Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð bks åñòü îïåðàòîð óíè÷òîæåíèÿ, à b∗ks îïåðàòîð ðîæäåíèÿîäíîãî êâàíòà êîëåáàíèé Ýòî ôîíîí, ñ âîëíîâûì âåêòîðîì k, ïîëÿðèçàöèåés è ÷àñòîòîé ωks . Ôîíîí åñòü áîçå-÷àñòèöà, ïîñêîëüêó â îäíîì ñîñòîÿíèè ñ çàäàííûìè ks ìîæåò íàõîäèòñÿ ëþáîå (öåëîå) ÷èñëî òàêèõ ÷àñòèö. Ïóñòü |0i åñòüâîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ êðèñòàëëà â îáîçíà÷åíèÿõ Äèðàêà. Òîãäàâîëíîâàÿ ôóíêöèÿr1 ∗ n|ni =(b ) |0i , hn |ni = 1.(52)n! ksíîðìèðîâàíà íà åäèíèöó è îïèñûâàåò âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå êðèñòàëëà ñ ÷èñëîì çàïîëíåíèÿ (÷èñëîì òîæäåñòâåííûõ ôîíîíîâ)êîëåáàíèÿ ñ âîëíîâûì âåêòîðîì k è ïîëÿðèçàöèåé s, ðàâíûì n è ýíåðãèåé ~ωks n.
Ìíîãèìè ñïîñîáàìè ìîæíîíàéòè ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû√(53)hn − 1| bks |ni = hn| b∗ks |n − 1i = n,48Ëåêöèÿ 5. Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêèè äîêàçàòü ôîðìóëób∗ks bks |ni = n |ni ,(54)êîòîðàÿ îçíà÷àåò, ÷òî âûðàæåíèå n̂ = b∗ks bks èìååò ñìûñë îïåðàòîðà ÷èñëà ÷àñòèö.Ôîðìóëû (51 - 54) îòíîñÿòñÿ ê ñîñòîÿíèÿì êðèñòàëëà, â êîòîðûõ âîçáóæåíà îäíàâîëíà. Ñîñòîÿíèå ñ áîëüøèì ÷èñëîì êîëåáàíèé ñ ðàçëè÷íûìè äëèíàìè âîëí èïîëÿðèçàöèÿìè îïèñûâàåòñÿ â ïðåäñòàâëåíèè ÷èñåë çàïîëíåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèåérr1 ∗ nks1|nks , nk0 s0 ...i =(bks ) |0i(b∗ 0 0 )nk0 s0 ... |0i .(55)nks !nk0 s0 ! k sÒàêèì îáðàçîì êîëåáàíèÿ êâàíòîâîãî ãàðìîíè÷åñêîãî êðèñòàëëà îáðàçóþò áîçåãàç ôîíîíîâ, êîòîðûé â ïðåäñòàâëåíèè ÷èñåë çàïîëíåíèÿ îïèñûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì (45), è âåêòîð ñìåùåíèÿ ñâÿçàí ñ îïåðàòîðàìè ïîãëîùåíèÿ è ðîæäåíèÿôîíîíîâ ôîðìóëîé (ñì.(24), (29), (32), (42)):rX~uα (R) =eikR eαks (bks + b∗−ks ).2N0 M ωksksÏðåîáðàçîâàíèå ïîëÿ ñìåùåíèé ê âèäó, â êîòîðîì îíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ ôîòîíîâ, íàçûâàåòñÿ âòîðè÷íûì êâàíòîâàíèåìêîëåáàíèé ðåøåòêè.5.2 Ìàòåìàòè÷åñêîå ââåäåíèå â òåîðèþ ðåøåòêèÏóñòü èìååòñÿ ïðàâèëüíàÿ ðåøåòêà, ñîäåðæàùàÿ N óçëîâ, ïðè÷åì ai áàçèñíûåâåêòîðû ýëåìåíòàðíûõ òðàíñëÿöèé â ðåøåòêå.
Ââåäåì áàçèñíûå âåêòîðû ýëåìåíòàðíûõ bi òðàíñëÿöèé â îáðàòíîé ðåøåòêå ïî ôîðìóëåb1 = 2π [a2 × a3 ] /Va , b2 = 2π [a3 × a1 ] /Va , b3 = 2π [a2 × a1 ] /Va ,(56)ãäå Va = (a1 · [a2 × a3 ]) = − îáúåì ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè â ïðÿìîé ðåøåòêå. Ëåãêîïðâåðèòü, ÷òîai bj = 2πδij .(57)Ïðè ýòîì îáúåì ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè îáðàòíîé ðåøåòêè ðàâåí(2π)3Vb = (b1 · [b2 × b3 ]) =.Va(58)Îáùåå âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà îáðàòíîé ðåøåòêè g èìååò âèä g =ni bi ,ãäå ni −ïðîèçâîëüíûé íàáîð èç òðåõ öåëûõ ÷èñåë êîîðäèíàòû óçëîâ â âûáðàííîì áàçèñå.Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ ïåðèîäîì ðåøåòêè (x êîîðäèíàòàïðîèçâîëüíîé òî÷êè òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, à íå òîëüêî êîîðäèíàòà óçëîâðåøåòêè).
Òîãäà åå ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä ôóðüå ïî âåêòîðàì îáðàòíîé ðåøåòêèḡ ñëåäóþùèì îáðàçîìXf (x) =fg eigx(59)g49Ëåêöèÿ 5. Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêè ýòîì ëåãêî óáåäèòñÿ, åñëè ñäåëàòü çàìåíó(60)x → x + ni ai ,ãäå ni ïðîèçâîëüíûå öåëûå ÷èñëà, è âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâîì (57).Ïóñòü ôóíêöèÿ qr çàäàíà íà äèñêðåòíîì ìíîæåñòâå N óçëîâ îäíîìåðíîé ðåøåòêè. Ðàññìîòðèì ðÿäXqr = N −1/2Qk eikr(61)kÄëÿ óäîáñòâà ñ÷èòàåì, ÷òî ðàññòîÿíèå r ìåðÿåòñÿ â åäèíèöàõ a,a k â åäèíèöàõ1/a. Ïîòðåáóåì óäîâëåòâîðåíèÿ ôóíêöèè ïåðèîäè÷åñêèì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì(62)qr = qr+NÈç ýòîãî òðåáîâàíèÿ ñëåäóåò óñëîâèå eikN = 1,èëè k = 2πn/N, ãäå n öåëîå÷èñëî.
Ïîñêîëüêó r ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî óçëîâ ðåøåòêè, òî âåêòîð k ôàêòè÷åñêèîïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî âåêòîðà îáðàòíîé ðåøåòêè, èëè, êàê ãîâîðÿò ïðîáåãàåòçíà÷åíèÿ èç 1-îé çîíû Áðèëëþýíà. Óäîáíî ïîëîæèòü N ÷åòíûì è ñ÷èòàòü, ÷òî n =0, ±1, ±2, ..... ± (N/2 − 1), N/2. Ëåãêî òàêæå ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõñîîòíîøåíèé îðòîãîíàëüíîñòè1 X ikre= δr0N k1 X irke= δk0N r(63)(64)Ïðîâåðèì, íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâîñòü ïåðâîãî èç ýòèõ ðàâåíñòâN/21 X ikm1 X i2πnm/N1e=e+N kN n=0NN/2−(N/2−1)Xei2πnm/N =n=−1N/2+1N −11 X i2πnm/N1 X i2πnm/N1 X i2πnm/Ne+e=eN n=0N n=N −1N n=0¡¢N1 1 − ei2πm/N== δm0N 1 − ei2πm/N=Óñëîâèÿ (63) (64) ïîçâîëÿþò çàïèñàòü ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå (61),Qk =1 X −ikrqr e.N 1/2 r(65)Ïåðåõîä îò ñóììèðîâàíèÿ ïî çîíå Áðèëëþýíà îáðàòíîé ðåøåòêè ê èíòåãðèðîâàíèþ îáîñíîâûâåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé öåïî÷êè ðàâåíñòâZπZ1/2π1 X1 2π X1 X1...dk =...dg...
=... =...∆k =N k2π N k2π k=−π2π−π50−1/2(66)Ëåêöèÿ 5. Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêèkÇäåñü ∆k = 2π, g = 2π.N òðåõìåðíîì ñëó÷àå ñîîòîíîøåíèå (66) ïåðåïèøåòñÿ â âèäåZ πZ πZ π1 X1=...d3 kN3 k(2π)3 −π −π −π(67)5.3 Ñïåêòð êîëåáàíèé êóáè÷åñêèõ ðåøåòîê. Íåóñòîé÷èâîñòüÂòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè è îáùèå ñâîéñòâàôîíîíîâ, áûëè îáñóæäåíû íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè. Çäåñü áóäóò îáñóæäåíû êîíêðåòíûå ñâîéñòâà ñïåêòðà ôîíîíîâ, ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé, íåóñòîé÷èâîñòü ïðîñòîé êóáè÷åñêîé ðåøåòêè.
Äëÿ óäîáñòâà èçëîæåíèÿ ïðîâåäåì äèãîíàëèçàöèþ ãàìèëüòîíèàíà ðåøåòêè çàíîâî.Äèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà êðèñòàëëè÷åñêîãî äèýëåêòðèêà îïèñûâàþòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì, êîòîðûé åñòü ñóììà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè àòîìîâ, ðàñïîëîæåííûõîêîëî óçëîâ ðåøåòêè, è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ àòîìîâ, êîòîðàÿ â ãàðìîíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè èìååò âèä îäíîðîäíîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìûîòíîñèòåëüíî ñìåùåíèé uαj = rjα − Rjα :H=X p2j1 X αβ+U (Ri − Rj )(uαi − uαj )(uβi − uβj ).2M4i,jj(68)Êàê è íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè, ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì êðèñòàëëîâ ñ êðèñòàëëè÷åñêîé ñòðóêòóðîé, ñîäåðæàùåé îäèí àòîì â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå.
Êîîðäèíàòû óçëîâ òàêîé ðåøåòêè ïðîáåãàþò äèñêðåòíûé ðÿä çíà÷åíèéRjα = aα1 n1 + aα2 n2 + aα3 n3 .(69)Òðè âåêòîðà aα1 ,aα2 ,aα3 ýòî òðè ïåðèîäà ðåøåòêè. ×èñëî íîìåðîâ óçëîâj = (n1 , n2 , n3 ) â êàæäîì èç òðåõ íàïðàâëåíèé ðàâíî N1 , à ïîëíîå ÷èñëî óçëîâêðèñòàëëà ðàâío N0 = N13 . Íà ñìåùåíèÿ íàêëàäûâàþòñÿ óñëîâèÿ ïåðèîäè÷íîñòèuαn1 ,n2 ,n3 = uαn1 +N1 ,n2 ,n3 = uαn1 ,n2 +N1 ,n3 = uαn1 ,n2 ,n3 +N1 .(70)Çàìå÷àòåëüíîé îñîáåííîñòüþ ãàìèëüòîíèàíà â ãàðìîíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè (68)ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îí ïðèâîäèò ê îäèíàêîâûì óðàâíåíèÿì è â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå è â êâàíòîâîé ìåõàíèêå.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿèìåþò âèä∂uαj∂H ∂pαj∂H= α,=− α∂t∂pj ∂t∂ujÄèôôåðåíöèðóÿ (68), ëåãêî íàõîäèìX∂uαj1 α ∂pαjU αβ (Ri − Rj )(uβj − uβi )=pj ,=−∂tM∂ti51(71)Ëåêöèÿ 5. Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêèÝòî æå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç êâàíòîâûõ óðàâíåíèé, îïðåäåëÿþùèõ ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè∂uαj∂pαji αi= − [uj , H],= − [pαj , H],∂t~∂t~ñ ó÷åòîì êîììóòàöèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ[uαi , pβj ] = i~δ αβ δij .(72)Èç (71) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò ñèñòåìà óðàâíåíèé Íüþòîíà∂ 2 uαj1 X αβU (Ri − Rj )(uβj − uβi )=−2∂tM i(73)Èùåì ñîáñòâåííîå êîëåáàíèå êðècòàëëà â ôîðìå ïëîñêîé âîëíûuαj = uαk e−iωt+ikRj(74)Ïîäñòàíîâêà ýòîãî âûðàæåíèÿ â (73) äàåòω 2 uαk = Dkαβ uβk ,1 X αβU (Ri − Rj )[eikRj − eikRi ]e−ikRj .Dkαβ =M i(75)(76)Âñåãäà ìàòðèöà U αβ îáëàäàåò ñâîéñòâàìèU αβ (R) = U αβ (−R) = U βα (R)è âûðàæåíèå (76) ðàâíîDkαβ =1 X αβ~U (R)(1 − cos ~k R).M R(77)Ýòîò ñèììåòðè÷íûé òåíçîð Dkαβ íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ìàòðèöåé.
Îí äèàãîíàëåí â ïðåäñòàâëåíèè ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâDkαβ eβks = Dks eαks ,eαks eαks0 = δss0 ,s = 1, 2, 3(78)Äèíàìè÷åñêàÿ ìàòðèöà îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè k → 0. Ñëåäîâàòåëüíî, åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðè ìàëûõ k ïðîïîðöèîíàëüíû k 2 :Dks = c2s k 2Âûáèðàÿ uαk = const ∗ eαks , íàõîäèì èç (75) ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòópωks = Dks ,(79)(80)ïðè÷åì ïðè ìàëîì âîëíîâîì âåêòîðå èìååò ìåñòî ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü (çâóêîâîé ñïåêòð)ωks = cs k.(81)52Ëåêöèÿ 5.
Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêèÒàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî âîëíîâîãî âåêòîðà êðèñòàëë èìååò òðè ìîäû òðè ñîáñòâåííûõ (íîðìàëüíûõ) êîëåáàíèÿ ñ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè ïîëÿðèçàöèÿìè ~eks è ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ωks .  ïðåäåëå äëèííûõ âîëí ãîâîðÿò îòðåõ çâóêîâûõ ìîäàõ.  îáùåì ñëó÷àå, êàê ñëåäóåò èç (77), ñîáñòâåííûå ÷àñòîòûÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè âîëíîâîãî âåêòîðàωks = ωk+B,s~ åñòü îäèí èç òðåõ ïåðèîäîâ îáðàòíîé ðåøåòêèãäå âåêòîð B~ 2 = 2π (~a × ~a1 ), B~ 3 = 2π (~a × ~a2 ),~ 1 = 2π (~a × ~a3 ), BB23v0v0v0 1ãäå v0 = ~a1 (~a2 × ~a3 ) åñòü îáúåì ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè.Ðàññìîòðèì äèíàìè÷åñêóþ ìàòðèöó ïîäðîáíåå â ìîäåëÿõ, â êîòîðûõ âåëè÷èíàαβU (R) åñòü âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ïîòåíöèàëà ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ àòîìîâ.Ïîòåíöèàë çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó àòîìàìè.Ãðàäèåíò ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ U (R) ðàâåíU α (R) = U 0 nα , nα = Rα /R.Òåíçîð âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ èìååò âèä1 0 α β1U )n n + δ αβ U 0RRÏîäñòàâèì ýòîò òåíçîð â äèíàìè÷åñêóþ ìàòðèöó (77)1 X1100~Dkαβ =(1 − cos ~k R)[(U− U 0 )nα nβ + δ αβ U 0 ].M RRRU αβ (R) = (U 00 −(82) ñèëó ñèììåòðèè ðåøåòêè íåäèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû äèíàìè÷åñêîé ìàòðèöû ðàâíû íóëþ.
Íàïðèìåð, â Dkxy íåäèàãîíàëüíàÿ êîìïîíåíòà ñèìâîëà Êðîíåêåðà ðàâíà íóëþ, à âûðàæåíèå, ïðîïîðöèîíàëüíîå nx ny ìåíÿåò çíàê ïðè çàìåíå~ → −R~ è ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ ïî óçëàì ðåøåòêè èñ÷åçàåò. Ïîýòîìó â ðàññìàòRðèâàåìîé ìîäåëè äèíàìè÷åñêàÿ ìàòðèöà äèàãîíàëüíà ñ ñàìîãî íà÷àëà, è òðèïîëÿðèçàöèè íàïðàâëåíû ïî x, y è z . Äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ðàññìîòðèì z -ìîäópDkzz , ~ez = (0, 0, 1)1 X1100~=(1 − cos ~k R)[(U− U 0 ) (nz )2 + U 0 ]M RRRωkz =Dkzz(83) ñëó÷àå ~k k~ez ýòà ìîäà ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëüíîé, â ñëó÷àå ~k ⊥~ez ïîïåðå÷íîé.Äëÿ îáùåãî íàïðàâëåíèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà, íàïðàâëåíèå ïîëÿðèçàöèè îñòàåòñÿíåèçìåííûì.Ðàññìîòðèì ìîäåëü ïðîñòîé êóáè÷åñêîé ðåøåòêè è îãðàíè÷èìñÿ ïðèáëèæåíèåì, êîòîðîå ó÷èòûâàåò òîëüêî âçàèìîäåéñòâèå øåñòè áëèæàéøèõ ñîñåäåé, êîãäà~ = (±a, 0, 0), R~ = (0, ±a, 0), èëè R~ = (0, 0, ±a)R212 0(1 − cos kz a)(U 00 − U 0 ) +UγMaMaγ = (1 − cos kx a) + (1 − cos ky a) + (1 − cos kz a)Dkzz =53(84)Ëåêöèÿ 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
