Экзамен (LaTex) (1183685), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Это отличие мало в меру малости / - интегралы нужно разложитьпо малому параметру. Отличие от «ступеньки» приводит для любой функции () к разложению:´´∞ ()2= () + 6 2 ′ () + ...−00 +1(︂ ∞)︂ ∞/´ (+ )´ ()´´ (− )1− () =Происхождение поправочного члена: − - ищем− +1 +10 +1000разложение при малых ≪ ⇒ верхний предел → ∞, а подынтегральную функцию - в ряд =искомая поправка.´∞ ´ 2 2== 12 - через контур: (∞, 0, 2,2 + ∞) +1 +10´∞ √; = получаем:−0]︂ +10 [︂[︂(︁ )︁22223/25/2 = 3 1 + 8 + ...
; = 5 1+Из = ´∞√− +15 28(︁ )︁2]︂+ ...обращая методом итераций, получаем температурныезависимости ]︂химического потенциала и[︂(︁ )︁222теплоёмкости: (учтем: 25 5/2 (0) = 53 ) ( ) = 1 − 12 + ... ; ( ) = 2 + ...ФИЗ. СМЫСЛ: При нулевой температуре сфера Ферми полностью заполнена. При нагревании газадо температуры происходит изменение чисел электронов только в узком слое ∼ вблизи поверхности Ферми. Относительная доля электронов, переместившихся в возбужденные состояния ∼ / ,а изменение энергии каждого ∼ , так что теплоёмкость газа получается ∼ /24. Теорема Бора – ван Леевен и ее физический смысл.Система частиц, подчиняющихся классической механике и классической статистике,лишена магнетизма. Этот факт был доказан в 1909 г. Г.А. Лоренцом, поэтому и называетсятеоремой Бора – ван Леевен.
Обозначим координаты и импульсы частиц как ⃗ = ⃗1 ,⃗2 ,...,⃗ ,⃗ = ⃗1 ,⃗2 ,...,⃗ . Тогда гамильтониан и статистическая сумма во внешнем магнитном поле есть)︁ (︁´ ⃗⃗∑︀1⃗ ) + (⃗), =⃗ − (⃗exp (− (⃗,⃗) ). Статистическая сумма выглядит(⃗,⃗) = 2 !(2~)3=1устрашающе, но если поменять порядок интегрирования, то не всё так безнадежно(︂(︁)︁2 )︂´´ (⃗)⃗1 ⃗ = !(2~)3 exp (− )⃗1 exp (− 2 ⃗1 − (⃗1 ) ) . Поскольку пределы интегрирования⃗ ) → ⃗ исключает магнитное поле из статистической сумбесконечны, ясно, что, замена ⃗ − (⃗мы. Соответственно, магнитный момент системы, равный производной свободной энергии по полю,взятой со знаком минус, обращается в ноль.
Физический смысл полученного результата: уклассической системы частиц нет парамагнетизма, потому что у них нет «собственного» магнитного момента. Любая стационарная токовая конфигурация, создающая такоймомент, неустойчива по отношению к излучению. Диамагнетизм же отсутствует из-заточной компенсации вклада в магнитный момент объёмных и поверхностных ларморовских токов.3725. Парамагнетизм Паули.Поскольку в высокотемпературном приближении электронный газ больцмановский, статистическаясумма факторизуется, и достаточно вычислить её для одной частицы в поле ℬ.
Парамагнетизмсвязан с наличием у электрона собственного магнитного момента , так что его энергия в поле есть ± ℬ. Вводя для удобства = ℬ/ , получаем(︀ в )︀расчете на один электрон= ln 2ch = th. = exp − + exp = 2ch, = − ln = − ln 2ch, = − ℬВ нулевом поле температура «размешивает» моменты по направлениям, и магнитный момент отсутствует. При небольших полях наведённый магнитный момент линеен по полю, и удобно ввестивосприимчивость (в расчете на одну частицу) = ℬ. При дальнейшем увеличении поля происходит «насыщение» магнитного момента, когда все магнитные моменты (спины) электронов выстраиваются по (против) поля.
Для этого необходимо, чтобы зеемановская энергия была много большетемпературы ℬ ≫ . Всё вышеизложенное легко обобщается на случай частиц с любым спином. Тогда статистическая сумма будет содержать не два, а 2 + 1 слагаемых и, вместо гиперболического тангенса, получится функция Бриллюэна)︀(︀ = 1)︀ B1(), где = ℬ/ , - фактор(︀1cth 1 + 2 − 2 cth 2 имеет следующие асимптотиЛанде, а функция Бриллюэна B () = 1 + 2ки.
Она линейна при малых ≪ 1 и переходит в функцию Ланжевена L() при больших ≫ 1.B () = +1 + ... при ≪ 1, B∞ = cth − 1 ≡ L() при ≫ 1. Для магнитных восприимчивостей32 2 (+1),32кл,3где 2кл = 2 2 2 - магнитный момент атома в классическом(︀ )︀2пределе. Например, для электронов пара = m= TB . Эта зависимость ∝ −1 называетсяℬ B=0законом Кюри, который показывает, что в классическом пределе ≫ выр магнетизм исчезает вполном соответствии с теоремой Бора – ван Леевен.получается =∞ =26. Диамагнетизм Ландау.Кроме положительной парамагнитной, существует еще отрицательная диамагнитная восприимчивость. Диамагнетизм возникает из-за дискретности уровней Ландау энергии электронов = ~( + 1/2) с кратностью вырождения = ℬ/Φ0 .
Здесь ~ = 2 ℬ - циклотронная частота, а Φ0 = 2~/ - квант потока, так что кратность вырождения уровня Ландау – это просто число квантов потока Φ/Φ0 , проходящего через створ образца. Тогда одночастичная статсумма∞(︀)︀)︀(︀∑︀~, где учтено, что = 2= ℬ . Далее, = − ln = − ln sh+ ..., + 12 = 2sh = exp − ~=0(︀ )︀)︀(︀ = − ℬ = ln = − cth − 1 – функция Ланжевена, а диамагнитная восприим(︀ m )︀ sh2Bчивость диа = ℬ B=0 = − 3T- в три раза меньше парамагнитной. Таким образом, в целом электронный газ парамагнитен. Откуда берутся уровни Ландау, и почему у них такая кратность вырождения? Уровни энергии заряженной частицы в однородном магнитном поле ℬ в точности такие жекак у гармонического осциллятора. «Упругая пружинка» у однородного магнитного поля запрятанав векторном потенциале A = (0,ℬ,0).
После его подстановки в удлинённые производные у гамильто (︀)︀∑︀1p − A(r ) + (r) и появляется квадратичный потенциал. А вырожденностьниана (r,p) = 2=1уровней Ландау связана с сохранением общего числа одночастичных состояний при включении поля. Без поля одночастичные состояния на плоскости поперечного импульса расположены «густым»,квадратно-гнездовым образом, с площадью клетки импульса (2~)2 /2 . После включения поля уровням Ландау соответствуют круги, идущие «редко», через равную площадь импульса 2~ℬ/.
Этозначит, что к каждому кругу относится одно и то же число состояний , равное отношению потокачерез образец Φ = ℬ2 к кванту потока Φ0 = 2~/ = 4 · 10−7 Гс · см2 .3827. Эффект де Гааза – ван Альфена (на примере двумерного электронного газа).Если зеемановская энергия становится больше температуры < ℬ ≪ , то магнитное поле называют «квантующим». В этих условиях становится существенной дискретность уровней Ландау,что приводит к появлению у намагниченности электронного газа осциллирующей части.Амплитуда этих осцилляций не мала, а «шаг» осцилляций по обратному полю доставляет ценнуюинформацию о свойствах ферми-поверхности.
Поэтому эффект заслужил имя собственное. Для того,чтобы оценить амплитуду и «шаг» по полю осцилляций де Гааза – ван Альфена, рассмотрим самыйпростой случай: двумерный электронный газ при нулевой температуре ( = 2, = 0). Тогда в поле электронов газа распределены по уровням Ландау следующим образом.
На уровнях 0,1,2,...,«сидит» по электронов, а на последнем + 1-м уровне – оставшиеся − ( + 1) штук. Таким< ℬ1 < (+2), где ℬ0 = 2Φ0 , будет распределение в интервале значений приложенного поля (+1)ℬ0ℬ0– кратность вырождения уровня Ландау с учетом спина. Вычислим- площадь образца, = 2Φ0(︀)︀(︀)︀∑︀энергию основного состояния газа при = 0: = ~ + 21 + ~ + 32 ( − ( + 1)) ==0[︂]︂(︁ )︁2(︀)︀(︀)︀2 ℬℬ0 + 23 − ℬℬ0 ( + 1) 2 + 1 .
Магнитный момент = −/ℬ основного состояния[︁]︁~· ( + 1)( + 2) ℬℬ0 − − 32 , в интервале полейэлектронного газа при нулевой температуре: = +1 < ℬℬ0 < +2. При изменении магнитного поля последний уровень Ландау постепенно заполняется, пока число скачком не увеличится на единицу. В следующем же → + 1 интервале обратныхполей зависимость точно такая же. Таким образом, магнитный момент осциллирует в интервале= . Физический смысл осцилляций± с постоянным по обратному полю шагом ℬ10 = ~намагниченности связан с периодическим заполнением и освобождением последнего посчёту заполненного уровня Ландау. Чтобы эти осцилляции были выражены и не «размывались»температурными эффектами, необходимо, чтобы поле было квантующим ≪ ℬ, а электронныйгаз – вырожденным ℬ ≪ .3928.
Спиновые волны в модели Гейзенберга. Теплоемкость ( ) и намагниченностьℳ( ) магнонов.ˆ = − ∑︀ ℬ ˆ − 1 ∑︀ ˆ ˆ для исследования спектра спиПрименим гамильтониан Гейзенберга 2̸=новых волн. Впервые получил его и исследовал вклад магнонов (квантов спиновых волн) в ТДи магнитные св-ва ферромагнетиков Феликс Блох (1930). Он понял, что раз спины выстроены вфалангу, и их отклонения от среднего малы, то обменное взаимодействие может сыграть роль «пружинок». Тогда «рябь» колыхания спиновых стрелок может бежать по кристаллу в виде гармонической волны. Проверим это предположение прямым расчётом.
Разделим спины атомов на продольный (вдоль спонтанной намагниченности и внешнего поля, направленного по оси ˆ ) и поперечный.ˆ± = ˆ ± ˆ , [ˆ ,ˆ± ] = ± ˆ± , [ˆ+ ,ˆ− ] = 2 ˆ . Тогда гамильтониан Гейзенберга запишетсяˆ = − ∑︀ ℬ ˆ − 1 ∑︀ (ˆ ˆ + ˆ+ ˆ− ). Уравнения движение оператора спина ˆ+ именикак: 2того же Гейзенберга̸= ^+~ +ˆ в нашем случае дают ~ ^ = ℬ ˆ+ + ∑︀ (ˆ ˆ+ − ˆ+ ˆ ).= [ˆ+ ,] ̸=Полученная система уравнений нелинейна и не имеет волновых решений. Ситуацию спасает самосогласованное поле. Уравнения допускают линеаризацию при ≪ , когда все спины практиче+ˆ и мы получаем ~ ^ =ски параллельны оси ˆ, а поперечные флуктуации малы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
