Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Îáà ïîäõîäà äîëæíû ïðèâåñòè ê îäèíàêîâûì ðåçóëüòàòàì. ïåðâóþ î÷åðåäü ðàçîâüåì êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèé ïîäõîä. Çàäà÷à èìååò ÷èñòî äâóìåðíûé õàðàêòåð è îïèñûâàåòñÿ îïåðàòîðíîé ôîðìîé óðàâíåíèÿ (183), âêîòîðîé îòáðîøåí ïîñëåäíèé ÷ëåí, ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàþòñÿ ñîcòîÿíèÿ, îäíîðîäíûå îòíîñèòåëüíî ïðîäîëüíîé îñè.Ëèíåàðèçóåì ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî âîçìóùåíèÿ χ̂0 = χ̂ − χ0i¢∂ χ̂01¡1 2 0= [ mω02 ρ2 χ̂0 −∇ χ̂ − µχ̂0 + 2U0 χ20 χ̂0 + U0 χ̂0+ χ20 ].∂τ22m ρ(192)Ñ ó÷åòîì (188) óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â ôîðìå∂ χ̂01 2 0=−∇ρ χ̂ + g[χ̂0 + χ̂0+ ],i∂τ2m(193)ãäå ââåäåíî ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ëîêàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ âîçáóæäåíèé ñ êîíäåíñàòîì¡¢g(ρ) = U0 χ20 = µ 1 − ρ2 R0−2 .(194)Êàê ìû óâèäèì íèæå, îñíîâíîé âêëàä â èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ âíîñÿò âîçáóæäåíèÿ, êîòîðûå èìåþò ìàëóþ äëèíó âîëíû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðîì îáëàñòèêîíäåíñàöèè áîçå-ãàçà:k̄ ≈ mc0 ,k̄R0 ≈ µ/ω0 À 1.(195)Ýòî îïðàâäûâàåò ïðèìåíèìîñòü ëîêàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ, â êîòîðîì êîîðäèíàòíàÿ çàâèñèìîñòü ýíåðãèè (??) ó÷èòûâàåòñÿ òîëüêî ïàðàìåòðè÷åñêè.
Òîãäà ýëåìåí128Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåòàðíûå âîçáóæäåíèÿ îïèñûâàþòñÿ îáû÷íîé òåîðèåé îäíîðîäíîãî ñëàáîíåèäåàëüíîãî ãàçà.Îïåðàòîð ïîïåðå÷íûõ âîçáóæäåíèé χ̂0 (~ρ, τ ) ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ýëåìåíòàðíûå+îïåðàòîðû ïîãëîùåíèÿ bk è ðîæäåíèÿ b−k ôîíîíîâχ̂0 (ρ, τ ) =Xχk âk (τ ), χk (~ρ) ' pk1πR02 L~eik~ρ ,iεk τâk = uk b̂k e−iεk τ − vk b̂+.−k e(196)(197)Ýíåðãèÿ âîçáóæäåíèé è êîýôôèöèåíòû êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàâíûrq¡¢k4k2gεk = ηk2 − g 2 = c2 k 2 +,η=+ g, c2 == c20 1 − ρ2 R0−2(198)k24m2mmr ³r ³´´1 η1 ηk2u=+1 , v =− 1 , (u − v)2 =.(199)2 ε2 ε2mεÒåïåðü äîïîëíèì èñõîäíîå óðàâíåíèå (193) ïîòåíöèàëîì âçàèìîäåéñòâèÿ ãàçàñ äåôåêòîì Bd (~r − ~rd , t), ðàäèóñ äåéñòâèÿ êîòîðîãî ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàäèóñîìëîâóøêè d ¿ R0 .Áóäåì ïðåäïîëàãàòü èçìåíåíèå ôóíêöèè êîíäåíñàòà χ0 â ïîëå äåôåêòà ìàëûì.Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ïðîöåññ ãåíåðàöèè ôîíîíîâ â áîðíîâñêîì ïðèáëèæåíèè. Íà ïîñëåäíåì ýòàïå áîðíîâñêóþ àìïëèòóäó ñëåäóåò çàìåíèòü íà ýôôåêòèâíóþ àìïëèòóäó ãåíåðàöèè, êîòîðàÿ äîëæíà ó÷èòûâàòü âñå ñîîòâåòñòâóþùèåãðàôèêè òåõíèêè Áåëÿåâà.Óðàâíåíèå (193) ïðèíèìàåò âèä∂ χ̂01 2 0=−∇ χ̂ + g (~ρ) (χ̂0 + χ̂0+ ) + b2 Bd (b~ρ − ~rd )χ0 (~ρ) .(200)∂τ2m ρÌíîæèòåëü b2 âîçíèêàåò èç-çà ïåðåõîäà ê íîâîìó âðåìåíè ñîãëàñíî (184).Óðàâíåíèþ (200) ñîîòâåòñòâóåò ãàìèëüòîíèàíiH = H0 + Hd ,ZX11H0 = L d2 ρ[∇ρ χ̂0+ ∇ρ χ̂0 + g(χ̂0 χ̂0 + χ̂0+ χ̂0+ )] =εk b̂~+b̂~ ,k k2m2kZHd = L d2 ρ[χ0 (~ρ) θ (τ ) b2 Bd (b~ρ − ~rd )χ̂0 (~ρ) + h.c.].(201)Èìåÿ ââèäó ëîêàëüíûé õàðàêòåð ïîòåíöèàëà, âûíåñåì χ0 (~ρ) èç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà è èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå(196)sX¢ i~k~r /b¡L+e d + h.c.].(202)χ(~r/b)[Bâ+âHd =0dkk/b−kπR02kÇäåñü èñïîëüçîâàíî ñîîòíîøåíèåZZ11~~2 2d2 rBd (~r − ~rd )eik~ρ = p 2 Bk/b eik~rd /bd ρb Bd (b~ρ − ~rd )χk (~ρ) = p 2πR0 LπR0 L129Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåÇàòåì ïðîâåäåì êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå 197s³´XL~+ iεk τ−iεk τBk/b (uk − vk ) b̂~k e+ b̂−~k eHd = 2χ (~r /b)eik~rd /b .2 0 dπR0(203)kÈç-çà íåîäíîðîäíîñòè ïàðàìåòðà (194), êîòîðûé îïðåäåëÿåò ñâîéñòâà ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé (198), (199), è îñöèëëèðóþùåãî õàðàêòåðà ïàðàìåòðà b(ñì.(185)) â îáùåì âèäå ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ãåíåðàöèè ôîíîíà íå óäàåòñÿ.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ãåíåðàöèè ôîíîíà ñ ÷àñòîòîé ïîðÿäêà µ èìååò ñìûñë çàôèêñèðîâàòü íåêîòîðûé ìîìåíò τ0 è ðàññìîòðåòü ýòó ãåíåðàöèþ â òå÷åíèå ïðîìåæóòêàâðåìåíè1/µ ¿ δτ ¿ 1/ω0 .(204) òå÷åíèå ýòîãî âðåìåíè äåôåêò äâèæåòñÿ â ñèñòåìå K∗ ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíîìåðíî ñî ñêîðîñòüþ (ñì. (190)):Ñ ó÷åòîì ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà ïîëó÷àåì~~~~0eik~rd /b(τ ) ' eik~rd /b(τ0 ) eikV τ , τ 0 = τ − τ0 .(205) ðåçóëüòàòå çàâèñèìîñòü ôàçû îò âðåìåíè â ãàìèëüòîíèàíå âîçìóùåíèé (203)ïðèíèìàåò ñòàíäàðòíûé âèä, è ìîæíî ïðèìåíèòü çîëîòîå ïðàâèëî Ôåðìè, ñîãëàñíî êîòîðîìó âåðîÿòíîñòü â åäèíèöó âðåìåíè ðîæäåíèÿ îäíîãî ôîíîíà ñ èìïóëüñîì ~k ðàâíà¯DE¯2¯ ~¯Wk = 2π ¯ k |Hk | 0 ¯ δ(εk − ~k V~ ),(206)sLHk = 2Bk/b χ0 (~rd /b(τ0 ))(uk − vk )b̂~++ h.c.(207)kπR02Çäåñü ïîä çíàêîì äåëüòà-ôóíêöèè âûðàæåí çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè - èçìåíå~ äåôåêòà â ðåçóëüòàòå èçëó÷åíèÿ ôîíîíà ðàâíî ýíåðãèè ôîíîíàíèå ýíåðãèè ~k Vεk .Äàëåå îöåíèì èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ ýíåðãèè:Ėτ =XkZWk εk =(πR02 ) d2 k2π2(2π)¯ s¯2¯¯L¯¯B χ (~r /b(τ0 ))(uk − vk )¯ δ(εk − ~k V~ )εk¯22 k/b 0 d¯¯πR0Ñ ó÷åòîì (199) ïîëó÷àåì:Ėτ =J=Lχ20JZπm(208)¯¯2d2 k ¯Bk/b ¯ k 2 δ(εk − ~k V~ ) ïåðâóþ î÷åðåäü âîçüìåì èíòåãðàë ïî íàïðàâëåíèÿì èçëó÷åíèÿZ2θ (1 − ck /V )qdϕδ (kV cos ϕ − εk ) =,kV 1 − (ck /V )2130Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðåãäårck = εk /k =ÒîãäàZJ=c2 +k24m2¯¯¯Bk/b ¯2 k 3 dk 2θq(1 − ck /V )kV 1 − (ck /V )2(209)(210)Êàê è äîëæíî áûòü, îòâåò îòëè÷åí îò íóëÿ, òîëüêî ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ k , ïðèêîòîðûõ ñêîðîñòü äåôåêòà.(??) áîëüøå ôàçîâîé ñêîðîñòè ôîíîíà ck . Íàèìåíüøàÿ ôàçîâàÿ ñêîðîñòü - ó çâóêîâûõ ôîíîíîâ. Äåôåêò ãåíåðèðóåò òàêèå ôîíîíû,êîãäà áîëüøå íóëÿ ðàçíîñòüV 2 − c2 = c20 ∆2 ,2−2∆ = b [2z2¡¢¡¢¡¢b − 1 1 − b2 β −2 − b2 + z 2 ]θ b2 − z 22(211)(212)√Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî R0 = 2c0 /ω0 è ââåäåíî îáîçíà÷åíèå z = rd /R0 .
Ýòî óñëîâèåìîæíî ïåðåïèñàòü â ôîðìå íåðàâåíñòâàb2< z 2 < b22 (b2 − 1) (1 − b2 β −2 ) + 1(213)Ëåâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà â òî÷êå b = 1 ðàâíà 1, â òî÷êå b = β èìååò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå β 2 , à â òî÷êå bβ = 2−1/4 β 1/2 ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå√¢−1¡zβ2 = 0.5β 2 β 2 − 2β + 1< 1.Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ãåíåðàöèè íåò, êîãäà äåôåêò íàõîäèòñÿ äîñòàòî÷íî áëèçêî îò îñè ëîâóøêè, ãäå ìàëà ñêîðîñòü äåôåêòà. Íàîáîðîò, åñëè äåôåêò ïîïàäàåòâ îáëàñòü âíåøíåé ãðàíèöû ãàçà, ãäå ñêîðîñòü çâóêà ìàëà, à ñêîðîñòü äåôåêòàìàêñèìàëüíà, íåèçáåæíî âîçíèêàåò ÷åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå ôîíîíîâ.Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè äåôåêò íàõîäèëñÿ âíå ëîâóøêè, íî íàõîäèòñÿ âíóòðè ãàçà â ìîìåíò åãî íàèáîëüøåãî ðàñøèðåíèÿ, êîãäà b = β è â ñèñòåìåK∗ äåôåêò ïðèáëèæàåòñÿ íà íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå îò öåíòðà .
Òîãäà 1 < z < β,è ñîãëàñíî (213) ãàç ÷àñòü âðåìåíè âî âðåìÿ êàæäîãî ïîëóïåðèîäà èçëó÷àåò. Ñì.íèæå (220), (221).Åñëè äåôåêò ñ ñàìîãî íà÷àëà íàõîäèëñÿ âíóòðè ëîâóøêè, òî áîëüøóþ ÷àñòüâðåìåíè ãåíåðàöèÿ íåâîçìîæíà, è òîëüêî â ìîìåíòû âðåìåíè, êîãäà ðàñøèðåíèåáëèçêî ê bβ , âîçíèêàåò èçëó÷åíèå, åñëè zβ < z < 1.Âîçüìåì èíòåãðàë ïî âåëè÷èíå âîëíîâîãî âåêòîðà.Íàèáîëüøèé âêëàä â èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ (210) äàþò ôîíîíû ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè, êîòîðûå îãðàíè÷åíû ñâåðõó çíà÷åíèåì (ñì.209))p(214)k̄ = 2m (V 2 − c2 ) = 2mc0 ∆Çàìåòèì, ÷òî õàðàêòåðíàÿ ýíåðãèÿ ãåíåðèðóåìûõ ôîíîíîâ èìååò ïîðÿäîê âåëè÷èíûr√k̄ 4'µ∆2 + ∆4(215)ε = c2 k̄ 2 +4m2131Ëåêöèÿ 9. Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå(ñì. (198)).
Ýòî îïðàâäûâàåò ïðèíÿòîå âûøå ëîêàëüíîå ïðèáëèæåíèå äëÿ îïèñàíèÿ ïîïåðå÷íûõ âîçáóæäåíèé, åñëè ∆ & 1. Êðîìå òîãî, ýòî ïîçâîëÿåò ïðèáëèæåííî âûíåñòè èç ïîä çíàêà èíòåãðàëà ôàêòîð |Bk |2 è ïîëó÷èòü¯¯2J = 2 ¯Bk/b ¯Zk̄k2V 2 − c2kdk p0(216)Ýëåìåíòàðíîå âû÷èñëåíèå äàåò¯¯2 Zk̄2 ¯Bk/b ¯1k 2 dk qJ=c0 ∆1−0(217)k2k̄2¯¯2 Z1¯¯22 ¯Bk/b ¯ k̄ 3π k̄ 3 ¯Bk/b ¯x2 dx√==c0 ∆2c0 ∆1 − x20¯¯2= 4πm320 ¯Bk/b ¯ ∆2(218)(219)Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà÷åíèå â (208) è èñïîëüçóÿ çàâèñèìîñòè (109) è (198), íàõîäèì:¯¯2 ¡¢¡ ¢Ėτ = 4Ln0 µm ¯Bk̄/b ¯ 1 − z 2 /b2 ∆2 θ ∆2(220)Îöåíèì èíòåíñèâíîñòü δE èçëó÷åíèÿ çà îäèí ïåðèîä îñöèëëÿöèé ãàçà â ñëó÷àå1 < z ¿ β. îòëè÷èå îò (220), âåëè÷èíà δE èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïåðåõîäà îò ñîïóòñòâóþùåé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê ëàáîðàòîðíîé.
Íà÷èíàåòñÿ èçëó÷åíèå â ìîìåíòτ1 êàñàíèÿ ïîâåðõíîñòè ãàçà äåôåêòîì, êîãäà b (τ1 ) = z ,à êîí÷àåòñÿ â ìîìåíòτ2 ,êîãäà b (τ2 ) ' β.Zτ2δE = 2Zβdτ Ėτ ' 2τ1z¯¯ ¡¢db¯ db ¯ 4Ln0 µm ¯Bk̄/b ¯2 1 − z 2 /b2 ∆2¯ ¯(221)dτÏîäðîáíîZβδE = 2p¯¯24Ln0 µm ¯Bk̄/b ¯dbω0 b (b2 − 1) (1 − b2 β −2 )z¡¢¡¢¡¢1 − z 2 /b2 b−2 [2z 2 b2 − 1 1 − b2 β −2 − b2 + z 2 ](222)(223)Îïðåäåëÿþùèé âêëàä â èíòåãðàë äàåò íà÷àëüíûé ýòàï èçëó÷åíèÿ, êîãäà ñêîðîñòüV ìàêñèìàëüíà è, ñîîòâåòñòâåííî, èìååò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âåëè÷èíà ∆ ' z .Îòñþäà ïîëó÷àåì îöåíêó èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ çà ïåðèî䯯2 z(224)δE ' Ln0 µm ¯Bk̄/b ¯ω0Èíòåðåñíî, ÷òî íà ïèêå ãåíåðàöèè õàðàêòåðíàÿ ýíåðãèÿ ôîíîíîâ èìååò ïîðÿäîê âåëè÷èíû (215)√ε ' µ z2 + z4132Ëåêöèÿ 9.
Íåèäåàëüíûé áîçå-ãàç ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå(Ýòî îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó δE ' µz 2 I , ãäå I -÷èñëî ôîíîíîâ) ñëó÷àå, êîãäà èñòî÷íèêîì ðàäèàöèè ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëüíàÿ òðóáêà (ëó÷ ëàçåðà) ìàëîãî ñå÷åíèÿ d ¿ R0 , ýôôåêòèâíàÿ âåðøèíà 2D-âîçìóùåíèÿ ðàâíà(0)Bk =³1+Bk(0)mBk /π´ln (1/kd)'π,m ln (1/kd)(225)(0)ãäå Bk - êîìïîíåíòà Ôóðüå ãîëîãî ïîòåíöèàëà. Ïðèâåäåì îöåíêó îòíîøåíèÿèíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ ê ýíåðãèè îñöèëëÿöèé ãàçà Eosc :µ¶21 β−10Eosc = E − E1 =E0(226)2β¯¯2n0 m ¯Bk̄/b ¯ zaω0δEzω0¡¢='2Eoscµ2µ ln b/k̄dÏîñêîëüêó ω0 ¿ µ, òî ýòî îòíîøåíèå ìàëî, è îñöèëëÿöèè çàòóõíóò òîëüêî ïîñëåáîëüøîãî ÷èñëà ïåðèîäîâ9.3.12Â5.
×åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèåÐàññìîòðèì òîò æå ïðîöåññ êàê ÷åðåíêîâñêîå èçëó÷åíèå âîçáóæäåíèé êëàññè÷åñêîãî áîçå-ïîëÿ. Çàìåíèì îïåðàòîðíóþ ôóíêöèþ â ëèíåàðèçîâàííîì óðàâíåíèè(200) íà àìïëèòóäó êëàññè÷åñêîãî ïîëÿ∂χ01 2 0=−∇ρ χ + g(χ0 + χ0∗ ) + b2 Bd (b~ρ − ~rd )χ0 (rd /b) .(227)∂τ2mÄëÿ ïðîñòîòû, âçàèìîäåéñòâèå ñ 2D-äåôåêòîì áóäåì îïèñûâàòü ëîêàëüíûì ïîòåíöèàëîì:iBd (b~ρ − ~rd ) = B0 δ(b~ρ − ~rd ) = B011δ(~ρ − ~rd /b) ' B0 2 δ(~ρ − ~rd /b (τ0 ) − V~ τ 0 ) (228)2bb(Îïÿòü ðàññìàòðèâàåì èçëó÷åíèå â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîãî ìîìåíòà τ0 ). Äëÿ àìëèòóäû ñ èìïóëüñîì k èìååìsL~B χ (rd /b) e−ik~rd /b(τ0 ) , ω = ~k V~2 0 0πR0(229)Çäåñü ôîðìàëüíî ââåäåíî àäèáàòè÷åñêîå âêëþ÷åíèå âçàèìîäåéñòâèÿ, ÷òîáûàâòîìàòè÷åñêè ïîëó÷èòü ïðàâèëî îáõîäà ïðè âû÷èñëåíèè èçëó÷åíèÿ ýíåðãèè âåäèíèöó âðåìåíè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
