3µ0= R3/2 (x)µB H(74)èë裤−2/3µ= x R3/2 (x)µ0Îïðåäåëèâ âîñïðèèì÷èâîñòü êàê,1M=−χ=HVHµ∂Ω∂H¶N µ2B=V µ0µ82µB Hµ0¶1/2(73)(75)¡¢R5/2 (x) − xR3/2 (x)(76)Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçè ââåäÿ îáîçíà÷åíèå χ0 =2N µB,V µ0íàõîäè좣¤−1/3χ (H, 0) ¡= R5/2 (x) − xR3/2 (x) R3/2 (x)χ0Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðåäåëüíûå ñëó÷àè.À.
Ñèëüíûå ïîëÿ. Åñëèµ< 2,µB H(77)(78)òî â (67), (69) âûæèâåò òîëüêî ïåðâûé ÷ëåí èR5/2 (x) = 5/2x3/2 , R3/2 (x) = 3/2x1/2(79)Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ ýòè îöåíêè (75) è (77) è èñïîëüçóÿ (68), ïîëó÷èìµ=µ0µ ¶2/3 µ¶2/32µ3µB HÎòêóäàµ4=µ09µµ0µB H(80)¶2(81)Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ âîñïðèèì÷ìâîñòèχ (H, 0)8=χ027µµ0µB H¶4(82)Á. ×óòü ñëîæíåå èññëåäóåòñÿ ñëó÷àé ñëàáûõ ïîëåé x À 1. Âûâåäåì àñèìïòîòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ra (x) . Èç (69) èìååìPa−1a−1 Ra (2l) = (2l)a−1 + 2 ∞θ (2l − 2n) =n=1 (2l − 2n)l£¤P= (2l)a−1 + 2a (l − 1)a−1 + (l − 2)a−1 + ....2a−1 + 1a−1 = 2ana−1 − (2l)a−1n=1(83)Äëÿ îöåíêè ýòîãî âûðàæåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà (âûâîä ñì.
â êîíöåëåêöèè)Z l+1/2lX1 0f (k) =f (x)dx −[f (l + 1/2) − f 0 (1/2)](84)241/2k=1Ñîãëàñíî ýòîé ôîðìóëå ïðè a > 2,lXn=1Zna−1l+1/2=1/2na−1 dn −¤a−1£(l + 1/2)a−2 − 1/2a−224(l + 1/2)a − 1/2a a − 1 a−2≈−la´ 24³la 1 + 2la + a(a−1)a−12∗(2l)2−(2l)a−2=a683(85)(86)(87)Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÄîìíîæèì îòâåò íà 2a a è âû÷òåì a (2l)a−1 (ñì. (83))a (a − 1)(2l)a−26µ¶a (a − 1)aRa (x) = x 1 +3x2Ra (2l) = (2l)a −(88)(89)Ýòà îöåíêà ñïðàâåäëèâà äëÿ a > 2. Äëÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà¶5/2·¸5µB H5/2x1+ 2 =µ04xµ ¶5/2 "µ¶2 #µ5 µB H21+N µ05µ04µ2−Ω (µ, H, 0) =N µ05µÒîãäà∂Ω (µ, H, 0)N =−=N∂µ"µµµ0¶3/2+(µB H)23/24µ0 µ1/2(90)(91)#(92)Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî â íóëåâîì ìàãíèòíîì ïîëå µ = µ0 .  ñëàáîì ìàãíèòíîì ïîëåµ = µ0 + ∆µ3∆µ(µB H)2= − 3/2(93)2µ04µ0 µ1/2∆µ/µ0 = −Íàìàãíè÷åííîñòüµM=−à äëÿ âîñïðèèèì÷èâîñòè∂Ω∂H(µB H)26µ20¶µ,Tµ2B H=Nµ0χ (H, 0)≈1χ0(94)(95)(96)Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïîêàçûâåò, ÷òî ñâîáîäíûé ýëåêòðîííûé ãàç âñåãäà ïàðàìàãíèòåí.
Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ïðåíåáðåæåíèè êâàíòîâàíèåì ýëåêòðîííûõ óðîâíåé â ìàãíèòíîì ïîëå, ìàãíåòèçì ýëåêòðîííîãî ãàçà ñâÿçàí òîëüêî ñ íàëè÷èåìñïèíîâîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà, ïðè ýòîì ïàðàìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü ðàâíà χpara = 3χ0 /2. Òàêèì îáðàçîì, ó÷åò êâàíòîâàíèÿ ïðèâîäèò ê äèàìàãíèòíîìóýôôåêòó χdia = − χ0 /2.Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñâîáîäíûé ýëåêòðîííûé ãàç, â öåëîì, ïàðàìàãíèòåí, âïðèðîäå ñóùåñòâóåò áîëüøîå ÷èñëî äèàìàãíèòíûõ ìåòàëëîâ. Ýòîò êàæóùèéñÿïàðàäîêñ ðàçðåøàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ñâÿçàííàÿ ñ ñïèíîì ïàðàìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü çàâèñèò îò ìàññû ýëåêòðîíà ÷åðåç ìàãíåòîí Áîðà, êîòîðûéîïðåäåëÿåòñÿ ìàññîé ãîëîãî ýëåêòðîíà.  òî æå âðåìÿ, ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå ýëåêòðîíà â ìåòàëëå, ïðèâîäàùåå ê äèàìàãíèòíîìó ýôôåêòó, îïðåäåëÿåòñÿýôôåêòèâíîé ìàññîé ýëåêòðîíà â ìåòàëëå m∗ . Ïðè ýòîì îêàçûâåòñÿ, ÷òîχpara /χdia = 1/3 (m/m∗ )84(97)Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÝòà âåëè÷èíà ìîæåò áûòü áîëüøå åäèíèöû.Ðàññìîòðèì ïðåäåëüíûé ñëó÷àé âûñîêèõ òåìïåðàòóð T À µB H.  ýòîé îáëàñòè òåìïåðàòóð õèìïîòåíöèàë èìååò áîëüøîå îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå (ýòî ôèçè÷åñêè ïîíÿòíî è, êðîìå òîãî, áóäåò ïîäòâåðæäåíî íèæå ðàñ÷åòîì). Èñïîëüçóÿýòî îáñòîÿòåëüñòâî, ìîæíî çàïèñàòü−Ω (µ, H, T ) = TX(µ−εq )/Teq=T∞ ZXXspin n=0Âûïîëíèì èíòåãðèðîâàíèåZp2V eH µ−µB H(2n+1)− 2mz ∓µB HTdpze(2π~)2 c(98)p2zdpz e− 2mT = (2πmT )1/2 ,ñóììèðîâàíèå∞Xe−µB H(2n+1)T(99)1=µB HTe− e−n=0è ñóììèðîâàíèå ïî ïðîåêöèè ñïèíà, ïîëó÷èì1/2µB H(100)µB HTµ H− Bµ)TeH e T +eT =−Ω (µ, H, T ) = V T (2πmTµ H ec µB H(2π~)2− BTTe−e³ ´3/2µ2mT 5/2 e T µBTH cth µBTH= V4 π~2(101)×èñëî ÷àñòèö ïîëó÷èì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ïî õèìïîòåíöèàëóµ¶3/2µV 2mTµB HN=(102)e T cth2π~4TËîãàðèôìèðóÿ (102), íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ õèìïîòåíöèàëà"#µ¶3/22mTVµB HµB Hµ = −T lncth,π~24NTT(103)êîòîðîå ÿâëÿÿñü áîëüøèì îòðèöàòåëüíûì ÷èñëîì â ñëó÷àå âûñîêèõ òåìïåðàòóðïåðõîäèò â âûðàæåíèå äëÿ õèìïîòåíöèàëà áîëüöìàíîâñêîãî ãàçà â îòñóòñòâèåâíåøíèõ ïîëåé.Äëÿ íàìàãíè÷åííîñòè ïîëó÷èì¡ ∂Ω ¢M (H, T ) = − V1 ∂H=µT³³ ´3/2¡ µB H ¢2 ´(104)µB HµB H2m15/2 TµTecth−24H π~TTTÏîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå (103) äëÿ õèìïîòåíöèàëà ïîëó÷èìÃ!2µB HN µB TT¡ 2µ¢1−M (H, T ) =V µB Hsh TB H85(105)Ëåêöèÿ 8.
Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÝòî âûðàæåíèå ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ëàíæåâåíîâñêîé çàâèñèìîñòèM (H, T ) = NVµB th µBTH , êîòîðîå â îáëàñòè âûñîêèõ òåìïåðàòóð ïðèâîäèò ê íàñûùåíèþ íàìàãíè÷åííîñòè. Ýòà çàâèñèìîñòü íå ó÷èòûâàåò äèàìàãíèòíîãî ýôôåêòà. îáëàñòè âûñîêèõ òåìïåðàòóð T À µ0 è ñèëüíûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé T ¿ µB Hó÷åò äèàìàãíåòèçìà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî íàìàãíò÷åííîñòü ìîíîòîííîííî êàê1/H →0.Ïåðåéäåì òåïåðü ê èññëåäîâàíèþ îñöèëëÿöèîííûõ ýôôåêòîâ â ôåðìè-ãàçå.Åùå â 1931 ãîäó äå Ãààç è âàí Àëüôåí ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæèëè ïåðèîäè÷åñêîå èçìåíåíèå ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè â âèñìóòå ïðè èçìåíåèèèìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáëàñòè íèçêèõ òåìïåðàòóð.Âûøå ïîäðîáíî áûë èññëåäîâàí ñëó÷àé íèçêèõ (â ïðåäåëå íóëåâûõ) òåìïåðàòóð. Ìû âûÿñíèëè, ÷òî åñëè ïîëå äîñòàòî÷íî ñèëüíîå µBµH < 2 (ñì. (78)), òîèìååò ìåñòî ìîíîòîííàÿ çàâèñèìîñòü õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà è âîñïðèèì÷èâîñòè ñ ðîñòîì ïîëÿ.
Ýòà îáëàñòü íå ïðåäñòàâëÿåò ïðàêòè÷åñêîãî èíòåðåñà è åäâà ëèäîñòèæèìà. Çàòåì áûëà ïîëó÷åíà ïåðâàÿ ïîïðàâêà ê õèìè÷åñêîìó ïîòåíöèàëó.Ïðîàíàëèçèðóåì òåïåðü, ïîâåäåíèå âîñïðèèì÷èâîñòè â îáëàñòè ñëàáûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé µB H ¿ µ0 . Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ñëó÷àé íóëåâûõ òåìïåðàòóðîãðàíè÷èìñÿ èññëåäîâàíèåì ýôôåêòîâ â äâóìåðíîì ôåðìè-ãàçå.  ýòîì ñëó÷àåóðîâíè ýíåðãèè ðàâíûεl (H) = µB H (2l + 1) , l = 0, 1, ....(106) äâóìåðíîì ñëó÷àå äëÿ ñòåïåíè âûðîæäåíèÿ óðîâíÿ èìååìgl = 2S eHS e≡ βH, β =.2π~ cπ~ c(107)Çäåñü S− ïëîùàäü ñèñòåìû. Åñëè gl áîëüøå ïîëíîãî ÷èñëà ýëåêòðîíîâ òî âñå îíèçàíèìàþò ñîñòîÿíèå ñ l = 0.
Ïðè ýòîì, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà E = N µB H, íàìàãíè÷åííîñòü M = −N µB , à âîñïðèèì÷èâîñòü ðàâíà íóëþ. Ïî ìåðå óìåíüøåíèÿìàãíèòíîãî ïîëÿ óìåíüøàåòñÿ ýíåðãèÿ äî òåõ ïîð, ïîêà gl íå ñòàíåò ìåíüøå N.Òîãäà, âñëåäñòâèå ïðèíöèïà Ïàóëè, ÷àñòü ýëåêòðîíîâ ïåðåéäåò íà óðîâåíü ñ l = 1.Ïðè ýòîì ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñèñòåìû âîçðàñòåò ñ óìåíüøåíèåì ïîëÿ è ñèòåìà ñòàíîâèòñÿ ïàðàìàãíèòíîé.Íàéäåì îáùåå âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ñèñòåìû E, êîãäà N ýëåêòðîíîâ ïîëíîñòüþ çàïîëíÿþò r íèçøèõ óðîâíåé Ëàíäàó è, ÷àñòè÷íî r + 1 óðîâåíü, ñîãëàñíîíåðàâåíñòâórβH < N < (r + 1) βH(108)èëèN/ (r + 1) < βH < N/rÏðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òîβH/N < 1.(109)(110)Íàïîìíèì, ÷òî óðîâåíþ ñ íîìåðîì r îòâå÷àåò l = r − 1 â (106). Ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ öåëèêîì, çàïîëíÿþøèõ r ïåðâûõ óðîâíåé, ðàâíàglr−1XµB H (2l + 1) = βµB H2 r2l=086(111)Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÝíåðãèÿ îñòàëüíûõ (N − rgl ) ýëåêòðîíîâ ÷àñòè÷íî çàïîëíÿþùèõ r + 1 óðîâåíüðàâíà(N − rgl ) µB H (2r + 1)(112)Ïîëíàÿ ýíåðãèÿE =N µB H (2r + 1) − βµB H2 r (r + 1)(113) èíòåðâàëå çíà÷åíèé ïîëÿ, îïðåäåëåííûõ íåðàâåíñòâîì (109), èìååìM = −∂E (H, r) /∂H = − N µB [(2r + 1) − 2r (r + 1) βH/N ](114)Âûâîä ýòîé ôîðìóëû ñïðàâåäëèâ ïðè óñëîâèè, êîãäà óðîâåíü ñ r = 1 (l = 0)çàïîëíåí ïîëíîñòüþ, òî åñòü ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (110).Èòàê, íàìàãíè÷åííîñòü êàê ôóíêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ âåäåò ñåáÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì.
Åñëè βH/N > 1, òî ïåðâûé óðîâåíü Ëàíäàó çàïîëíåí ÷àñòè÷íî, íàìàãíè÷åííîñòü M = − N µB , à âîñïðèèì÷èâîñòü íå çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû. Âîáëàñòè ìàãíèòíûõ ïîëåéN/2 < βH < N(115)íàìàãíè÷åííîñòü èìååò âèäM = −N µB [3 − 4βH/N ](116)è ñ óìåíüøåíèåì ïîëÿ ïàäàåò ïî çàêîíó 4µB βH, èçìåíÿÿñü îò çíà÷åíèÿ N µBäî çíà÷åíèÿ −N µB . Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîñòèæåíèè ïîëåì çíà÷åíèÿ H = N/βíà÷èíàåò çàïîëíÿòüñÿ âòîðîé óðîâåíü Ëàíäàó, ÷òî ñîïðîâîæäàåòñÿ ñêà÷êîì íàìàãíè÷åííîñòè îò çíà÷åíèÿ −N µB äî çíà÷åíèÿ N µB . Äàëåå, ïîñëå òîãî, êàê ìàãíèòíîå ïîëå ñòàíåò ìåíüøå çíà÷åíèÿ H = N/2β, íà÷íåòñÿ çàïîëíåíèå òðåòüåãîóðîâíÿ Ëàíäàó, à íàìàãíè÷åííîñòü îïÿòü ñêà÷êîì âîçðàñòåò îò çíà÷åíèÿ −N µBäî çíà÷åíèÿ N µB ñ ïîñëåäóþùèì èçìåíåíèåì ïî çàêîíó 12βH/N äî äîñòèæåíèÿçíà÷åíèÿ −N µB è ò.ä. Ýòîò ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí Ïàéåðëñîì â 1933 ãäóÂûâåäåì ôîðìóëó ñóììèðîâàíèÿ Ïóàññîíà.Ðàññìîòðèì èíòåãðàë îò õîðîøåé ôóíêöèèZl+1/2f (x)dx1/2(117)Àïïðîêñèìèðóåì ôóíêöèþ f (x) íà èíòåðâàëå k − 1/2, k + 1/2, k = 1, 2, 3...l ñëåäóþùèì îáðàçîì1f (x) = f (k) + f 0 (k) (x − k) + f 00 (k) (x − k)22(118)Ïîäñòàâëÿÿ (86) â (41), è âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë ïîëó÷èì (èíòåãðàë îò ïåðâîé ïðîèçâîäíîé îáðàùàåòñÿ â íóëü)#"¸Z k+1/2Z l+1/2ll ·XX1 001 002(x − k) dx =f (x)dx ≈f (k) + f (k)f (k) + f (k)224k−1/21/2k=1k=1(119)87Ëåêöèÿ 8.
Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÏåðåïèøåì (83) â âèäålXZf (x)dx −1/2k=1Ïðèìåíèì ýòó ôîðìóëó ê ñóììåíè÷èòñÿ òîëüêî èíòåãðàëîìlXll+1/2f (k) =ZPlk=1l+1/200f (k) ≈1 X 00f (k)24 k=1f 00 (k) . Ñ òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ ìîæíî îãðà-f 00 (x)dx = f 0 (l + 1/2) − f 0 (1/2)1/2k=1(120)(121) ðåçóëüòàòå ïîëó÷èìlXk=1Zl+1/2f (k) =f (x)dx −1/21 0[f (l + 1/2) − f 0 (1/2)]24(122)8.3 Ýëåêòðîí â ïåðèîäè÷åñêîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêåÎäíîé èç ïðè÷èí òîãî, ÷òî ìåòàëëû ÿâëÿþòñÿ õîðîøèìè ïðîâîäíèêàìè, ÿâëÿåòñÿïåðåêðûòèå ýëåêòðîííûõ îáîëî÷åê âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ àòîìîâ, ñîñòàâëÿþùèõêðèñòàëëè÷åñêóþ ðåøåòêó. Ýòî ïåðåêðûòèå ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî óïîìÿíóòûåýëåêòðîíû óæå íå ïðèíàäëåæàò êàêèì ëèáî îïðåäåëåííûì àòîìàì - ïðîèñõîäèò èõ êîëëåêòèâèçàöèÿ.
Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ õîðîøèì ïðèáëèæåíèåì ÿâëÿåòñÿíåèçìåííîñòü âíóòðåííèõ îáîëî÷åê àòîìîâ âñëåäñòâèå ìàëîñòè èõ ïåðåêðûòèÿ ñàíàëîãè÷íûìè îáîëî÷êàìè ñîñåäíèõ àòîìîâ.Òàêèì îáðàçîì, ìåòàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðèñòàëëè÷åñêóþ ðåøåòêó èç ïîëîæèòåëüíûõ èîíîâ, â ïîëå êîòîðûõ äâèæóòñÿ êîëëåêòèâèçèðîâàííûå ýëåêòðîíûâàëåíòíûõ îáîëî÷åê. Õîòÿ ýòè ýëåêòðîíû è ïðèíÿòî íàçûâàòü ñâîáîäíûìè, îíèñèëüíî âçàèìîäåéñòâóþò êàê ìåæäó ñîáîé, òàê è ñ èîíàìè ðåøåòêè, ïðè÷åì ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýòèõ âçàèìîäåéñòâèé ïîðÿäêà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè.Ïîñòðîåíèå òåîðèè òàêîé ñèñòåìû âñå æå îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì, ãëàâíûìîáðàçîì, ïî ñëåäóþùèì äâóì îáñòîÿòåëüñòâàì.
Âî ïåðâûõ, ïîâåäåíèå ñèñòåìûñèëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèõ ýëåêòðîíîâ (êàê ãîâîðÿò, ýëåêòðîííîé æèäêîñòè) âîìíîãîì àíàëîãè÷íî ïîâåäåíèþ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé ÷àñòèö â íåêîòîðîì âíåøíåì ïîëå, ïðåäñòàâëÿþùåì ñîáîé óñðåäíåííîå ïîëå èîíîâ ðåøåòêè èîñòàëüíûõ ýëåêòðîíîâ. Âî âòîðûõ, ýòî óñðåäíåííîå ïîëå îáëàäàåò ñèììåòðèåéêðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, â ÷àñòíîñòè, ïåðèîäè÷íîñòüþ.Ïîýòîìó íà÷íåì ñ èçó÷åíèÿ ïîâåäåíèÿ ýëåêòðîíà â ïåðèîäè÷åñêîì ïîòåíöèàëåU (r + an ) = U (r) ,(123)ãäå an − ïðîèçâîëüíûé ïåðèîä ðåøåòêè, êîòîðûé â îáùåì âèäå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè áàçèñíûõ âåêòîðîâ ai :an = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 ,ïðè÷åì ni − ïðîèçâîëüíûå öåëûå ÷èñëà.88(124)Ëåêöèÿ 8.
Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÓðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â òàêîì ïîëå èìååò âèäµ 2¶}−∇2 ψ (r) + U (r) ψ (r) = εψ (r)(125)2mÂñëåäñòâèå ïåðèîäè÷íîñòè ïîòåíöèàëà, ψ (r + an ) òîæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ýòîãîóðàâíåíèÿ ñ òåì æå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ε. Åñëè ýòîò óðîâåíü íå âûðîæäåí,òî äîëæíî áûòüψ (r + an ) = Cψ (r)(126)Âñëåäñòâèå óñëîâèÿ íîðìèðîâêè âîëíîâîé ôóíêöèè, èìååìC2 = 1(127)C = eiϕ(an )(128)Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî íàïèñàòüϕ (an ) − âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ñìåùåíèÿ. Ðàññìîòðèì äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõñìåùåíèÿ: a è a0 , êîòîðûì îòâå÷àþò, ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèè C (a) è C (a0 ) . Äâàïîñëåäîâàòåëüíûõ ñìåùåíèÿ a è a0 ýêâèâàëåíòíû îäíîìó a + a0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
