Экзамен (LaTex) (1183685), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Зависимость химического потенциала идеального ферми- и бозе-газа от температуры. Рассмотрим сначала высокотемпературный предел ≫ выр . Вычислим хим. потенциал,который всегда определяется условием на полное число частиц. С учетом «правила суммирова´∞∑︀()ния» = =. Воспользовавшись выражением для плотности числа состояexp ((−)/ )∓1ний () = 0√, =(2+1)3/2√,2 2 ~3получаем: =´∞0√ .exp (−)/ ∓1При высоких температурах чис-ла заполнения малы, и величина ∓1 в знаменателе значительно меньше экспоненты. Это позво´∞ляет получить разложение: = · 3/2 · 1/2 − (1 ± − + ...).
Первый интеграл раз0(︂ ∞(︁)︁2/3 )︂√´ √ −12 = 2 ! = 2 ; выр = √, в главном приближении полуложения легко берётся.0(︁)︁3/2вырчаем =. Эту величину часто называют активностью или фугативностью. Для хим2потенциала получаем = ln √∝ − ln . (Примечат-й результат: хим. потенциал иде 3/2ального больцман.
газа – большое по абсолютной величине отрицательное число. Это значит, чтососуд с больцман. газом весьма охотно, с выделением энергии, всасывает еще одну + 1 частицу.) В низкотемпературном пределе рассматриваем случаи ФД и БЭ отдельно. Начнем с ФД. Намнужно определить отклонение от «ступеньки» для вырожденного ферми-газа.
Это отличие малов меру малости / . Отличие от «ступеньки» приводит для любой функции () к разложению:´∞´2 ()= () + 6 2 ′ () + .... Происхождение поправочного члена легко понять, изобexp (−)/ +100разив графически разность функции распределения Ферми – Дирака и ступеньки. Действительно)︂ ∞(︂ ∞/´´∞´ (+ )´ (− ) ()1−()=−. Поскольку мы ищем разложение при маexp (−)/ +1 +1 +10000лых ≪ , то верхний предел интегрирования можно заменитьна ∞,)︂ а подынтегральную функцию(︂ ∞´ ´∞ √2и =разложить в ряд. Это и даст нам искомую поправку.=.= +112(−)/ +100[︂]︂(︁ )︁2´∞ √322 (−)/ +1 при ≪ выр .
Подстав в них разложение, получим: = 3 2 1 + 8 + ... ,0[︂]︂(︁ )︁25225 = 5 2 1 + 8 + ... , обращая которые методом итераций, получаем температурную]︂[︂(︁ )︁2T2зависимость химического потенциала: (T) = F 1 − 12 F + ... . Низкотемп-я термодинамика бозе-газа определяется способностью бозонов скапливаться в низколежащих одночастичныхсостояниях в больших количествах. Это приводит к явлению бозе-конденсации. Из распределенияБозе видно, что (0) = 0, иначе на уровне = 0 число частиц станет отрицательным. По тойже причине ясно, что ( ) < 0.
Кроме того, дифференцируя уравнение, неявно задающее зависи√´∞по температуре, получаем,мость химического потенциала от температуры = exp (−)/−10(︀ )︀что < 0. Получается, кривая ( ) подходя «снизу» к оси температур, может «уткнуться» в неё∞√3 ´не в нуле, а при конечной выр . Проверим это. Полагая = 0, = выр , получаем = 2 .−10Численно безразмерный интеграл равен 2.315, для температуры (темп.
бозе-конденсации) получаем(︀ )︀2/3(︀ )︀2/3~2выр = (2.315 · )−2/3 ∼.2 3320. Идеальный ферми-газ. Уравнение состояния и основные термодинамические величины.Сначала установим важное соотношение между энергией и Ω-потенциалом. Запишем выражения дляΩ = − и :ˆ∞ = (︁ln 1 + 0−ˆ∞ √)︁√ (2 + 1)3/2;= √ ; = −2 2 ~3 +10∑︀),Оба этих соотношения получаются из полученных ранее выражений Ω = −ln (1 + exp −∑︀ = . Если первый интеграл взять по частям, то получится второй интеграл → = 32 .(ДОПИНФА:Эта формула имеет универсальный характер и годится для любых температур. Численный множитель в ней зависит от закона дисперсии частиц ∝ и размерности пространства(объём сферического слоя ∝ −1 , так что в общем случае получим = .Например, дляультрарелятивистского идеального газа (любой статистики) получаем = /3.).
Вырожденныйферми-газ ( ≪ выр ) ведут себя очень по-разному, поэтому удобно рассматривать их низкотемпературную термодинамику отдельно. Рассмотрим сначала ферми-газ. Запишем, как и ранее, выражения´∞ √´∞ √,=. Низкотемпературныедля полного числа частиц и энергии: = exp −+1exp − +100свойства фермионов определяются тем, что при = 0 сфера Ферми заполнена, а при увеличениитемпературы заполненность состояний изменяются в узком слое ширины ∼ около поверхностиФерми. При ≪ выр функция распределения Ферми – Дирака имеет вид резко выраженной «ступеньки», так что, полагая = (0), получаем242 = 3/2 (0) ; = 5/2 (0) ; = 5/2 (0)3515Химический потенциал фермионов при = 0 принято называть энергией Ферми (0) = .
Она(︀ 2 )︀2/3 для эл-в ~2 (︀ 2 )︀3/2и является температурой вырождения. = 3= 2 3 , 0 = 53 , 0 = 25 .Принцип Паули запрещает фермионам тесно рассаживаться по квантовым состояниям. Это приводитк возникновению огромного давления даже у вырожденного идеального ферми-газа, практическипри нулевой температуре.3421. Идеальный бозе-газ. Уравнение состояния и основные термодинамические величины.Сначала установим важное соотношение между энергией и Ω-потенциалом. Запишем выражения дляΩ = − и :ˆ∞ = − (︁ln 1 − −)︁√ˆ∞ ; = 00√ −−1;=(2 + 1)3/2√2 2 ~3∑︀),Оба этих соотношения получаются из полученных ранее выражений Ω = −ln (1 + exp −∑︀ = .
Если первый интеграл взять по частям, то получится второй интеграл → = 32 .(ДОПИНФА:Эта формула имеет универсальный характер и годится для любых температур. Численный множитель в ней зависит от закона дисперсии частиц ∝ и размерности пространства(объём сферического слоя ∝ −1 , так что в общем случае получим = .Например, дляультрарелятивистского идеального газа (любой статистики) получаем = /3.).Низкотемпературная ТД бозе-газа определяется способностью бозонов скапливаться в низколежащих одночастичных состояниях в больших количествах - приводит к явлению бозе-конденсации.Из распределения Бозе: (0) = 0 (иначе на уровне = 0 число частиц станет отрицательным)√´∞- продиффиринцируем по ⇒ < 0.
Кривая ( ) утыкается⇒ ( ) < 0. = exp (/)−10в = 0 не в нуле, а при конечной . Проверим это: положим = 0; = ⇒ = 3/2´∞ √0 −1(безразм-й инт-л=2.315). Получаем температуру Бозе конденсации(температура вырождения иде(︀ )︀2/3(︀ )︀2/3~2∼ 2, для < остается ( ) = 0. Повторяяального бозе-газа): = (2.315)−2/3 3/2рассуждения: = ( / ) ! Осталось учесть следующее. Всё дело в том, как мы заменяем сум´∞∑︀му по одночастичным состояниям на интеграл...
= ¯ 0 + ...()(). В обычной ситуации на0уровне = 0 сидит «дифференциально» малое число частиц.уровне скапливается(︂ Тут(︁ на)︁нулевом)︂3/2макроскопически большое число частиц 0 = ¯ 0 ⇒ 0 = 1 − - при = 0 все частицы´∞ 3/2 газа находятся в конденсате. Вычисляем энергию: 0 = 0 при = 0 - = 5/2 −1(безразм-й0(︁ )︁5/2(︁ )︁3/2инт-л=1.78). ≈ 0.77 ⇒ = ≈1.92∝ 3/2 . А давление ≈ 1.15 5/2 ниже температуры бозе-конденсации не зависит от объёма(изотермы бозе-газа содержат характерные «полки» при низких температурах).´∞ √(ДОПИНФА: Возможность Бозе-Конденсации: Безразмерный интеграл = 3/2 сходится−10только для трёхмерного случая = 3. В случаях = 1,2 интеграл расходится, а = 0.)3522. Теплоемкость фононов и фотонов при низких температурах.´∞ 2 2 ~∑︀Энергия фотонного газа =.
Внутри интеграла легко угады~ =2 2 3 exp ~ −1⃗,2поляр-ии0вается распределение Планка, обеспечивающее отсутствие ультрафиолетовой катастрофы. Обез∞´∞ 3 3 4 ´. Можем вычислить безразмерный интеграл: −1=размеривая его, получаем: = 2 ~3 3 −1´∞0∞∞ ´∑︀3 − (1 + − + −2 + ...) ==1 003 − =´∞ 3 − 0∞∑︀=10144= 3! 90 =415.Возвращаясь к энергии равновесного фотонного газа, который ещё называют тепловым (чёрным)излучением или излучением абсолютно чёрного тела, получаем = 4 4 , CV = 16VT3 ∝ T3 ,c4где = 2 /60~3 2 – только что вычисленная нами «из первых принципов» постоянная СтефанаБольцмана.У звука есть две поперечные моды и одна продольная (так как мы рассматриваем низкие температуры, то ограничимся только акустическими модами, (︁фонон -)︁квазичастица, квант колебаний1 2 + 23 , которую для краткости будемрешетки), так что плотность числа состояний () = 2232записывать как () = 23 2, введя эффективную скорость звука: 33 = 23 + 13 .
Поскольку фоно3ны являются возбуждениями не пустого пространства, а коллективными колебаниями «пустого»кристалла, состоящего из атомов, существует важное отличие в их одночастичных состояниях от фотонов. В k-пространстве фононные состояния занимают только конечную сферу Дебая срадиусом . Действительно, число степеней свободы кристалла 3 , значит столько же «точек»´- одночастичных состояний должно быть в сфере Дебая: 232 3 2 = 3 , где частота Дебая0(︁ 2 )︁1/36 есть = = . Физический смысл этого ограничения ясен: длина волны фонона неможет быть меньше постоянной решётки , а его частота, соответственно, должна быть меньше∼ .
Тогда энергия фононного идеального газа в этом приближении равнадебаевской ≤ 2Θ´∞ 3 2 ~´ / 3 3 4 = 22 3 exp ~ −1 = 22 3 ~3. Энергия существенно зависит от величины температуры −100Дебая Θ = ~ . При низких температурах ≪ Θ верхний предел интегрированияза)︁3(︁ можноT12 4менить на ∞, и фононный газ ведёт себя как тепловое излучение: Cv = 5 N ΘD ∝ T3 .3623. Теплоемкость электронов металла при низких температурах .Чтобы вычислить теплоёмкость вырожденного ферми-газа (электроны металла представляют собойкак раз фермионы), нужно «поймать» отличие функции распределения функции распределения Ферми – Дирака от «ступеньки».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
