Лекции по статистической физике - Максимов (1183862), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Äëÿ ðàññìîòðåííîãî ïðèìåðà îíè ðàâíû:¶µ1dσ11−n,(44)==lnτdE∆Enn=d2 σ1=−.(45)22dEN (∆E) n(1 − n)Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ñ ðîñòîì ñðåäíåãî ÷èñëà âîçáóæäåííûõ ñïèíîâ n îò íóëÿäî ïîëîâèíû òåìïåðàòóðà τ ðàñòåò îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè, à ïðè äàëüíåéøåìâîçðàñòàíèè ÷èñëà n (â èíòåðâàëå 1/2 < n < 1) òåìïåðàòóðà τ îòðèöàòåëüíà.Ñîñòîÿíèå ñ îòðèöàòåëüíîé òåìïåðàòóðîé âîçìîæíî òîëüêî äëÿ ñèñòåì ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì âñåõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû.
 äàííîì ñëó÷àå ýòî ÷èñëî ðàâíî 2N .2.5.2N îñöèëëÿòîðîâÒåïåðü ðàññìîòðèì ÷èñëî ñîñòîÿíèé ñ çàäàííîé ýíåðãèåé â ñèñòåìå N îäèíàêîâûõîñöèëëÿòîðîâ. Çà âû÷åòîì ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé ýíåðãèÿ ñèñòåìû ðàâíàE = ∆ENXni ,(46)∆E = ~ω.i=1ãäå ni - íîìåð âîçáóæäåíèÿ i-òîãî îñöèëëÿòîðà. Ýòî çíà÷åíèå ýíåðãèè ìîæåò áûòüïîëó÷åíî ÷èñëîì ñïîñîáîâ, êîòîðîå ñëåäóåò èç êîìáèíàòîðèêè(N + M − 1)!(N + M )N +M )≈.(N − 1)!M !NNMM(47)Ëîãàðèôì ýòîãî ÷èñëà (êîòîðûé, êàê ìû óæå çíàåì, åñòü ñòàòèñòè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ ñèñòåìû) ðàâåíM.(48)NÈ çäåñü n = M/N = E/(N ∆E) ñðåäíåå ÷èñëî âîçáóæäåíèé, ïðèõîäÿùèõñÿ íàîäèí îñöèëëÿòîð.
Ïðîèçâîäíûå ñòàòèñòè÷åñêîé ýíòðîïèè (48) ðàâíûµ¶11+ndσ=ln,(49)dE∆Enσ = ln∆Γ = N (−nln(n) + (1 + n)ln(1 + n)),n=1d2 σ=−.(50)22dEN (∆E) n(1 + n)×èñëî ñîñòîÿíèé ñèñòåìû îñöèëëÿòîðîâ áåñêîíå÷íî, è ñîñòîÿíèÿ ñ îòðèöàòåëüíîéòåìïåðàòóðîé îòñóòñòâóþò.26Ëåêöèÿ 2. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè2.5.3Èäåàëüíûé ãàçÏîñëåäíèé ïðèìåð âû÷èñëåíèå ÷èñëà ñîñòîÿíèé äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ñ ÷èñëîì÷àñòèö N è îáúåìîì V . Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå ÷àñòèö âñåãäà êâàçèêëàññè÷íî.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû õàðàêòåðèçóåòñÿ òî÷êîé â 6N ìåðíîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâåα = (r1 , p1 , r2 , p2 , ..., rN , pN )(51)×èñëî òî÷åê â ýëåìåíòå 6-ìåðíîãî ôàçîâîãî îáúåìà dr3 dp3 ñîãëàñíî ïðàâèëóÁîðà-Çîììåðôåëüäà ðàâíî îòíîøåíèþ ýòîãî îáúåìà ê (2π~)3 .
Îáîáùåíèå ýòîãîïðàâèëà íà ñëó÷àé N îäèíàêîâûõ ÷àñòèö äàåò äèôôåðåíöèàë ÷èñëà ñîñòîÿíèéN1 Y d3 ri d3 pidΓα =.N ! i=1 (2π~)3(52)Ïðîèçâåäåíèå äèôôåðåíöèàëîâ ïîäåëåíî íà N ! äëÿ òîãî, ÷òîáû âñå êîíôèãóðàöèè, ïîëîæåíèÿ ÷àñòèö â 6N -ìåðíîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, îòëè÷àþùèåñÿ äðóãîò äðóãà ëèøü ïåðåñòàíîâêàìè òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö, ó÷èòûâàëèñü òîëüêî îäèíðàç. Ñ ïîìîùüþ ( 52 ) ïðîèçâîëüíàÿ ñóììà ïî ñîñòîÿíèÿì ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ôîðìå èíòåãðàëàZXFα = dΓα Fα .(53)αÏîëíîå ÷èñëî ñîñòîÿíèé ÷èñëî òî÷åê â 6N -ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ýíåðãèåéNXp2iEα =2mi=1(54)â èíòåðâàëå ìåæäó 0 è E âûðàæàåòñÿ èíòåãðàëîì (ñì.(12)):Ã!ZZ YNNXd3 ri d3 pip2i1Γ(E) = dΓα θ(E − Eα ) =θ E−.N ! i=1 (2π~)32mi=1(55)Èíòåãðèðîâàíèå ïî ïðîñòðàíñòâåííûì êîîðäèíàòàì êàæäîé ÷àñòèöû äàåò îáúåìV , è ñ ó÷åòîì ôîðìóëû Ñòèëüòüåñà ïîëó÷àå쵶NVeJ3N (E),(56)Γ(E) =N (2π~)3Ã!Z YNN2XpiJ3N (E) =d3 pi θ E −.(57)2mi=1i=1Ââåäåì îáîçíà÷åíèå E = P 2 /2m, ñîêðàòèì â àðãóìåíòå θ-ôóíêöèè ìíîæèòåëü1/2m, è ïåðåïèøåì èíòåãðàë (57) â ôîðìå îáúåìà 3N -ìåðíîãî øàðà ðàäèóñà P :!ÃZNX(58)p2i .J3N (E) = V3N (P ) = d3N pθ P 2 −i=127Ëåêöèÿ 3.
Î ñòàòñóììå, ðàñïðåäåëåíèÿõ...Îáúåì ìíîãîìåðíîãî øàðà ðàâåínπ2¢ Rn ≈Vn (R) = ¡ nΓ 2 +1µ2eπR2n¶ n2.(59)Èñïîëüçóÿ ýòó ôîðìóëó, íàõîäèì ëîãàðèôì ÷èñëà ñîñòîÿíèé (56) , ò. å. ñòàòèñòè÷åñêóþ ýíòðîïèþ èäåàëüíîãî ãàçà:"µ¶3 #Ve4πemE 2σ(E) = lnΓ(E) = N ln.N (2π~)33NÏðîèçâîäíàÿ îò ñòàòèñòè÷åñêîé ýíòðîïèè ïî ýíåðãèè îïðåäåëÿåò îáðàòíóþ ñòàòèñòè÷åñêóþ òåìïåðàòóðó èäåàëüíîãî ãàçà (ñì.
(37)):1dσ3N==,τdE2Eτ=2E.3N(60)Íî ñ äðóãîé ñòîðîíû â ëåêöèè ïî òåðìîäèíàìèêå ôîðìóëîé äëÿ ýíåðãèè èäåàëüíîãî ãàçà3E = NT(61)2îïðåäåëåíà øêàëà òåðìîäèíàìè÷åñêîé òåìïåðàòóðû T . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî τ =T , ò.å. ñòàòèñòè÷åñêàÿ òåìïåðàòóðà åñòü îáû÷íàÿ òåìïåðàòóðà , à ñòàòèñòè÷åñêàÿýíòðîïèÿ, ñâÿçàííàÿ ñ òåìïåðàòóðîé ôîðìóëîé (37), åñòü òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîãî òåëà.Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ýíòðîïèè ðàâíàd2 σ3N= − 2.2dE2E(62)Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðàõ âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ýíòðîïèè ïî ýíåðãèè,êàê è äîëæíî áûòü, îòðèöàòåëüíà è ïî ïîðÿäêóâåëè÷èíû ðàâíà îòíîøåíèþ −N/E 2 .
Äëÿ êâàíòîâûõ ñèñòåì (ñì.(45), (50)), íàõîäÿùèõñÿ â ñëàáî âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèÿõ, ýòà îöåíêà íåñêîëüêî ìåíÿåòñÿ:d2 σ∼ −1/E,dE 23n << 1.(63)Ëåêöèÿ 3. Î ñòàòñóììå, ðàñïðåäåëåíèÿõ...3.1 Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììàÍà ïðåäûäóùåé ëåêöèè áûëî äîêàçàíî, ÷òî ýíòðîïèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìûðàâíà ëîãàðèôìó îò ÷èñëà ñîñòîÿíèé. Çíàÿ ýíòðîïèþ σ êàê ôóíêöèþ ýíåðãèè,ìîæíî íàéòè òåìïåðàòóðó è äðóãèå òåðìîäèíàìè÷åñêèå âåëè÷èíû. Îäíàêî âû÷èñëèòü ÷èñëî ñîñòîÿíèéXΓ=θ(E − Eα ),(1)α28Ëåêöèÿ 3. Î ñòàòñóììå, ðàñïðåäåëåíèÿõ...èëè ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ñèñòåìûXdΓ=δ(E − Eα )dEα(2)ñëîæíî èç-çà íàëè÷èÿ â íèõ θ èëè δ ôóíêöèé, êîòîðûå íàêëàäûâàþò æåñòêèåîãðàíè÷åíèÿ íà ñóììàðíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû.
Áîëåå óäîáíîé äëÿ âû÷èñëåíèéâåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ, òàê íàçûâàåìàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììàXZ(β) =e−βEα , β > 0.(3)αÑòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà ðàâíà îáðàçó Ëàïëàñà îò ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèéZ ∞Z ∞X−βE dΓdEe=dEe−βEδ(E − Eα ) = Z(β).dE00α(4)ÏîñêîëüêódΓd σdσ=e = eσ,dEdEdEòî ñòàòèñòè÷åñêóþ ñóììó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå èíòåãðàëàZ ∞dσZ(β) =dEeσ−βE,dE0Γ = eσ ,(5)(6)Èíòåãðàë òàêîãî òèïà ìû óæå áðàëè íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè. Ðàçëîæèì ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû f = σ − βE â ðÿä îêîëî òî÷êè Em è îãðàíè÷èìñÿ êâàäðàòè÷íûìïðèáëèæåíèåì:10f (E) = fm + fmx + f 00 x2 , x = E − Em .(7)2Òî÷êà Em îïðåäåëÿåò ìaêñèìóì ôóíêöèè, åñëèf0 =dσ− β = 0,dE(8)d2 σ< 0.(9)dE 2Íåðàâåíñòâî (9) âûðàæàåò îäíî èç îñíîâíûõ ñâîéñòâ ñòàòèñòè÷åñêîé ýíòðîïèèσ .
Îíî âûïîëíÿåòñÿ âî âñåõ òðåõ ïðèìåðàõ, ðàññìîòðåííûõ íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè.  îáùåì ñëó÷àå ýòî óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì ïðèçíàêîì âîçìîæíîñòèóñòàíîâëåíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ â ñèñòåìå.Èòàê, åñëè âûáðàòü â êà÷åñòâå Em ïîëîæåíèå ìàêñèìóìà ôóíêöèè (7), òî ñó÷åòîì çíàêà f 00 èìååì1(10)f (E) = fm − | f 00 | x2 ,2è èíòåãðàë (6) ïðèíèìàåò âèäZ ∞dσ 1 00 2fmdx e− 2 |f |x ,Z(β) = e(11)dE−∞f 00 =29Ëåêöèÿ 3.
Î ñòàòñóììå, ðàñïðåäåëåíèÿõ...Êàê ïîêàçàíî â êîíöå ïðåäûäóùåé ëåêöèè, | σ 00 |∼ N/E 2 èëè 1/E , è ïîäèíòåãðàëüíàÿ ýêñïîíåòà èìååò ðåçêèé ìàêñèìóì â òî÷êå Em ñ øèðèíîé1∆E = (σ 00 )− 2 << E.(12)Ïîýòîìó íèæíèé ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ â (11) çàìåíåí íà −∞. Ïî ýòîé æåïðè÷èíå ïðåäýêñïîíåíöèàëüíûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè (ñ ó÷åòîì (8)) èç ïîäçíàêà èíòåãðàëà è ïðèâåñòè èíòåãðàë ê ôîðìå Ãàóññà:Z ∞1 00 2fmZ(β) = βedxe− 2 |f |x .(13)−∞Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷àåìsZ(β) = βefm2π.| f 00 |(14)Ëîãàðèôìèðóÿ, íàõîäèì" sln Z(β) = σ(Em ) − βEm + ln β#2π.| σ 00 |(15)Äëÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì äâà ïåðâûõ àääèòèâíûõ ÷ëåíà ñïðàâà âåëèêè ïîñðàâíåíèþ ñ ïîñëåäíèì ëîãàðèôìîì, è èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Òàêèì îáðàçîì,ëîãàðèôì ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû â ìàêðîñêîïè÷åñêîì ïðåäåëå ðàâåíln Z(β) = σ(Em ) − βEm .(16)Äëÿ ñèñòåìû, ñîñòàâëåííîé èç äâóõ íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì A è B , ýíåðãèÿ êîòîðîé â òî÷êå α = (a, b) ðàâíà Eα = Ea + Eb , ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà ðàñïàäàåòñÿíà ìíîæèòåëè:Xe−β(Ea +Eb ) = ZA (β)ZB (β).(17)ZA,B (β) =a,bÎòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò àääèòèâíîñòü ëîãàðèôìà ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììûln ZA,B (β) = ln ZA (β) + ln ZB (β).(18)Ïîýòîìó ôîðìóëó (16) ìîæíî ÷èòàòü â îáå ñòîðîíû.
Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèåäîêàçàííóþ íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè àääèòèâíîñòü σ (àääèòèâíîñòü ýíåðãèè íåîáñóæäàåòñÿ), ôîðìóëà (16) äåìîíñòðèðóåò àääèòèâíîñòü ln Z . Íî åñëè îïèðàòüñÿ íà äîêàçàííóþ â (18) àääèòèâíîñòü ln Z , òî (16) ïåðåíîñèò ýòî ñâîéñòâî íàñòàòèñòè÷åñêóþ ýíòðîïèþ.Êðîìå òîãî, èç (8) è (17) ïîëó÷àå쯯¯dσ ¯¯dσ ¯¯dσ ¯¯=== β.(19)dE ¯ABdE ¯AdE ¯BÏîñëåäíÿÿ öåïî÷êà ðàâåíñòâ îçíà÷àåò, ÷òî ïðîèçâîäíûå îò ñòàòèñòè÷åñêèõ ýíòðîïèé ïî ýíåðãèè äëÿ ïîäñèñòåì è îò ïîëíîé ýíòðîïèè îäèíàêîâû è ðàâíû β.30Ëåêöèÿ 3. Î ñòàòñóììå, ðàñïðåäåëåíèÿõ...Ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî àðãóìåíò ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû (3) β èìååò ñìûñë îáðàòíîéòåðìîäèíàìè÷åñêîé òåìïåðàòóðû:1.βà ñòàòèñòè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ åñòü òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿT =σ(Em ) = S(Em ),(20)(21)ïðè÷åì Em = E(T ) åñòü ýíåðãèÿ òåëà ïðè òåìïåðàòóðå T .Óìíîæèì îáå ñòîðîíû ðàâåíñòâà (16) íà T :T ln Z(β) = T σ(Em ) − Em ,(22)Ñ ó÷åòîì òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ñìûñëà âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ýòî óðàâíåíèå, ïåðåïèøåì åãî â âèäåµ ¶1T ln Z= T S − E,(23)TÝòà ôîðìóëà äîêàçûâàåò, ÷òî òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ F = E − T S - ðàâåíµ ¶1F = −T ln Z,(24)TÝòî ãëàâíàÿ ôîðìóëà ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè.
Îíà äàåò åäèíûé àëãîðèòìâû÷èñëåíèÿ âñåõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí:1. Âíà÷àëå ñëåäóåò çàäàòü ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû è ðåøèòü êâàòîâîìåõàíè÷åñêóþ çàäà÷ó íàéòè âèä ñïåêòðà ýíåðãèè Eα .2. Çíàÿ ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð, ñëåäóåò âû÷èñëèòü ñòàòèñòè÷åñêóþ ñóììó (3).3. Ïîñëå ýòîãî ïî ôîðìóëå (24) îïðåäåëÿåì ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ, ïðîèçâîäíûåîò êîòîðîé çàäàþò âñå îñòàëüíûå òåðìîäèíàìè÷åñêèå âåëè÷èíû.3.2 Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿÂûøå ïðè óñòàíîâëåíèè ñâÿçè ìåæäó "ìåõàíè÷åñêèìè"âåëè÷èíàìè σ, τ, Z èòåðìîäèíàìè÷åñêèìè S, T, F èç ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè áûë èñïîëüçîâàíòîëüêî çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî ïîíèìàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîéôèçèêè ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ.Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ wα åñòü ôóíêöèÿ òî÷êè α è ðàâíà â ýòîé òî÷êå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî òåëî íàõîäèòñÿ â ìåõàíè÷åñêîì ñîñòîÿíèè, õàðàêòåðèçóåìîìíàáîðîì êâàíòîâûõ ÷èñåë α.
Åñëè ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà A â òî÷êå α ïðèíèìàåòçíà÷åíèå Aα , òî åå ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàâíîX< A >=wα Aα .(25)αÏîëàãàÿ â ýòîì âûðàæåíèè A = 1, íàõîäèì, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìèðóåòñÿ ñîîòíîøåíèåìXwα = 1.(26)α31Ëåêöèÿ 3. Î ñòàòñóììå, ðàñïðåäåëåíèÿõ...Åñëè ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà îïèñûâàåòñÿ ýðìèòîâûì îïåðàòîðîì Â, êîòîðûé âïðåäñòàâëåíèè α èìååò íåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû, òî âìåñòî (25) ñëåäóåò ïèñàòüâûðàæåíèå áîëåå îáùåãî âèäàX< A >=ραβ Aβα = Sp(ρ̂Â).(27)αβÝðìèòîâ îïåðàòîð ρ̂, ñëåä êîòîðîãî ðàâåí åäèíèöå(28)Spρ̂ = 1,íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïëîòíîñòè èëè ñòàòèñòè÷åñêèì îïåðàòîðîì.Ìàòðèöà ïëîòíîñòè è åå äèàãîíàëüíàÿ ÷àñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äàþò ïîëíîå îïèñàíèå ñòàòèñòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ òåëà, òàê êàê îíè îïðåäåëÿþòñðåäíèå çíà÷åíèÿ âñåõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, êîòîðûå çàâèñÿò îò ýòîãî ñîñòîÿíèÿ.Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìåõàíè÷åñêîå ñîñòîÿíèå åñòü òî÷êà â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, èëè ïîëíûé íàáîð êâàíòîâûõ ÷èñåë, èëè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, òî ñòàòèñòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ýòî ñîâîêóïíîñòü, ìíîæåñòâî ìåõàíè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé, ðàçìûòûõ ïî íåêîòîðîé îáëàñòè ôàçîâîãî èëè ãèëüáåðòîâîãî ïðîñòðàíñòâà.Ïóñòü ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â çàäàííîì ìåõàíè÷åñêîì ñîñòîÿíèè α0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
