Главная » Просмотр файлов » Экзамен (LaTex)

Экзамен (LaTex) (1183685), страница 5

Файл №1183685 Экзамен (LaTex) (Экзамен (LaTex)) 5 страницаЭкзамен (LaTex) (1183685) страница 52020-08-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

В применении к исследуемой нами системе, это означает экстремальность соответствующего термодинамического потенциала. Например, для замкнутой системы получаем ∆ < 0 или = 0 и ∆2 < 0. Для системыв термостате ∆ > 0 или = 0 и ∆2 > 0 и т.д. Это означает, что если обратить время, ирассмотреть процесс отклонения тех же величин от равновесия, то получим обратное неравенство∆ + ∆ − ∆ − ∆ ≥ 0.Такие микронарушения принципа возрастания энтропии могут в действительности иметь место, например, при термодинамических флуктуациях.

Поскольку это неравенство соответствует отклонению от равновесия, то линейных по отклонениям слагаемых в нембыть не должно. А квадратичные по отклонениям слагаемые проще всего выделить так. Изменениелюбой функции ∆ = ′ ∆ + ′′ ∆2 /2 + ... можно представить как ∆ = ∆ + ∆∆/2 + ..., где = ′ . В нашем случае = , = (,, ), а ′ = (, − ,). Сумма линейных по отклонениямслагаемых ∆ − ∆ в равновесии обращается в ноль (I начало ТД), а для квадратичных получаем ΔTΔS − ΔPΔV + ΔΔN ≥ 0.

Положительная определенность квадратичной формыявляется необходимым и достаточным условием устойчивости нашей термодинамической системы. Отдельные же необходимые условия (термодинамические неравенства) можно получить из данного неравенства(︀ )︀ конкретным выбором пар независимых переменных. Например, при = = , получаем < 0. А при = = получаем > 0. Эти условия устойчивости имеют прозрачный физический смысл. Первое означает, что в устойчивом состоянии системадолжна «пружинить» - уменьшение объема приводит к повышению внутреннего давления (механическая устойчивость). Второе означает, что при повышении температуры тела его энергия также возрастает.

Возникает поток тепла в окружающую среду, парирующий это повышение (тепловая устойчивость). Важно подчеркнуть, что аналогичное термодинамическое неравенство (/ ), > 0,связанное с изменением числа частиц при = = не доставляет нам новой информации обустойчивости. ((/ ), = −(/ ), ( / )2 > 0 → (/ ), < 0).215. Термодинамические потенциалы в магнитном поле. «Теорема о малых добавках».Существуют различные внешние параметры , которые следует учитывать при исследовании системы. Ранее мы учитывали только температуру, давление и химический потенциал. Часто присутствуют еще и магнитное,(︀ электрическоеполя, гравитация и т.д.

Тогда I начало ТД примет вид)︀ = − + + . Величину обобщённой силы (/) = Λ в этом случае (замкнутая система, = ) поможет вычислить соотношение Гельманна – Фейнмана для чистогоˆсостояния системы / = ( /) . В статистической физике его ещё нужно усреднить поˆˆансамблю ⟨ ⟩/ = ⟨( /) ⟩ = ⟨⟨ /⟩⟩.Здесь двойные скобки напоминают, что это и кван⃗ притовомеханическое среднее и среднее по ансамблю. В случае внешнего магнитного поля = ℋ,ˆ = ... − ∑︀ ⃗ложенного вдоль вытянутого образца, добавка к гамильтониану системы есть сумма ⃗ ℋˆ ℋ⟩⟩⃗ = −⟨∑︀ ⃗ и к энергии допо дипольным моментам всех частиц системы.

Тогда ⟨⟨ /⃗ ⟩ = −ℳ,бавляется величина −ℳ · dℋ. Видно, что эта же добавка возникнет и во всех термодинамическихпотенциалах - это и выражает теорему о малых добавках:)︂(︂)︂(︂)︂(︂)︂(︂ΦΩ⃗==== −ℳ⃗ ,,⃗ ,,⃗ ,,⃗ ,,ℋℋℋℋ6. Термодинамические потенциалы при переменном числе частиц. Химический потенциал , потенциал Гиббса Φ. = - химический потенциал - величина, определяющая изменение энергии системы при добавлении одной частицы вещества.

= − + - I начало ТД. Запишем ТД потенциалы при переменном числе частиц: − + − − = − − + . = − → = − − = − − = − − − .Ω = − → Ω = − − + Φ = + → Φ = − − + + + = − + + .227. Условия равновесия фаз. Фазовые переходы первого и второго рода. Рассмотримнеобратимый процесс установления равновесия в замкнутой системе, состоящей из двух подсистем.Энтропия всей системы складывается из энтропии первой ′ и второй ′′ подсистем. Каждая изних представляет собой однокомпонентную однофазную систему с переменной энергией, объемом ичислом частиц, так что: ′ ∆ ′ = ∆ ′ + ′ ∆ ′ − ′ ∆ ′ , ′ ∆ ′′ = ∆ ′′ + ′′ ∆ ′′ − ′′ ∆ ′′ .

Тогдаизменение полной энтропии системы в процессе релаксации, в соответствии с принципом возрастанияэнтропии, положительно ∆ ′ + ∆ ′′ ≥ 0. На изменение остальных величин, в силу замкнутостисистемы наложены связи: ∆ ′ + ∆ ′′ = 0, ∆ ′ + ∆ ′′ = 0 и ∆ ′ + ∆ ′′ = 0. Складывая уравнения,получаем:)︂(︂ ′)︂(︂ ′)︂(︂11 ′′′′′′− ′′ ∆ +− ′′ ∆ −− ′′ ∆ ′ ≥ 0′′′Это значит, что, при прочих равных условиях, тепло перетекает от горячего тела к холодному, граница раздела подсистем выдавливается в область низкого давления, а частицы перетекают в областьнизкого химпотенциала. Когда равновесие наступит, эти величины выровняются (но не может наступить равновесие при контакте тел с температурой разного знака). В равновесии полная энтропиядостигает максимума ΔS = 0 и формула обращается в ноль. Отсюда, вследствие независимостивариаций энергии, объёма и числа частиц одной из подсистем, получаем частные условия фазового равновесия однокомпонентной системы T′ = T′′ , P′ = P′′ , ′ = ′′ , по температуре (термическое), давлению (механическое) и химпотенциалу (химическое равновесие).

Эти три условия можнозаписать в виде одного – равенства химпотенциалов фаз при одинаковых температуре и давлении:′ (, ) = ′′ (, ). Это значит, что при равновесии двух фаз одного и того же вещества давлениеявляется функцией температуры. Разумеется, полученные условия равновесия справедливы при любом количестве компонент и фаз.Поговорим теперь про фазовые переходы. Они бывают I и II рода. Для ФП I рода характерно:скачок первой производной хим потенциала, а именно: объем, внутренняя энергия, концентрация,энтопия.

(пример: плавление, кипение и т.п.). Для ФП II рода характерно: скачок второй производной хим потенциала, а именно, меняются: теплоёмкость, коэффициент теплового расширения,различные восприимчивости. (пример: ферромагнетизм, сверхпроводимость, сверхтекучесть).Фазовые переходы 2 рода сопровождаются изменением симметрии системы (для описания вводитсяпараметр порядка )238. Эргодическая гипотеза.

Метод ансамблей Гиббса.Изображающая точка системы (⃗,⃗) бегает по 6 -мерному пространству. Размерность этого пространства безумно высока, поэтому задача вычисления средних по времени ⟨(⃗,⃗)⟩врем представляется совершенно безнадежной. Однако, Гиббс придумал способ, как обойти эту трудность. Вообразим себе, что существует огромное число копий нашей системы, идентичных исходнойпо внешним макроскопическим условиям, но с немного варьирующимися начальнымиусловиями. Это и есть ансамбль Гиббса.

Ансамбль (фр. «вместе») состоит из большого числаодинаковым образом «устроенных» копий нашей системы. Тогда в 6 -мерном фазовом пространстве возникает «марево» изображающих эти копии точек и их облако будет как-то упорядоченнораспределено по пространству. Возникает надежда из физических соображений определить плотность этого облака точек, которая, будет пропорциональна плотности вероятности (⃗,⃗) найти´ нашу⃗⃗.Нормировка = 1систему в данном элементе фазового пространства ⃗⃗: = (⃗,⃗) (2~)3 !выбрана так, чтобы , по определению, была бы равна вероятности системе находится в квантовомсостоянии – одном из тех, что попали в ⃗⃗; или, что тоже самое, является функцией распределения по состояниям с энергией (⃗,⃗).

Действительно, в квазиклассике на одно квантовое состояниеприходится фазовый объем (2~)3 . Кроме того, следует учесть, что в квантовой механике частицы тождественны, значит перестановка двух из не меняет состояния всей системы. Посколькучисло перестановок !, то элемент фазового объема мы еще поделили на !. Введение функциираспределения в фазовом пространстве доставляет нам новый способ вычисления среднего от любой физической величины, зависящей от координат и импульсов частицзначение´ системы. Среднее⃗⃗такой величины можно вычислить как фазовое среднее: ⟨(⃗,⃗)⟩анс = (⃗,⃗)(⃗,⃗) (2~)3 ! . Такимобразом, фазовое среднее можно понимать (и удобно представлять себе), как среднее по ансамблю.Наша вера в то, что среднее по времени равно среднему по ансамблю называется эргодической гипотезой: ⟨A(r(t),p(t))⟩врем = ⟨A(r(t),p(t))⟩анс .

Её доказательство представляет собойсложную и до конца не решенную проблему, составляющую целый раздел математики под названием«эргодическая теория». Взгляд теоретической физики на эту запутанную проблему прагматичен, и,поэтому, предельно прост. Метод ансамблей Гиббса не вызывает никаких сомнений потому, что всеосновные выводы статистической физики получают полное и всестороннее экспериментальное подтверждение. Следовательно, мы можем сразу считать первичными не временные средние, а средниепо ансамблю.249. Теорема Лиувилля. Микроканоническое распределение.Возможность введения функции распределения как плотности вероятности в фазовом пространствеоснована на чисто механической теореме.

Каждая точка, изображающая систему ансамбля движется в фазовом 6 -мерном пространстве. Поскольку число таких точек сохраняется, их плотность+ ⃗(⃗˙ ) + ⃗(⃗˙) = 0. Раскрываяудовлетворяет уравнению непрерывности в этом пространстве: производные мы получаем четыре слагаемых. Два из них «убивают» друг друга, а подстановка воставшиеся два уравнений Гамильтона (⃗˙ = /⃗, ⃗˙ = −/⃗) дает скобку Пуассона. В итоге,получаем уравнение Лиувилля: + {,} = 0. Эти уравнения были записаны в эйлеровых переменных.

Видно, что левая часть уравнения Лиувилля представляет собой полную (лагранжеву)= 0. Таким образом, главный вывод из теоремы Лиувилля можнопроизводную по времени сформулировать двумя способами. Во-первых, в стационарных условиях / = 0 фазовый объемсохраняется: фазовая жидкость несжимаема и капля фазового объема течет, причудливо изменяясо временем свою форму, но сохраняя объем. Во-вторых, плотность фазовой жидкости (≡ функцияраспределения) постоянна вдоль траектории движения изображающих точек / = 0. Из второйформулировки следует, что плотность вероятности (≡ функция распределения) есть функция интегралов движения гамильтоновой системы уравнений, коих 6 − 1 штук. Точка, изображающаясистему движется по 6 − 1-мерной изоэнергетичсекой поверхности (≡ эргодической (эргодичностьозначает средние зависят от энергии)) поверхности (⃗,⃗) = .

Значение аддитивных интеграловдвижения (а их всего 7:энергия, полный импульс и полный момент системы, но мы считаем, чтомакроскопическое тело не движется и не вращается) полностью определяет статистические свойстваи средние значения физичсеких величин замкнутой системы в состоянии ТД равновесия.Замкнутая макроскопическая система гамильтонова, то есть у нее заданы ,, . Но энергия задана не в механическом, а в статистическом смысле. А именно, энергия задана для всего ансамбля,каждая же конкретная копия в фазовом пространстве находится в слое изоэнергетических поверхностей от до + ∆.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,44 Mb
Материал
Высшее учебное заведение

Список файлов ответов (шпаргалок)

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее