Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ÑëåäîâàòåëüíîC (a) + C (a0 ) = C (a + a0 )(129)Óäîâëåòâîðèòü îäíîâðåìåííî ñâîéñòâàì (128), (129) ìîæíî òîëüêî åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ϕ ïðåäñòàâëÿëîñü â ñëåäóþùåì âèäåϕ (an ) = pan /},(130)ãäå p− íåêîòîðûé âåêòîðíûé êîýôôèöèåíò. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî âåêòîð p îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî, òî÷íåå ñ òî÷íîñòüþ äî âåêòîðà K,òàêîãî, ÷òî Kan = 2πm, ãäåm− öåëîå ÷èñëî, à an − ïðîèçâîëüíûé ïåðèîä ðåøåòêè.
Óðàâíåíèþ Kan = 2πmóäîâëåòâîðÿåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, êîòîðûå ìîãóò áûòü çàïèñàíû âñëåäóþùåì âèäåK n = q1 K 1 + q2 K 2 + q3 K 3 ,(131)ãäåK1 =2π[a2 a3 ]2π[a3 a1 ]2π[a1 a2 ], K2 =, K3 =(a1 [a2 a3 ])(a1 [a2 a3 ])(a1 [a2 a3 ])(132)- âåêòîðû, íàçûâàåìûå âåêòîðàìè îáðàòíîé ðåøåòêè.
Âåêòîðû îáðàòíîé ðåøåòêèKi îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ïðè ýòîìKi aj = 2πδij(133)Ïîñêîëüêó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì p, òî, â÷àñòíîñòè, ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé âåêòîðà p. Ïîñêîëüêó p èp + }K ôèçè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, òî ýíåðãèÿ ε åñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñïåðèîäàìè }Ki .89Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÂîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ äâèæåíèå ýëåêòðîíà â ïåðèîäè÷åñêîì ïîëåè îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîìψ (r + an ) = eipan /} ψ (r) ,(134)ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäåψ (r) = eipr/} u (r) ,(135)ãäå u (r) − ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ:u (r) = u (r + an )(136)Ôîðìóëû (135) è (136) åñòü òåîðåìà Áëîõà.Ââåäåíûé âûøå âåêòîð p íàçûâàþò êâàçèèìïóëüñîì. Âñëåäñòâèå ôèçè÷åñêîéýêâèâàëåíòíîñòè âåêòîðîâ p è p + }k ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîð p ëåæèò âíóòðèýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè, ïîñòðîåííîé íà âåêòîðàõ (132).
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåìñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîð p ïðèíàäëåæèò ïåðâîé çîíå Áðèëëþýíà, òî åñòü−Ki /2 < pi ≤ Ki /2(137)Îáúåì îáëàñòè îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëåíèÿ p ðàâåí(K1 [K2 K3 ]) = (2π})3 /V,(138)ãäå V = (a1 [a2 × a3 ]) − îáúåì ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè èñõîäíîé êðèñòàëëè÷åñêîéðåøåòêè.Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà íàäî çàäàòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.  áåñêîíå÷íî áîëüøîì îáúåìå ïîñëåäîâàòåëüíûå ñîñòîÿíèÿ áåñêîíå÷íî áëèçêè äðóãê äðóãó.
Ôàêòè÷åñêè íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü âîïðîñ î ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé, ò.å.êàêîå ÷èñëî ñîñòîÿíèé ïðèõîäèòñÿ íà èíòåðâàë ýíåðãèé èëè çàäàííûé ýëåìåíòîáúåìà â ïðîñòðàíñòâå êâàçèèìïóëüñà.Ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé íå çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî âèäà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Ïîýòîìó, äëÿ ïðîñòîòû âûáåðåì ïåðèîäè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿψ (x + Lx , y, z) = ψ (x, y + Ly , z) = ψ (x, y, z + Lz ) = ψ (x, y, z) .(139)Ñ÷èòàÿ, ÷òî êàæäûé èç ðàçìåðîâ Li ñîäåðæèò öåëîå ÷èñëî ïåðèîäîâ, èñïîëüçóÿ(135) è (136), ïîëó÷èìeipx Lx /} = eipy Ly /} = eipz Lz /} = 1.Îòêóäà ñëåäóåòpx =2π}ny2π}nz2π}nx, py =, pz =,LxLyLz(140)(141)ãäå ni − öåëûå ÷èñëà.
×òîáû âåêòîðû pi áûëè îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî, áóäåìñ÷èòàòü, ÷òî−Li /2ai < ni ≤ Li /2ai .(142)90Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÃîâîðÿò, ÷òî îïðåäåëåííûå òàêèì îáðàçîì âåêòîðû p ïðèíàäëåæàò ïåðâîé çîíåÁðèëëþýíà.Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ Li âåêòîð p ÿâëÿåòñÿ êâàçèíåïðåðûâíîéïåðåìåííîé. ÷òî ïîçâîëÿåò ñóììèðîâàíèå ïî ñîñòîÿíèÿì çàìåíèòü èíòåãðèðîâàíèåì.
×èñëî ñîñòîÿíèé â íåêîòîðîì îáúåìå p− ïðîñòðàíñòâà îïðåäåëÿåòñÿ êàê∆nx ∆ny ∆nz =Lx Ly Lz ∆px ∆py ∆pz.(2π})3(143)Ïîýòîìó ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé â ýëåìåíòå ôàçîâîãî îáúåìà d3 p ðàâíà (ñ ó÷åòîìíàëè÷èÿ ó ýëåêòðîíà äâóõ ïðîåêöèé ñïèíà)2V(2π})3(144)Ïðèáëèæåíèå ñèëüíîé ñâÿçèÐàññìîòðèì âíà÷àëå äâèæåíèå ýëåêòðîíà â îäíîìåðíîé ïåðèîäè÷åñêîé öåïî÷êå èç îäèíàêîâûõ N èîíîâ. Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî èîíû ðàñïîëîæåíû íà î÷åíü áîëüøîì ðàññòîÿíèè òàê ÷òî îíè íå ÷óâñòâóþò ïîòåíöèàë äðóã äðóãà, òî âáëèçè êàæäîãî èîíà j óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà èìååò âèä−}2 d2 ϕj+ Uj (x) ϕj = E0 ϕj ,2m dx2(145)ãäå Uj − ïîòåíöèàë j− ãî èîíà. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî E0 −ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà.
 ïðèáëèæåíèè èçîëèðîâàííûõ èîíîâ â ðàññìàòðèâàåìîé öåïî÷êå ýòîò óðîâåíü N − êðàòíî âûðîæäåí. Ôàêòè÷åñêè ýëåêòðîíäâèæåòñÿ â ïîòåíöèàëåV (x) =NXUj =j=1NXU (x − jd) ,(146)j=1d− ðàññòîÿíèå ìåæäó èîíàìè. Ïîýòîìó ïîâåäåíèå ýëåêòðîíà îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà äëÿ ýëåêòðîíà â ïîòåíöèàëå (146)N}2 d2 ψ XHψ = −+U (x − jd) ψ = Eψ2m dx2j=1(147)Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà áóäåì èñêàòü â âèäåψ (x) =NXaj ϕj (x) =j=1NXaj ϕ (x − jd)(148)j=1Åñëè áû ñèñòåìà ôóíêöèé ϕj (x) áûëà ïîëíà, òî ðàçëîæåíèå (148) áûëî áû òî÷íûì.
Âáëèçè êàæäîãî èîíà j ïîòåíöèàë V ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ ïîòåíöèàëîìUj .  ýòîé æå îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà òîëüêî ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè ϕj (x) çàìåòíî îòëè÷íà îò íóëÿ. Ïîýòîìó, âñëåäñòâèå (145), ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ðàçóìíîèñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (147) â âèäå (148).91Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÓ÷åò ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó àòîìàìè ïðèâîäèò ê ñíÿòèþ óïîìÿíóòîãî âûøå N −êðàòíîãî âûðîæäåíèÿ.
Ïðè ýòîì ýëåêòðîí ñ êîíå÷íîé âåðîÿòíîñòüþìîæåò íàõîäèòüñÿ âáëèçè ëþáîãî óçëà öåïî÷êè. Êàê ìû óâèäèì íèæå, ñíÿòèåâûðîæäåíèÿ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà ìîæåò íàõîäèòüñÿ â íåêîòîðîì èíòåðâàëå âáëèçè E0 . Åñëè øèðèíà ýòîãî èíòåðâàëà ìåíüøå ðàññòîÿíèÿìåæäó E0 è áëèæàéøèì àòîìíûì óðîâíåì, òî ðàçëîæåíèå (148) ÿâëÿåòñÿ õîðîøèì ïðèáëèæåíèåì. Âîëíîâûå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ íîðìèðîâàííûìèZNddx |ψ (x)|2 = 10Ïîäñòàâèì (148) â (147)Ã!à N!à N!NXXX}2 d2−+U (x − jd)aj ϕj (x) = Eaj ϕj (x) .2m dx2 j=1j=1j=1(149)(150)Èñïîëüçóÿ (145), ïîëó÷èìNXai {E − E0 − [V (x) − Ui (x)]} ϕi (x) = 0(151)i=1Äîìíîæèì ïîñëåäíåå óðàâíåèå íà ϕ∗j (x) è ïðîèíòåãðèðîâàâ ðåçóëüòàò ïî x.
Âðåçóëüòàòå ïîëó÷èìNX((E − E0 ) Jij − hij ) ai = 0(152)i=1ãäåZJi−j =Zdxϕ∗j(x) ϕi (x) ,dxϕ∗j (x) [V (x) − Ui (x)] ϕi (x)hi−j =(153)Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Áëîõà, áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (152) âèäåan = aeiqn ,(154)ïðè÷åì2πm,Nãäå öåëîå çíà÷åíèå m ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëóq=−N/2 < m ≤ N/2.(155)(156)Îïðåäåëåííûé òàêèì îáðàçîì íàáîð âîëíîâûõ âåêòîðîâ q ïðèíàäëåæèò 1-é çîíåÁðèëëþýíà. Òîãäà ïîëó÷èìPN/2E − E0 =iqn−N/2−1 hn ePN/2iqn−N/2−1 Jn e92(157)Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÏàðàìåòðû hn è Jn âñëåäñòâèå ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëîãî ïåðåêðûòèÿ ôóíêöèéϕj (x) î÷åíü áûñòðî óáûâàþò ñ ðîñòîì n. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ìû îãðàíè÷èìñÿïðèáëèæåíèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé, ïîëàãàÿ îòëè÷íûìè îò íóëÿ òîëüêî h0 , è h1è J0 = 1, åñëè ϕ íîðìèðîâàíî.ÎòêóäàEk = E0 + h0 + 2h1 cos (q) .(158) ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèì ïðàâèëîì êâàíòîâîé ìåõàíèêè âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü ýëåêòðîí âáëèçè j−ãî àòîìà öåïî÷êè, Pèëè â ñîñòîÿíèè ϕi (x) , ðàâíà2|aj |2 = |a|2 .
Îòêóäà, â ñèëó óñëîâèÿ íîðìèðîâêè Nj=1 |aj | = 1, ïîëó÷èìa2j = N −1 .(159)Òàêèì îáðàçîì, ýëåêòðîí ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ íàõîäèòñÿ âáëèçè ëþáîãî óçëà ðåøåêè. Ïðè ýòîì ðàçðåøåííûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèåì(158) è ëåæàò â ýíåðãåòè÷åñêîì èíòåðâàëå øèðèíîé 4β, ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèåβ = h1Çíà÷åíèå β çàâèñèò îò òîãî, êàêèå îáîëî÷êè ïåðåêðûâàþòÿ. Òàê íàïðèìåð, âñëó÷àå íàòðèÿ äëÿ âíåøíèõ 3s ýëåêòðîíîâ èìååìβ 3s ∼ 10−12 erg,(160)β 1s ∼ 10−20 erg,(161)à äëÿ âíóòðåííèõ 1s ýëåêòðîíîâÏàðàìåòð h0 õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå ýíåðãèè àòîìíîãî ýëåêòðîíà çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ñîñåäíèìè àòîìàìè. Êîýôôèöèåíò β îòâåòñòâåíåí çà ïåðåñêîêýëåêòðîíà ìåæäó óçëàìè.
Ýòî âðåìÿ ìîæíî îöåíèòü êàê τ ∼ }/β ≈ 10−15 ÷10−7 s.Òàêèì îáðàçîì äëÿ âíåøíèõ ýëåêòðîíîâ âðåìÿ ïåðåñêîêà ñðàâíèìî ñ âðåìåíåì îáðàùåíèÿ ýëåêòðîíà âíóòðè ÿäðà ∼ 10−15 s. ×òî æå êàñàåòñÿ âíóòðåííèõ ýëåêòðîíîâ, òî îíè óñïåâàþò ìíîãî ðàç îáåðíóòüñÿ âîêðóã ÿäðà ïðåæäå, ÷åìïðûãíóò íà ñîñåäíèé óçåë. öåíòðå çîíû Áðèëëþýíà, k = 0,ïðîèçâîäíàÿ ∂Ek /∂k = 0 è Ek = E0 +h0 +2β−(βd) k 2 - çàêîí äèñïåðñèè êâàäðàòè÷åí. Íåçàâèñÿùóþ îò êâàçèâîëíîâîãî âåêòîðà÷àñòü Ek ìîæíî íàçâàòü ïîòåíöèàëüíîé ýíêðãèåé, à îñòàâøóþñÿ ÷àñòü êèíåòè÷å}2ñêîé ýíåðãèåé ýëåìåíòàðíîãî âîçáóæäåíèÿ.
Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèå(βd) = 2m,∗22òî êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå }2mk∗ .  çàâèñèìîñòè îò çíàêàïàðàìåòðà β ìàññà êâàçè÷àñòèöû ìîæåò áûòü êàê îòðèöàòåëüíîé òàê è ïîëîæèòåëüíîé. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî âûÿâëÿåò íåîáû÷íóþ ñâÿçü ýíåðãèè è ñêîðîñòèýëåêòðîíà â ðåøåòêå. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âî âíåøíåì ïîëå ýëåêòðîí â ðåøåòêåìîæåò íå óñêîðÿòüñÿ, à çàìåäëÿòüñÿ, ÷òî â èçâåñòíûõ óñëîâèÿõ ïðèâîäèò ê êàæóùåìóñÿ ïîÿâëåíèþ ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿäîâ, ó÷àñòâóþøèõ â ýëåêòðè÷åñêîìòîêå êðèñòàëëà.Ïðèáëèæåíèå ïî÷òè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ93Ëåêöèÿ 8. Èäåàëüíûé ôåðìè-ãàçÇàäà÷ó îá ýíåðãåòè÷åñêîì ñïåêòðå ýëåêòðîíîâ â ïåðèîäè÷åñêîì ïîòåíöèàëåìîæíî ðåøèòü â äðóãîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, ò.å.
â ñëó÷àå ïî÷òè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Ïðèìåì, ÷òî ïîòåíöèàë V (R) ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì, òàê ÷òî ñëåäóåò íà÷àòüðàññìîòðåíèå ñî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ, à ïîòåíöèàë V (R) ðàññìàòðèâàòü êàêâîçìóùåíèå. Äëÿ ïðîñòîòû îïÿòü æå ðàññìîòðèì îäíîìåðíûé ñëó÷àé.Èòàê, íåâîçìóùåííûå âîëíîâûå ôóíêöèè èìåþò âèä1ψp = √ eipx/} ,L(162)çäåñü p- èìïóëüñ ýëåêòðîíà, L− äëèíà öåïî÷êè.Íàïîìíèì, ÷òî ðàçðåøåííûå çíà÷åíèÿ èìïóëüñà ïðîáåãàþò ðÿä êâàçèíåïðåðûâíûõ çíà÷åíèé2π}nLp=p=2π}n,L(163)ãäå n− öåëîå çíà÷åíèå.  ýòîì ñîñòîÿíèè ýíåðãèÿ ðàâíàEp =p2.2mÌàòðè÷íûå ýëåìåíòû ïîòåíöèàëà äëÿ ñîñòîÿíèé p è p0 èìåþò âèäZ1 L/20dxe −i(p−p )x/} V (x)Vpp0 =L −L/2(164)(165)Ïåðèîäè÷åñêèé ïîòåíöèàë V (x) ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä â ðÿä Ôóðüå ñëåäóþùèì îáðàçîìXV (x) =e2πinx/d Vn ,(166)nïðè÷åì d− ìèíèìàëüíûé ïåðèîä îáðàòíîé ðåøåòêè.ÈíòåãðàëZ1 L/2dxeipx/} = δ0pL −L/2(167)äëÿ âñåõ p èç ìíîæåñòâà (163).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
