Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Êåòòåðëè, Êîðíåëë è Âèìàí ïîìåñòèëè â ìàãíèòíóþ ëîâóøêó ãàç ðóáèäèÿ è ïîíèçèëè òåìïåðàòóðó äî ðåêîðäíî íèçêîé âåëè÷èíû ïîðÿäêà 10−6 . Àòîìùåëî÷íîãî ìåòàëëà 37 Rb85 èìååò íå÷åòíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ (37) è íå÷åòíîå ÷èñëîíóêëîíîâ (85) è ÿâëÿåòñÿ áîçå-÷àñòèöåé. Áûëî ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîêàçàíî, ÷òîïðè äîñòèãíóòûõ òåìïåðàòóðàõ â ãàçå îáðàçóåòñÿ áîçå-ýéíøòåéíîâñêàÿ êîíäåíñàöèÿ. À íàëè÷èå â íåì íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé óêàçûâàåò íà íàëè÷èå âòîðîãîóäèâèòåëüíîãî ñâîéñòâà áîçå-ñèñòåì - íà ñâåðõòåêó÷åñòü. Ïîçæå ñâåðõòåêó÷åñòüáûëà íàáëþäåíà ó äðóãèõ ãàçîâ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ (Li, Na,), à òàêæå ó ïîëÿðèçîâàííîãî àòîìàðíîãî âîäîðîäà è ìåòàñòàáèëüíîãî ãàçà ãåëèÿ.
 ïðîøëîì ãîäóÊåòòåðëè, Êîðíåëë è Âèìàí ñòàëè ëàóðåàòàìè Íîáåëåâñêîé ïðåìèè.Áóðíîå ðàçâèòèå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ãàçîâ â ìàãíèòíûõ ëîâóøêàõ ïðèâëåêëî âíèìàíèå ê ýòîìó ÿâëåíèþ áîëüøîãî ÷èñëà òåîðåòèêîâ. Íàñòîÿùàÿ ëåêöèÿ ïîñâÿùåíà êðàòêîìó è äàëåêî íå ïîëíîìó îáçîðó òåîðåòè÷åñêèõ ðàáîò, êîòîðûå îïóáëèêîâàíû â ïîñëåäíåå âðåìÿ. Êðîìå òîãî, õîòÿ áîëüøèíñòâîñëóøàòåëåé Øêîëû çíàêîìî ñ ïðåäìåòîì â ðàìêàõ äåâÿòîãî òîìà êóðñà Òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, ìû â íåñêîëüêèõ ñëîâàõ íàïîìíèì òåîðèþ Áîãîëþáîâà.Ïëàí ëåêöèè.À Ãàç â îäíîðîäíîì ïðîñòðàíñòâå.À1.
Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, êîíäåíñàò, óðàâíåíèå ÃðîññàÏèòàåâñêîãî.À2 Ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ íåèäåàëüíîãî áîçå-ãàçà. Ñâåðõòåêó÷åñòü.À3. Ýíåðãèÿ è âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ.À4. Ñîëèòîíû è ñòàöèîíàðíûé ýôôåêò Äæîçåôñîíà.À5. Ðåøåòî÷íûé ãàç.111Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÀ6. Ïðÿìîå íàáëþäåíèå êîýôôèöèåíòîâ áîãîëþáîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.Â. Ãàç â ëîâóøêàõ.Â1. Óðàâíåíèå Ãðîññà-Ïèòàåâñêîãî â ìàãíèòíîé ëîâóøêå. Îñíîâíîå ñîñòîÿíèåâ ïðèáëèæåíèè Òîìàñà-Ôåðìè.Â2.
Ãèäðîäèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ áîçå-ãàçà ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå. Âîçáóæäåíèÿ êîíäåíñàòà â ëîâóøêàõ.Â3. Îñöèëëÿöèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ.Â4. Èçëó÷åíèå áîãîëþáîâñêèõ âîçáóæäåíèé â îñöèëëèðóþùåì ãàçå, îáóñëîâëåííîå ñòàòè÷åñêèì äåôåêòîì.Â5. ×åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèåÂ6. Ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ êàê ìåõàíèçì ðåëàêñàöèè îñöèëëÿöèé.9.3.2A1. Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, êîíäåíñàò, óðàâíåíèåÃðîññà-ÏèòàåâñêîãîÈòàê, ðàññìîòðèì íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç â ëîâóøêå V (~r), êîòîðàÿ ñîçäàåòñÿ âíåøíèì ìàãíèòíûì ïîëåì. Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ òåìïåðàòóðîé, áëèçêîé ê íóëþ, êîãäà òåïëîâûõ âîçáóæäåíèé î÷åíü ìàëî T ¿ Tc ' (~2 /m)n2/3 .
Ïîëíûéãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû èìååò âèäZp̂21Ĥtot = d3 r[Ψ̂+ (t, ~r)(+ V (~r) − µ0 )Ψ̂(t, ~r) + U0 Ψ̂+ (t, ~r)Ψ̂+ (t, ~r)Ψ̂(t, ~r)Ψ̂(t, ~r)].2m2(104)Âåëè÷èíà ïîñòîÿííîé µ0 ïðîèçâîëüíà è, ôàêòè÷åñêè, ôèêñèðóåò íà÷àëî îòñ÷åòà ýíåðãèè. Íèæå åå çíà÷åíèå áóäåò âûáðàíî òàê, ÷òîáû ôóíêöèÿ îñíîâíîãîñîñòîÿíèÿ íå çàâèñåëà îò âðåìåíè. Èìåÿ ââèäó îïèñàíèå ÿâëåíèé, ñëàáî ìåíÿþùèõñÿ íà ìàñøòàáàõ ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ àòîìîâ, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿâçàèìîäåéñòâèÿ çàïèñàíà â ëîêàëüíîé ôîðìå. Ïàðàìåòð U0 èìååò ðàçìåðíîñòüýíåðãèÿ×îáúåì è çàïèñûâàåòñÿ â âèäåU0 =4π~2 a.m(105)Âåëè÷èíà a íàçûâàåòñÿ äëèíîé ðàññåÿíèÿ. Ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò ãàéçåíáåðãîâñêèõ îïåðàòîðîâ ðàâíài~∂Ψ̂(t, ~r) = [Ψ̂(t, ~r), Ĥ].∂t(106)Ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðài~p̂2∂Ψ̂(t, ~r) = (+ V (~r) − µ0 )Ψ̂(t, ~r) + U0 Ψ̂+ (t, ~r)Ψ̂(t, ~r)Ψ̂(t, ~r).∂t2m(107)Ðàçëîæèì ôóíêöèþ áîçå-ïîëÿ Ψ̂ ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îäíî÷àñòè÷íîéçàäà÷èp̂2+ V (~r) − µ0 )ϕk (~r) = ξk ϕk (~r)(108)(2m:XΨ̂ =âk (t) ϕk (~r).(109)k112Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå ïåðâîé ÷àñòè ëåêöèè äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãàç â îòñóòñòâèè ïîòåíöèàëà ëîâóøêè, êîãäà ôóíêöèè ϕk (~r) = V −1/2 exp(i~k~r) ñóòü ïëîñêèå âîëíû â~ .ÿùèêå V = L3 c ïåðèîäè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ϕk (~r) = ϕk (~r + L) îñíîâíîì ñîñòîÿíèè (ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå) âñå ÷àñòèöû èäåàëüíîãîáîçå-ãàçà íàõîäÿòñÿ â êîíäåíñàòå, ò.å. èìåþò íóëåâîé èìïóëüñ.  íåèäåàëüíîì ãàçåïðè T = 0 áîëüøèíñòâî ÷àñòèö N0 îñòàþòñÿ â êîíäåíñàòå, íî èç-çà îòòàëêèâàíèÿíåáîëüøàÿ äîëÿ ÷àñòèö èìåþò íåíóëåâûå èìïóëüñû. Ïîýòîìó èç îïåðàòîðíîéôóíêöèè (109) öåëåñîîáðàçíî âûäåëèòü îïåðàòîð ñ íóëåâûì èìïóëüñîìD EΨ̂ = ϕ0 (~r)â0 + Ψ̂1 , Ψ̂1 = 0,(110)XΨ̂1 =âk (t) ϕk (~r)(111)k6=0 ïðåäñòàâëåíèè âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ êîíäåíñàò èç N0 ÷àñòèö ñ íóëåâûìèìïóëüñîì îïèñûâàåòñÿ âåêòîðîì ñîñòîÿíèÿ, îáðàçîâàííîì ìíîãîêðàòíûì äåéñòâèåì íà ñîñòîÿíèå âàêóóìà îïåðàòîðà ðîæäåíèÿ|N0 i = √1 ¡ + ¢N0â|0i , hN0 | N0 i = 1N0 ! 0(112)Êîãåðåíòíûì ñîñòîÿíèåì íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîå ñîñòîÿíèå îïåðàòîðà ïîãëîùåíèÿâ0 |Ai = A |Ai .(113)Ýòî ñîñòîÿíèå åñòü ñóïåðïîçèöèÿ ñîñòîÿíèé ñ ðàçíûì ÷èñëîì n ÷àñòèö ñ íóëåâûìèìïóëüñîì.|Ψ00 i = |Ai = e− 12 |A|2∞XAn2√ |ni , hA| |Ai = 1, N0 = hA| â+0 â0 |Ai = |A| .n!n(114) ìàêðîñêîïè÷åñêîì (N0 → ∞) êîãåðåíòíîì ñîñòîÿíèè îòíîñèòåëüíàÿ ôëóêòóàöèÿ ÷èñëà ÷àñòèö â êîíäåíñàòå, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Ïîýòîìó â ìàêðîñêîïè÷åñêîìïðåäåëå âåêòîðû ñîñòîÿíèÿ (112) è (114) ýêâèâàëåíòíû. Íèæå, ìû áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî âåêòîð îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ êîíäåíñàòà èìååò ôîðìó (114).Âñå íàáëþäàåìûå âåëè÷èíû ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ÿâëÿþòñÿ ñðåäíèìè ïîñîñòîÿíèþ êîíäåíñàòà. Ïîýòîìó, èìåÿ ââèäó (113), ìîæíî â (110) ïåðâûé ÷ëåíçàìåíèòü íà êëàññè÷åñêóþ ôóíêöèþ êîíäåíñàòàΨ̂ = Ψ + Ψ̂1(115)Àìïëèòóäà ïëîòíîñòè êîíäåíñàòà Ψ â ñëàáî íåðàâíîâåñíîì ñëó÷àå åñòü êëàññè÷åñêîå áîçå-ïîëå Ψ(t, ~r), àíàëîãè÷íîå ñêàëÿðíîìó ïîòåíöèàëó êëàññè÷åñêîãîýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
×òîáû íàéòè ýâîëþöèþ êîíäåíñàòà, ñëåäóåò ïîäñòàâèòü(115) â (107) è ïðåíåáðå÷ü îïåðàòîðíîé ÷àñòüþ ïîëÿ, îïèñûâàþùåé íàäêîíäåíñàòíûå ÷àñòèöû Ψ̂1 . Èìååìi~p̂2∂Ψ(t, ~r) =Ψ(t, ~r) + U0 Ψ∗ (t, ~r)Ψ(t, ~r)Ψ(t, ~r) − µ0 Ψ(t, ~r).∂t2m113(116)Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÝòî åñòü íåëèíåéíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà.  ôèçèêå ñâåðõòåêó÷åãî áîçå-ãàçàîíî íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ãðîññà-Ïèòàåâñêîãî (1961), êîòîðûå ïåðâûå îáîñíîâàëè âîçìîæíîñòü îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ êîíäåíñàòà óðàâíåíèåì (116).
Îñíîâíîåñîñòîÿíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ îäíîðîäíî è íå çàâèñèò îò âðåìåíèΨ(t, ~r) = Ψ,(117)åñëè ââåäåííàÿ âûøå êîíñòàíòà ðàâíàµ0 = U0 Ψ2 .(118)×èñëî ÷àñòèö è ýíåðãèÿ îäíîðîäíîãî êîíäåíñàòà (ñì. (104)) ñâÿçàíû ñ àìïëèòóäîéêîíäåíñàòà Ψ ôîðìóëàìèZZU0 N0213+2N0 = d rΨ Ψ = Ψ V, E00 = U0 d3 rΨ+ Ψ+ ΨΨ =(119)22VÄèôôåðåíöèðóÿ ýíåðãèþ ïî ÷èñëó ÷àñòèö, íàõîäèì õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàëµ=∂E00U 0 N0== U0 Ψ2 .∂N0V(120)Ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ (118), ìû óáåæäàåìñÿ, ÷òî ïîñòîÿííàÿ µ0 åñòüõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë. Ïðè ýòîì E00 = 12 µ0 N0 .  îòëè÷èå îò èäåàëüíîãî ãàçà,íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè îáëàäàåò îòëè÷íûì îò íóëÿ äàâëåíèåì∂E00U0 N02P =−=(121)∂V2V 2è ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñêîðîñòüþ çâóêàsrr∂PU0 ρµ0c===.(122)2∂ρmm(ρ = mN0 /V - ïëîòíîñòü ãàçà).
Çäåñü ìû ïðåíåáðåãàåì îòëè÷èåì N0 îò ïîëíîãî÷èñëà ÷àñòèö N .Îäíèì èç ïåðâûõ äîêàçàòåëüñòâ ïîÿâëåíèÿ áîçå-êîíäåíñàöèè â óëüòðàõîëîäíîì ãàçå áûëî îáíàðóæåíèå â 1997 ã. óìåíüøåíèÿ â øåñòü ðàç òðåõ÷àñòè÷íîéðåêîìáèíàöèè, ðàíåå ïðåäñêàçàííîãî Êàãàíîì è Øëÿïíèêîâûì.  òîì æå ãîäóÊåòòåðëè ïðîäåìîíñòðèðîâàë êîãåðåíòíûå ñâîéñòâà ãàçà, íàáëþäàÿ èíòåðôåðåíöèþ ïðè ñëèÿíèè äâóõ êîíäåíñàòîâ.9.3.3À2 Ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ íåèäåàëüíîãî áîçå-ãàçà. Ñâåðõòåêó÷åñòüÄàæå ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå íåáîëüøàÿ ÷àñòü ÷àñòèö íå ïðèíàäëåæèò êîíäåíñàòó è èìååò îòëè÷íûå îò íóëÿ èìïóëüñû. Ñâîéñòâà ýòèõ ÷àñòèö îïèñûâàþòñÿ îïåðàòîðíîé ôóíêöèåé Ψ̂1 â (115). Ýâîëþöèÿ ýòîãî îïåðàòîðà îïèñûâàåòñÿëèíåéíîé ïî Ψ̂1 ÷àñòüþ îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (107).i~p̂2∂r) − µΨ̂1 (t, ~r).Ψ̂1 (t, ~r) =Ψ̂1 (t, ~r) + 2U0 Ψ2 Ψ̂1 (t, ~r) + U0 Ψ2 Ψ̂+1 (t, ~∂t2m114(123)Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÑ ó÷åòîì (120) ïðèâîäèì ýòî óðàâíåíèå ê êîìïàêòíîìó âèäóµ 2¶∂p̂i~ Ψ̂1 =+ µ Ψ̂1 + µΨ̂+1.∂t2m(124)Äëÿ êàæäîãî ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ (111) èìååì∂âk (t) = ξk âk (t) + µâ+(125)−k (t) .∂t ýòîì óðàâíåíèè óäèâèòåëüíûì îáðàçîì ïåðåìåøàíû áîçå-îïåðàòîðû âk (t) è+â−k (t). Ïåðâûé ÷ëåí ñïðàâà îïèñûâàåò ñâîáîäíîå äâèæåíèå ÷àñòèöû, à ïîñëåäíèé÷ëåí â ïðèáëèæåíèè ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ îòðàæàåò âèðòóàëüíîå ïîãëîùåíèå÷àñòèöû êîíäåíñàòîì.Äëÿ äèàãîíàëèçàöèè óðàâíåíèÿ (125) ïðèìåíèì êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèåÁîãîëþáîâàiεk t/~âk (t) = [uk b̂k e−iεk t/~ − vk b̂+](126)−k ei~è åãî ýðìèòîâî ñîïðÿæåííîå âûðàæåíèå (ñ çàìåíîé çíàêà èìïóëüñà)+ +iεk t/~â+− vk b̂k e−iεk t/~ ].−k (t) = [uk b̂−k e(127)Çäåñü ââåäåíû îïåðàòîðû ïîãëîùåíèÿ b̂k è ðîæäåíèÿ b̂+k êâàçè÷àñòèö, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò òàêèì æå ïðàâèëàì êîììóòàöèè, ÷òî è èñõîäíûå îïåðàòîðûãîëûõ ÷àñòèö.hihi hi+ +00b̂k , b̂+=δ,b̂,b̂=b̂,b̂= 0.(128)00k,kk kkkkÎòñþäàu2k − vk2 = 1(129) ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè êâàçè÷àñòèöû âåäóò ñåáÿ êàê ÷àñòèöû èäåàëüíîãî ãàçà, è ñîîòâåòñâóþùèå îïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìèîïåðàòîðà ýíåðãèè∂∂= −εk b̂+(130)i~ b̂k = εk b̂k , i~ b̂+k.∂t∂t kñ íåèçâåñòíûìè ïîêà ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ±εk .
Êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ uk , vk ïîëàãàþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè, ÷åòíûìè ôóíêöèÿìè âåêòîðà k. Ýòîâñåãäà ìîæíî ñäåëàòü óäà÷íûì âûáîðîì ôàç ó îïåðàòîðîâ b̂k .Ñìûñë ôîðìóëû (126) ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîãëîùåíèå áîçå-÷àñòèöû, èç ñîñòîÿíèÿ ñ èìïóëüñîì k ýêâèâàëåíòíî ïîãëîùåíèþ ñ âåðîÿòíîñòüþ u2k êîíä åíñàòîìîäíîãî êâàíòà ýëåìåíòàðíîãî âîçáóæäåíèÿ è ðîæäåíèþ ñ âåðîÿòíîñòüþ vk2 èçêîíäåíñàòà êâàíòà ñ ïðîòèâîïîëîæíûì èìïóëüñîì.Ïîäñòàâèâ (126), (127) è (130) â (125), íàõîäèì ýíåðãèþ êâàçè÷àñòèöûvÃ!uq2 2u (~k)2(~k)tεk = ξk2 − µ2 =µ+.(131)m2mè êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿs µs µ¶¶ξk1 ξk1 ξkµuk =+ 1 , vk =− 1 , u2k + vk2 = , 2uk vk = .2 εk2 εkεkεk115(132)Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÔàêòè÷åñêè, ýòî êîýôôèöèåíòû ïîâîðîòà â ïðîñòðàíñòâå ñ ãèïåðáîëè÷åñêîé ìåòðèêîé (129).Ïðè áîëüøèõ èìïóëüñàõ εk ñîâïàäàåò ñ ýíåðãèåé ñâîáîäíîé ÷àñòèöûεk '(~k)2,2mεk À µ,(133)à äëèííîâîëíîâàÿ ÷àñòü ñïåêòðà èìååò ôîðìó çâóêîâîãî ñïåêòðà, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
