Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(ñì. ë.?)Âñïîìíèì, ÷òî â èäåàëüíîì ãàçå ýëåêòðîíîâ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè çàïîëíåíû(ïóñòû) âñå óðîâíè, èìïóëüñ êîòîðûõ ìåíüøå (áîëüøå) èìïóëüñà pF íà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. Âåëè÷èíà pF çàäàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýëåêòðîíîâNp3= 2F 3V3π ~(1)Ïðè ýòîì âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ ãàçà ýëåêòðîíîâ ìîæíî îïèñûâàòü êàê ðàçðåæåííûé ãàç êâàçè÷àñòèö äâóõ ñîðòîâ. Âûøå ïîâåðõíîñòè Ôåðìè ðîëü êâàçè÷àñòèöû èãðàåò ýëåêòðîí, à ïîä ïîâåðõíîñòüþ Ôåðìè - êâàçè÷àñòèöà - ýòî îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå áåç ýëåêòðîíà - äûðêà. Ïðè ýòîì âáëèçè ïîâåðõíîñòè Ôåðìèýíåðãèÿ îáîèõ ñîðòîâ êâàçè÷àñòèö ïîëîæèòåëüíà è ðàâí௠2¯¯pp2F ¯¯pF¯−' vF |p − pF | , vF =,(2)ξp = ¯¯2m 2mmÇàìåòèì, ÷òî ýëåêòðîíû è äûðêè äâèæóòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíûvα =∂ξppα= sign (p − pF )∂pαm(3)×èñëî êâàçè÷àñòèö õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü âîçáóæäåíèÿ è ðàñòåò ñ ðîñòîìòåìïåðàòóðû.
Ïîýòîìó, êàê ó ôîòîíîâ ÷åðíîãî èçëó÷åíèÿ è ôîíîíîâ, õèìè÷åñêèéïîòåíöèàë êâàçè÷àñòèö òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ.151Ëåêöèÿ 11. Âîçáóæäåíèÿ ôåðìè-æèäêîñòèÐàâíîâåñíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ êâàçè÷àñòèö åñòü ðàñïðåäåëåíèå Ôåðìèñ íóëåâûì õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîìf0 (~p) =1eξp /T + 1(4) îòëè÷èå îò èäåàëüíîãî ôåðìè-ãàçà îñíîâíîå ñîñòîÿíèå ôåðìè-æèäêîñòèËàíäàó åñòü ñîâîêóïíîñòü ñèëüíî ñâÿçàííûõ äðóã ñ äðóãîì ýëåêòðîíîâ, ëåæàùèõ ïîä ïîâåðõíîñòüþ Ôåðìè. Ïîñêîëüêó ÷èñëî ýëåêòðîíîâ îò âçàèìîäåéñòâèÿ,íå çàâèñèò, òî ðàäèóñ ïîâåðõíîñòè Ôåðìè ïî-ïðåæíåìó îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé(1). Êâàçè÷àñòèöû ôåðìè-æèäêîñòè Ëàíäàó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçðåæåíûé ôåðìè-ãàç, ñâîáîäíî ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ ñêâîçü îñíîâíîå ñîñòîÿíèå ôåðìèæèäêîñòè.
Ñîãëàñíî ãèïîòåçå Ëàíäàó è â ñîîòâåòñòâèè ñ ýêñïåðèìåíòîì ñïåêòðâîçáóæäåíèé êâàçè÷àñòèö èìååò âèä (2)ξp = vF |p − pF | ,(5)íî ñêîðîñòü vF êâàçè÷àñòèö â ñðåäå ñèëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèõ ýëåêòðîíîâèìååò äðóãóþ âåëè÷èíópFvF = ∗ ,(6)mãäå m∗ - ýôôåêòèâíàÿ ìàññà. Ðàâíîâåñíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ êâàçè÷àñòèöâ ôåðìè-æèäêîñòè èìååò òîò æå âèä (4), ÷òî è â ôåðìè-ãàçå.Ýòà ôóíêöèÿ ñîñðåäîòî÷åíà âáëèçè ïîâåðõíîñòè Ôåðìè∂f0 (p)eξp /T=−2 ' −δ (ξp )∂ξpT (eξp /T + 1)(7)Ïîýòîìó ñóììà ïî ñîñòîÿíèÿì êâàçè÷àñòèö ñ âåñîì |∂f0 /∂ξp | îò ëþáîé ïëàâíîéôóíêöèè ϕ(p) ñâîäèòñÿ ê óñðåäíåíèþ ïî òåëåñíîìó óãëóZX ¯¯ ∂f0 ¯¯dΩ¯¯ϕ(p)(8)¯ ∂ξp ¯ ϕ(p) = gF hϕ(p)i , hϕ(p)i ≡4πãäå gF - ïåðåíîðìèðîâàííàÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé:¯¯X ¯ ∂f0 ¯ Z 2 ∗ d3 peξp /Tm∗ pF¯¯=gF ==¯ ∂ξp ¯π 2 ~3(2π~)3 T (eξp /T + 1)2(9)Ìíîæèòåëü 2 ó÷èòûâàåò âûðîæäåíèå ïî ñïèíó ôåðìè-÷àñòèö.2.
Äâèæåíèå ðàçðåæåííîãî ãàçà êâàçè÷àñòèö îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Áîëüöìàíà∂f∂∂+ ṙαf + ṗαf = Stf.(10)∂t∂rα∂pαÏðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ýòèì óðàâíåíèåì, ñòðîãî ãîâîðÿ, íå èìååò ñìûñëàîïèñûâàòü îáû÷íûå çâóêîâûå êîëåáàíèÿ ôåðìè-æèäêîñòè. Çâóêîâûå êîëåáàíèÿóäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ1ω¿ ,τ152Ëåêöèÿ 11. Âîçáóæäåíèÿ ôåðìè-æèäêîñòèãäå τ - âðåìÿ ñâîáîäíîãî ïðîáåãà êâàçè÷àñòèö.
 ýòîì ïðåäåëå çà âðåìÿ t ∼τ ¿ 1/ω. óñòàíàâëèâàåòñÿ ëîêàëüíîå ðàâíîâåñèå, è çâóê - ýòî âîëíà, îïðåäåëÿåìàÿ ãèäðîäèíàìè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè, êîòîðûå îïèñûâàþò äâèæåíèå ëîêàëüíîðàâíîâåñíîé ôåðìè-æèäêîñòè , ñêîðîñòü êîòîðîé ðàâíàs∂ω∂Pvsound ==.(11)∂k∂ρ(P - äàâëåíèå, ρ - ïëîòíîñòü æèäêîñòè) ïðîòèâîïîëîæíîì ïðåäåëå, ïðè ωτ À 1 ñóùåñòâóþò ñëàáîçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ íîâîãî òèïà. ×òîáû èõ íàéòè, èññëåäóåì ðåøåíèÿ âèäà áåãóùèõ âîëí∼ eikr−iωt óðàâíåíèÿ (10), ïðåíåáðåãàÿ åãî ïðàâîé ÷àñòüþ.∂∂∂ff + ṗαf = 0.+ ṙα∂t∂rα∂pα(12)Ïðè îïèñàíèè òðàíñïîðòíûõ ñâîéñòâ ýëåêòðîíîâ â ìåòàëëàõ ýëåêòðîíû ðàññìàòðèâàëèñü êàê èäåàëüíûé ãàç è ñèëà - ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ èìïóëüñà ṗα îïðåäåëÿëàñü èñêëþ÷èòåëüíî âíåøíèì ïîëåì.
Òåïåðü ó÷òåì ôåðìè-æèäêîñòíûåýôôåêòû ìåòîäîì ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ.  ðàìêàõ ýòîãî ìåòîäà ñèëà ṗα , ñêîòîðîé íà âûäåëåííóþ ÷àñòèöó äåéñòâóåò îêðóæàþùèé ãàç êâàçè÷àñòèö âû÷èñëÿåòñÿ êàê ðåçóëüòàò ñóììàðíîãî äåéñòâèÿ îêðóæàþùèõ êâàçè÷àñòèö, âåëè÷èíàêîòîðîãî çàâèñèò îò âèäà èñêîìîé ôóíêöèè f . Âèä ýòîé çàâèñèìîñòè ðàçëè÷åíäëÿ çàðÿæåííûõ è íåéòðàëüíûõ ôåðìè-÷àñòèö.Äëÿ êâàçè÷àñòèö ýëåêòðîííîé ôåðìè-æèäêîñòè ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ èìïóëüñàîïðåäåëÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêîé ñèëîéṗα = e (p) Eα(13)Çäåñü e (p) = esign (p − pF ) , ïðèíÿòî âî âíèìàíèå, ÷òî çàðÿäû ýëåêòðîíà è äûðêè èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå çíàêè.
Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàéäåì èç íåðåëÿòèâèñòñêèõ óðàâíåíèé ÌàêñâåëëàdivE = 4πρ, rotE = 0(14)Äëÿ âûäåëåííîé ãàðìîíèêè óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà (14) ïðèíèìàþò âèä~ = 4πρ, ~k × E~ =0i~k EÎòñþäà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ðàâíîEα = −4πikαρk2(15)Ýëåêòðîíû â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè âìåñòå ñ èîíàìè îáðàçóþò ýëåêòðîíåéòðàëüíóþñèñòåìó è âêëàäà â ïîëíóþ ïëîòíîñòü çàðÿäà íå äàþò. Ðàâíîâåñíîå ðàñïðåäåëåíèåêâàçè÷àñòèö ýëåêòðîíåéòðàëüíîñòü íå íàðóøàåò.Âêëàä â ïëîòíîñòü çàðÿäà âíîñÿò íåðàâíîâåñíàÿ ÷àñòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ êâàçè÷àñòèö f1 = f − f0 :153Ëåêöèÿ 11. Âîçáóæäåíèÿ ôåðìè-æèäêîñòèρ=Xe (p) f =pÏðåäñòàâèì f1 â ôîðìåXe (p) f1(16)p¯¯¯ ∂f0 ¯¯χf1 = ¯¯∂ξ ¯(17)ρ = gF e (p) hχi(18)è èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ (8):Ïîäñòàâëÿÿ (15) è (18) â (13), íàõîäèì4πe2gF hχi(19)k2Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé äèýëåêòðè÷åñêîé ôåðìè-æèäêîñòè ( æèäêîñòü3He ).
Ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ êâàçè÷àñòèöû ñ îñòàëüíûìè êâàçè÷àñòèöàìè â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå ôóíêöèîíàëàZ 3 0 3 0d rd p0 00 0V (rp) = 2(20)3 U (rp, r p )f (r p )(2π~)ṗα = −ikαÂçàèìîäåéñòâèå íåéòðàëüíûõ êâàçè÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ êîðîòêîäåéñòâóþùèì èñëàáî çàâèñÿùèì îò óãëà ðàññåÿíèÿ. Ïîýòîìó ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ ìîæíî ïðèíÿòüU (rp, r0 p0 ) = U0 δ(~r − ~r0 )Òîãäà∂∂ṗα = −V (rp) = −U02∂rα∂rαZd3 p0f1 (rp0 )(2π~)3(21)Î÷åâèäíî, ðàâíîâåñíàÿ ÷àñòü ðàñïðåäåëåíèÿ êâàçè÷àñòèö âêëàäà â ñèëóíå äàåò.Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå (17), ïîëó÷àåì äëÿ âûäåëåííîé ãàðìîíèêè âûðàæåíèåṗα = −ikα U0 gF hχi(22)Ôîðìóëà (19) èìååò òàêîé æå âèä,íî äëÿ ýëåêòðîíîâ ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàëðàâåí ôóðüå-êîìïîíåíòå êóëîíîâñêîé ýíåðãèè4πe2Ue (k) = 2k(23)3.
Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî (22) ñèëà ṗα ïðîïîðöèîíàëüíà íåðàâíîâåñíîéôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, Ïîýòîìó â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ïî f1 â ïîñëåäíåì÷ëåíå (12) â ïðîèçâîäíîé ïî èìïóëüñó ìîæíî ïðåíåáðå÷ü íåðàâíîâåñíîñòüþ, èäëÿ âûäåëåííîé ãàðìîíèêè ñ ÷àñòîòîé ω è âîëíîâûì âåêòîðîì ~k èç èìååì∂f0 (p)(−iω + i~k~v )f1 (p) + ṗα= 0.∂pαÈñïîëüçóÿ (17) è (22), ïîëó÷àåì154(24)Ëåêöèÿ 11. Âîçáóæäåíèÿ ôåðìè-æèäêîñòè(−iω + i~k~v )χ + i~k~v U gF hχi = 0.Îòñþäà íàõîäèìχ = U (k) gF(25)~k~vhχi(ω − ~k~v )Ïîñëå óñðåäíåíèÿ ïî óãëàì, ïîëó÷àåì*1 = U (k) gF~k~vω − ~k~v+(26)Âû÷èñëèì âõîäÿùèé ñþäà èíòåãðàë, ââåäÿ îáîçíà÷åíèå s = ω/kvF*J=~k~vω − ~k~v+1=2Z1d cos θcos θ1s+1= −1 + s lns − cos θ2s−1−1 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå, íåÿâíûì îáðàçîì îïðåäåëÿþùåå çàâèñèìîñòü ω îò k .1s+11−1 + s ln=2s−1U (k) gF(27) äèýëåêòðè÷åñêîé æèäêîñòè âçàèìîäåéñòâèå ÿâëÿåòñÿ êîðîòêîäåéñòâóþùèì,è ïîòåíöèàë U0 îò âîëíîâîãî âåêòîðà íå çàâèñèò:1s+11s ln=+12s−1gF U0(28)Ïðèõîäèì ê ïðîñòîé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèω = (svF ) k(29)Ïî ýòîé ïðè÷èíå ñîáñòâåííîå êîëåáàíèå íåéòðàëüíîé ôåðìè-æèäêîñòè Ëàíäàó íàçâàë íóëü-çâóêîì.
Åñëè ïëîòíîñòü æèäêîñòè íåâåëèêà, è gF U0 ¿ 1, òîñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ íóëü-çâóêà áëèçêà ê vF :1 21ln =2 zgF U0·¸2s = 1 + 2 exp −gF U0s = 1 + z,Ó ýëåêòðîííîé æèäêîñòè ïîòåíöèàë (23) èç-çà äàëüíîäåéñòâóþùåãî õàðàêòåðàêóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ðåçêî çàâèñèò îò ïåðåäàííîãî èìïóëüñà, è äëèííîâîëíîâîå, òàê íàçûâàåìîå, ïëàçìåííîå êîëåáàíèå èìååò êîíå÷íóþ ýíåðãèþ.Ôîðìàëüíî, â óðàâíåíèè1s+1k2−1 + s ln=2s−14πe2 gF155(30)Ëåêöèÿ 11.
Âîçáóæäåíèÿ ôåðìè-æèäêîñòèïðåäåë k → 0 òðåáóåò, ÷òîáû ëåâàÿ ÷àñòü òîæå ñòðåìèëàñü ê íóëþ è s → ∞ :133k 2+=s2 5s44πe2 gF(31) ðåçóëüòàòå íàõîäèì äâà ïåðâûõ ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ ÷àñòîòû ïëàçìåííûõêîëåáàíèé ïî âîëíîâîìó âåêòîðó:Ã!3 (kvF )222ω =Ω 1+(32)5Ω2ãäå ââåäåíà òàê íàçûâàåìàÿ ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà Ω:Ω2 =4πe2 gF vF24πe2 N=3m∗ V4. ×òîáû îöåíèòü çàòóõàíèå ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé, îáóñëîâëåííîå ñòîëêíî-âåíèåì êâàçè÷àñòèö ñ ïðèìåñÿìè è ôîíîíàìè, â ïðàâóþ ÷àñòü êèíåòè÷åñêîãîóðàâíåíèÿ (24) ââåäåì èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé â τ -ïðèáëèæåíèè³´4πe2∂f0 (p)1−iω + i~k~v f1 (p) − ikα 2 gF hχi= − (f − f0 ).(33)k∂pατ¡¢Ýòî ïðèâîäèò â ïðåäûäóùèõ ôîðìóëàõ ê çàìåíå ÷àñòîòû ω íà ω + i τ1 .
Ïîëó÷àåì òðèâèàëüíûé ðåçóëüòàò, ÷òî âðåìÿ ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé ðàâíî τ.Çàòóõàíèå íóëü-çâóêà ìåíåå òðèâèàëüíî. Äåëî â òîì, ÷òî æèäêèé ãåëèè-òðèâûòàëêèâàåò ïðèìåñè è â íåì íåò ïîäñèñòåìû êîëåáàíèé ðåøåòêè. Ó ýòîé ôåðìèæèäêîñòè ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí êàíàë ðåëàêñàöèè - ñòîëêíîâåíèÿ êâàçè÷àñòèö.Ïðè òàêèõ ñòîëêíîâåíèÿõ ñîõðàíÿåòñÿ ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö è ïîëíûé èìïóëüññèñòåìû. (Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðè T ¿ εF ðîëè íå èãðàåò.) ×òîáû ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà íå ïðèâîäèëè ê íàðóøåíèþ ýòèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ,èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿìXϕStf = 0, ϕ = 1, p~,Ïðîñòåéøåå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå âûðàæåíèå, êîòîðîå ýòèì ñâîéñòâàì óäîâëåòâîðÿåò , èìååò âè䯯µ¶1 ¯¯ ∂f0 ¯¯3Stf = − ¯(34)χ − hχi − 2 pα hχpα iτ ∂ξ ¯pFÏîäñòàâëÿÿ (34) â ïðàâóþ ÷àñòü (24) ïîëó÷àå춵³´13−iω + i~k~v χ + i~k~v U0 gF hχi = −χ − hχi − 2 pα hχpα iτpF(35)Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé îñü Z íàïðàâëåíà âäîëü âîëíîâîãî âåêòîðà, è ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ èìåþò âèä~k~v = kv cos θ, 3 pα hχpα i = 3 cos θ hχ cos θip2F156Ëåêöèÿ 11.
Âîçáóæäåíèÿ ôåðìè-æèäêîñòèÔîðìàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (35) èìååò âèäχ = [hχi (1 − iτ kv cos θU0 gF ) + 3 cos θ hχ cos θi] DãäåD = (1 − iωτ + iτ kvF cos θ)−1(36)×òîáû ñîñòàâèòü äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå, ñëåäóåò âû÷èñëèòü ñîîòâåòñòâóþùèåñðåäíèåhχi = hχi (hDi − iq hD cos θi) + 3 hχ cos θi hD cos θi®®hχ cos θi = hχi (hD cos θi − iq D cos2 θ ) + hχ cos θi 3 D cos2 θãäå q = τ U0 gF kvF . Ïåðåãðóïïèðóåì ÷ëåíû ýòèõ óðàâíåíèéhχi (1 − hDi + iq hD cos θi) = 3 hχ cos θi hD cos θi®®hχ cos θi (1 − 3 D cos2 θ ) = hχi (hD cos θi − iq D cos2 θ )Âû÷èñëÿÿ îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû, èëè ïðîñòî ïåðåìíîæàÿ ëåâûå è ïðàâûå÷àñòè, íàõîäèì èñêîìîå äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå®®1 (1 − hDi + iq hD cos θi)( − D cos2 θ ) = hD cos θi (hD cos θi − iq D cos2 θ (37)3Âõîäÿùèå ñþäà èíòåãðàëû ðàâíûZ1d cos θ11 − iωτ + iτ kvFhDi ==ln21 − iωτ + iτ kvF cos θ2iτ kvF 1 − iωτ − iτ kvFZcos θd cos θ11=[1 − (1 − iωτ ) hDi]hD cos θi =21 − iωτ + iτ kvF cos θiτ kvF®(1 − iωτ )D cos2 θ = −hD cos θi(iτ kvF )Åñëè âðåìÿ ñâîáîäíîãî ïðîáåãà äîñòàòî÷íî ìàëî, òî, q = τ U0 gF kvF ¿ 1,1 (iτ kvF )411 (iτ kvF )2++1 − iωτ3 (1 − iωτ )3 5 (1 − iωτ )51 (iτ kvF )1 (iτ kvF )3hD cos θi = −−3 (1 − iωτ )2 5 (1 − iωτ )4® 11 (iτ kvF )21+D cos2 θ =3 (1 − iωτ ) 5 (1 − iωτ )3hDi =·¸·¸131222iωτ + (iωτ ) + (iτ kvF ) + iq (iτ kvF ) iωτ + (iωτ ) + (iτ kvF )335#·"¸2U0 gF11 (iτ kvF )+=3 (1 − iωτ )2(1 − iωτ )2 (1 − iωτ )2157Ëåêöèÿ 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
