Экзамен (LaTex) (1183685), страница 4
Текст из файла (страница 4)
√︂(︁ 2 )︁2´∞ 42 ()() = 2 2 + 2. * = - величина импульса, при которой спектр. = ()30(2~) (exp−1)*переходит от линейного к квадратичному → ≃ 2 .⎛ˆ*=⎝3 +()/−1ˆ∞4⎞2 /2 ⎠ 44 ⎝ 4={=,=}=122(2~)3 32 /2 − 1 (2~)3*0⎛*ˆ /31 1+1 − 10⎞* 2 /2 ≫ 1∞ˆ* 3/24 ˆ3442 2 ⎟3 ∞⎟=+ (2 ) 2=(4) 4 → ∝ 32 2 − 1 ⎠ (2~)3 3 − 1 2 ~3 3* /20(Второе условие из условия задачи выражает слабую неидеальность бозе-газа (слабая неидеальностьозначает короткий радиус взаимодействия между частицами) ).1741.
Вычислите величину магнитного потока Ф через абрикосовский вихрь. Получитевыражение для кванта магнитного потока Ф0 и вычислите его значение. Воспользуйтесьвыражением для плотности всерхпроводящеготока )︁ .(︁||2Φ0⃗ . Рассмотрим сверхпроводник с полоВычислим поток следующим образом. = 42 2 ∇ − стью. Поток создается сверхпроводящими токами по внутренней поверхности полости.¸ Контур´ на2ходится на глубине ≫ , а значит || = 1, = 0. Тогда с учетом = rot, Φ = = ,´∇ = 2 получимˆ2⎛⃗ = 0 = || ⎝ Φ0⃗42 2ˆˆ∇ −⎞⃗ ⃗⎠ ⇒ Φ0 2 = Φ ⇒ Φ = Φ0 2А что такое Φ0 и откуда оно взялось? Это второй вопрос задачи.
Вспомним что изначально второе⃗ = 4 ⃗ , = − ~ (Ψ* ∇Ψ − Ψ∇Ψ* ) − 22 |Ψ|2 .⃗уравнение Гинзбурга-Ландау выглядело так: ∇ × ∇ × 22 , Ψ/Ψ0 = = ||2 , |Ψ0 |2 =Мы ввели Лондоновскую глубину проникновения как 2 = 82 |(− )|)⃗ + ||2 ⃗ = Φ0 ||2 ∇ ⇒ Φ0 =− ( −. Тогда мы подставили это в уравнение и пришли к 2 ∇ × ∇ × 2~= 2 · 10−7 Гс · см−2 .42. Получите критерий применимости теории Гинзбурга-Ландау. Выразите число для сверхпроводника через температуру перехода И энергию Ферми .2ГинзбургаПараметр = 3 . Откуда он берется[︂ и для чего нужен? В теории сверхпроводимости⃒⃒2 ]︂´1 ⃒⃗ ⃒⃒ . В общем виде разЛандау есть функционал Ω = Ω0 +||2 + 2 ||4 + 4⃒−~∇ − 2 ]︀´ [︀ложение по параметру порядка выглядит следующим образом Ω = Ω0 + 2 + 2 4 + (∇)2 . = − .
Но теория разложения применима не всегда. Если рассмотреть параметр порядка, то онвыходит из по корневой зависимости, а флуктуация 2 как степень 1/4. Левее определенной точки( ) параметр порядка больше флуктуации, т.е. шум меньше предсказанной величины, теория применима.
Однако вблизи это выполняется наоборот и функционал неверен. Тогда просто введем отношение величины флуктуации к области, где теория верна, тогда если эта величина ( ≪ ||/ ≪ 1)много меньше 1, теория верна. Если же ∼ 1теория уже не прменима. (речь идет конечно о теориисреднего поля Ландау, она не применима для сверхтекучего гелия). Теперь нам нужно выразить через и . По сути, мы должны связать Г-Л и БКШ - две теории о сверхпроводимости. В БКШпри = 0 ∆ ∼ .
Нам нужно найти коэффициенты ,,. Глядя на функционалы, сразу можно ска~). Теперь найдем и . В Г-Л |Ψ0 |2 = /2, |Ψ0 |2 = − ( −→ = 2 . (При = 0зать, что ≈ 422~~ = ). 2 = 4|≈ 4- харрактерный масштаб исчезновения сверхпроводимости. В БКШ− |это характерный масштаб куперовской пары. Исходя из простыхдля куперовской пары⃒ 2 соображений⃒⃒2 ⃒~существует размытие по импульсам - ≈ ~, = − .
⃒ 2 − 2 ⃒ ≈ ∆ ≈ . ≈ → ≈ . 2Осталось связать плотность, энергию и скорость Ферми, ну тут все просто ≈ ~ 2/3 , 2 = .(︁ )︁4Подставив все мы получим ≈ . Если учесть, что ∼ 10, ∼ 50000 → ∼ 10−12 ≪ 1- идеально применимо.18Вопросы1. Принцип энтропии и основной термодинамический якобиан.Принцип энтропии: Энтропия является термодинамической величиной, однозначной функциейсостояния системы.Отсюда сразу следуют важные выводы. Равновесная энтропия, являясь термодинамической величиной замкнутой системы, есть однозначная функция ,, или, наоборот, = (,, ). Значит: + + . Причем является полным дифференциалом.
Учитывая = ; = = − ; = , получаем «первое начало термодинамики»: dE = TdS − PdV + dN. Этоосновное термодинамическое равенство, оно связывает малые изменения аддитивной термодинамической величины при переходе от одного равновесного состояния к другому. По сути, в эксперименте это переданное системе тепло . Таким образом, закон сохранения энергии (I началоТД) задает механический эквивалент тепла 1кал = 4.2 Дж.
Отсюда же следует «основной тер= ,модинамический якобиан». Поскольку в I начале ТД все дифференциалы полные, то (︀ )︀(︀ )︀22− = → = ; − = или, представляя частные производные в виде якобианов (T,S) = (P,V). Это основное термодинамическое тождество. Оно помогает легко производитьпреобразования термодинамических величин.2. Принцип возрастания энтропии и минимальности ТД потенциалов и Ω.Принцип максимальности энтропии: Энтропия неравновесной, замкнутой системы с течением времени монотонно возрастает в процессе её релаксации к равновесию и достигает максимального значения при наступлении равновесия.То, что достигается максимум, а не минимум имеет глубокий физический смысл, связанный с понятием информации.
По мере приближения к равновесию система становится все более неупорядоченнойи теряет информацию, имеющую обратный знак по отношению к энтропии. В термодинамике принята следующая терминология. Равновесные (≡ обратимые) процессы в замкнутой системе протекаютбез изменения энтропии, квазистатически. Необратимые (≡ неравновесные) процессы сопровождаются существенным ростом энтропии.Важное следствие возрастания энтропии связано с введением понятия термостата.
Экспериментальную ситуацию далеко не всегда удобно представлять себе, как изолированную термодинамическуюсистему. Гораздо естественнее и удобнее мыслить себе систему как хотя и макроскопическую, номалую часть большего термостата, задающего температуру .
Для того, что бы разобраться с этимслучаем, придумали следующий прием: пусть исследуемая система «без индекса» находится в состоянии частичного (по каким – либо внутренним параметрам Λ) равновесия и помещено в большойтермостат «с индексом ». Этот прием в сущности совершенно аналогичен «дополнению до универсума», применяемого в теории вероятностей. Всю же систему в целом «с индексом П» можно легкопредставить себе замкнутой так, что полная энергия П , объем П , число частиц П не изменяются в процессе релаксации исследуемой системы к равновесию.
Тогда энтропия полной системыП = + (П − ,П − , П − ,Λ) в процессе установления равновесия может лишь возрастать∆П ≥ 0, так что ∆П = ∆ − 1 ∆ − ∆ + ∆ ≥ 0. Термостат « » так велик, что в процессе релаксации к равновесию его температура, давление и химический потенциал практически неизменяются и играют роль внешних условий для нашей исследуемой системы. Поэтому индекс « »можно просто опустить −TΔS + ΔE + PΔV − ΔN ≤ 0.Рассмотрим некоторые частные случаи. Если постоянны T,V,N = const, то Δ(E − TS) ≡ ΔF ≤ 0,если T,N, = const, то Δ(F − N) ≡ ΔΩ ≤ 0, (если ,, = , то ∆( + ) ≡ ∆Φ ≤ 0).Таким образом, при установлении равновесия минимизируется, в зависимости от заданных условий, один из термодинамических потенциалов: внутренняя энергия (,, ), свободная энергия (,, ),(потенциал Гиббса Φ(,, )) и омега-потенциал Ω(,,).
Именно в силу стремления кминимуму, эти величины получили названия потенциалов.193. Принцип возрастания энтропии и условия термодинамического равновесия. Равновесие во внешнем поле.Принцип максимальности энтропии: Энтропия неравновесной, замкнутой системы с течением времени монотонно возрастает в процессе её релаксации к равновесию и достигает максимального значения при наступлении равновесия.То, что достигается максимум, а не минимум имеет глубокий физический смысл, связанный с понятием информации.
По мере приближения к равновесию система становится все более неупорядоченнойи теряет информацию, имеющую обратный знак по отношению к энтропии. В термодинамике принята следующая терминология. Равновесные (≡ обратимые) процессы в замкнутой системе протекаютбез изменения энтропии, квазистатически. Необратимые (≡ неравновесные) процессы сопровождаются существенным ростом энтропии.В качестве конкретного примера, рассмотрим необратимый процесс установления равновесия в замкнутой системе, состоящей из двух подсистем. Энтропия всей системы складывается из энтропиипервой ′ и второй ′′ подсистем. Каждая из них представляет собой однокомпонентную однофазнуюсистему с переменной энергией, объемом и числом частиц, так что: ′ ∆ ′ = ∆ ′ + ′ ∆ ′ − ′ ∆ ′ , ′ ∆ ′′ = ∆ ′′ + ′′ ∆ ′′ − ′′ ∆ ′′ .
Тогда изменение полной энтропии системы в процессе релаксации,в соответствии с принципом возрастания энтропии, положительно ∆ ′ + ∆ ′′ ≥ 0. На изменениеостальных величин, в силу замкнутости системы наложены связи: ∆ ′ + ∆ ′′ = 0, ∆ ′ + ∆ ′′ = 0и ∆ ′ + ∆ ′′ = 0. Складывая уравнения, получаем:)︂(︂ ′)︂(︂ ′)︂(︂1 ′′′′1′′−∆ +− ′′ ∆ −−∆ ′ ≥ 0 ′ ′′′ ′ ′′Это значит, что, при прочих равных условиях, тепло перетекает от горячего тела к холодному, граница раздела подсистем выдавливается в область низкого давления, а частицы перетекают в областьнизкого химпотенциала. Когда равновесие наступит, эти величины выровняются (но не может наступить равновесие при контакте тел с температурой разного знака). В равновесии полная энтропиядостигает максимума ΔS = 0 и формула обращается в ноль. Отсюда, вследствие независимостивариаций энергии, объёма и числа частиц одной из подсистем, получаем частные условия фазового равновесия однокомпонентной системы T′ = T′′ , P′ = P′′ , ′ = ′′ , по температуре (термическое), давлению (механическое) и химпотенциалу (химическое равновесие).
Эти три условия можнозаписать в виде одного – равенства химпотенциалов фаз при одинаковых температуре и давлении:′ (, ) = ′′ (, ). Это значит, что при равновесии двух фаз одного и того же вещества давлениеявляется функцией температуры. Разумеется, полученные условия равновесия справедливы при любом количестве компонент и фаз.А если система еще и неоднородна (находится в поле внешних сил), то в ней постоянна температура, а давление и химический потенциал являются функциями координат.
При этом энергиякаждой частицы увеличится на (⃗), то есть в к химическому потенциалу следует добавить потенциальную энергию частицы во внешнем поле: (P,T) + U(r) = const.204. Принцип возрастания энтропии и термодинамическая устойчивость вещества. Термодинамические неравенства.Принцип максимальности энтропии: Энтропия неравновесной, замкнутой системы с течением времени монотонно возрастает в процессе её релаксации к равновесию и достигает максимального значения при наступлении равновесия.
Равновесные (≡ обратимые)процессы в замкнутой системе протекают без изменения энтропии, квазистатически. Необратимые(≡ неравновесные) процессы сопровождаются существенным ростом энтропии.Термодинамическая (как и механическая) система при наложенных идеальных связях находится вравновесии, если сумма работ всех обобщенных сил при любых виртуальных перемещениях системы, допускаемых наложенными связями, равна нулю. Теперь получим условия устойчивости термодинамической системы, которые являются «основными термодинамическими неравенствами». Впроцессе установления равновесия энтропия полной системы возрастает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
