Экзамен (LaTex) (1183685), страница 2
Текст из файла (страница 2)
; = 5/2 1 ++ ...(3,4) = 3/2 1 +38 58 + 1Теперь, чтобы получить зависимость хим.потенциала от температуры, воспользуемся метом итераций. Очевидно, что в нулевом приближении хим.потенциал будет равен энергии Ферми, полученнойранее. Далее подставим химпотенциал как сумму нулевого и первого приближения и перепишем3/2уравнение(3) в виде: = ( + 1 )3/2 (1 + 2 /8( / )2 + ...). Теперь выносим из первой скобкисправа энергию ферми и раскладываем в ряд Тейлора по отношению нулевой поправки к первой√ до3/23/23/2122221 порядка точности. = (1 + (3/2)( / ))(1 + ( /8)( / ) + ...) = + ( /8)( / ) +(3/2)(1 / )(1 + ( 2 /8)( / )2 + ...).
Теперь пренебрегаем членом, квадратичным по отношению температуры к энергии Ферми и получаем 1 = − 2 2 /12 . Ограничимся этим приближением. И внём химпотенциал имеет вид:(︃)︃(︂ )︂22 ( ) = 1 −+ ...12 Для нахождения теплоёмкости продифференцируем энергию по температуре, полагая = ( ),а также продифференцируем хим.потенциал по температуре, оставив лишь 1 слагаемое. Получаемтогда:(︃(︂ )︂2(︂ )︂2 )︃(︂)︂22252 ′′′3/2′′3/2 + + = +− ≈ 82 2 2 2′ ≈ − 6=> = 2 2 Таким образом, при ∼ , ∼ 1716. При какой температуре химпотенциал идеального нерелятивистского фермигаза обращается в ноль.(︂)︂(︁ )︁2223/2В приближении ≪ для числа частиц можно записать = 3 1 + 8 + ... , где(︂)︂(︁ )︁2(2+1)3/22√и с помощью метода итераций мы получим ( ) = 1 − 12 + ... .
Приравни=2 2 ~вая хим. потенциал к нулю, имеем, очевидно: =√2 3≈ 1.117. При какой температуре химпотенциал идеального ультрарелятивистского фермигаза обращается в ноль?[︂ ]︂´∞ 2 ´ 22 244 + 6 2 =В приближении ≪ для числа частиц можно записать = (2~)3≈ (2~)3−0 +10⎛⎞1/3(︁ 3)︁(︁)︁32 22 244 3)︂ ⎠1 + 2 . С необходимой точностью имеем: ≈ ⎝ 3(︂(2~)+ 3 = (2~)≈3 3(2~)332 241+ 2(︁)︁)︁1/3)︁(︁(︁√2 22 232~ 41 − 2≈ 1 − 32 . Приравнивая хим.потенциал к нулю: = 3 .18. Вычислите температуру TB конденсации N атомов идеального бозе-газа, находя2 2щегося в трехмерной гармонической ловушке U(r) = m2 r . Какова точность Вашегорасчета?∞∑︀Чтобы из ответа была ясна точность будем считать =.
= ~( + 3/2). Для = 3exp − −1=0)︂ (︁(︂)︁∞∑︀(+1)(+2)(+1)(+2)1. Считаем = 0 для нахождения . =. Такую сумму =~(+3/2)22=0exp−1мы не можем посчитать, но мы можем приближенно заменить ее на интеграл, если подинтегральнаяфункция меленно меняется, т.е. ′ () · 1 < (), где 1 - это шаг.
Вот тут и появляется точностьнашего рассчета: ~/ ≪ 1 → TB ≫ ~. Что с физической тчк зрения означает, что велико (︀ )︀3 1 ´∞ 2 (︀ )︀´∞21 3=.( ∼ /~). Тогда можем перейти к интегралу = 21 exp·!(3)~ −1 = 2~22−1 ~00(︁)︁1/3NTB = ~ (3)19. Вычислите энергию F Ферми атомов идеального ферми-газа, находящегося в трех2 2мерной гармонической ловушке U(r) = m2 r . Какова точность Вашего расчета?∞∑︀Чтобы из ответа была ясна точность будем считать =. = ~( + 3/2). Дляexp − +1=0(︂)︂(︁)︁∞∑︀(+1)(+2)1. Энергией Ферми называют значение = 3 = (+1)(+2).=~(+3/2)−22=0exp+1хим.потенциала при нуле температур. Следовательно, в этой ситуации n принимает значения от 0 до (︁)︁ (︁∑︀ (+1)(+2) )︁ ∑︀23 : = ~( + 3/2) , значит ==+ 2 + 1 В приближении >> 122=0=01 ( +6 3оставим лишь сумму по квадратам, тогда ≈1)(2 + 1) ≈ 3 , также в выбранном1нами приближении ≈ ~ , откуда имеем = ~(3 ) 3 с критерием точности >> 1820.
При какой размерности задачи D=1,2,3 возможна бозе-конденсация N ≫ 1 ато2 2мов в гармонической ловушке U(r) = m2 r ? Кратности вырождения n -го уровня D-мерного осциллятора равны g1D = 1,g2D = n + 1, 3 = (+1)(+2)соответственно.2∞∞´´∞ 2 ∑︀ ()112== =.Рассмотрим=3:()≈,≈~.= −2exp −12exp ~−1exp −1000(︁ )︁1/3(︀ )︀3 1 ´∞ 2 2!(3) (︀ )︀3=→=~→ б.к. возможна. Теперь рассмотрим = 2:~2 −12~(3)0(︁ )︁1/2(︀ )︀2 1 ´∞ ´∞ 1!(2) (︀ )︀221→ = ~ (2) () ≈ , ≈ ~.
= 2 exp ~ −1 = ~ 2 −1 = 2→ б.к.~00возможна. Теперь рассмотрим = 1: () ≈ 1, ≈ ~. =12´∞0exp=~−1грал расходится → б.к. невозможна. ИТОГ: Б.К. ВОЗМОЖНА ПРИ > 1.(︀ )︀ 1 ´∞~20 −1→ инте-21. Нарисуйте изотерму, изобару и изохору идеального бозе-газа. Укажите характерные величины и асимптотики.)︀√´∞ (︀´∞ √3/2√. = (2+1).=.
Если проинтегриΩ = − . = − ln 1 − exp −2 2 ~3exp − −100ровать по частям = ..., то получится второе уравнение с множителем 23 . = 23 .В низкотемпературном пределе (0) = 0, иначе на уровне = 0 будет < 0 ⇒ ( ) < 0. (Если взять(︀ )︀2/3´∞ √~2→ ∼ 2./ , то увидим, что / < 0). Пусть = 0, = → = 3/2 −10(︁ )︁5/2´∞ 3/2 3/25/2(при = 0 все частицы в конденсате 0 = (1 − ( / ) )). = →∝ −10 ∝ 5/2 - не зависит от объема!22.
Нарисуйте изотерму, изобару и изохору идеального ферми-газа. Укажите характерные величины и асимптотики.)︀√´∞ √´∞ (︀3/2√Ω = − . = − ln 1 − exp −.=. = (2+1). Если проинтегри2 2 ~3exp − −100ровать по частям = ..., то получится второе уравнение с множителем 23 . = 23 .В низкотемпературном пределе. При = 0 сфера Ферми заполнена, с ростом заполненностьизменяется в узком пределе ∼ вблизи поверхности Ферми. Функция распределение при = 0(︀ 2 )︀ эл (︁ ~2 )︁ (︁ 32 )︁3/2223/25/2- ступенька. (0) = . = 3 (0). = 5 (0).
= 3 = 2. 0 =3 5 → 0 = 25 .923. Вычислите зависимость давления P от плотности = mNвырожденных (T ≪ F )Vнерелятивистского и ультрарелятивистского ферми-газов(︀ 3 2 3 )︀1/3´ 2·42 ()´ 2 ´ 23.==→=~= (). В = . = 3. = 8(2~)33 2 ~3(2~)3 2 ~30´0´0 510 2 ~3(︀ 3 2 3 )︀5/3= 10 ~.случае нерелятивизма () = 2 , = 2. нер = 2~3 2 = 2 2 ~3 4 =2 ~300(︀ 3 2 3 )︀5/3(3 2 ~3 )5/3 5/3212 3 5/3 = 3·10 ~→ 5/3 = 15→ Pнер = 15m. Теперь рассмот2 ~32 ~3 (3 ~ )8/3 2 ~3 (︀)︀4/3´´ 4 2 ~3.рим ультрарелятивизм () = , = 1. ур = 2~3 3 = 2 ~3 3 = 42 ~3 = 42~3 300(︀ 3 2 3 )︀4/3c(3 2 ~3 )4/3 4/34/32 3 4/3~→=(3~)→P= .
= 3·4ур2 ~32312 ~12m4/3 2 ~324. При какой плотности идеальный вырожденный (T ≪ F ) Ферми-газ становится ультрарелятивистским.(︀ 3 2 3 )︀1/3´ 2·42 3 = 0. = .==→= ~. Переход к ультрарелятивизму происхо323(2~)3 ~0(︀ 3 )︀1/32∼ 2 → 2 ~3 3 ∼ 2 → ∼ 3m2 ~3 .дит при ∼ 2 . ~2425. Получить выражение для равновесной плостности фотонов / реликтового излучения ( = 3) и вычислите ее. Воспользуйтесь тем, что сумма обратных кубов (3) = 1.2,a ~ ≈ 10−27 эрг с.
= 0, Так как это квазичастицы (кванты электромагнитного поля), на них, в отличие от реальныхчастиц не распространяется условие сохранения числа частиц. Фотоны могут рождаться и уничтожаться в различных состояниях без нарушения равновесия газа (флуктуации вакуума все дела).Следствием этого обстоятельства является равенство нулю химического потенциала фотонов.(︀ )︀3´∞´∞ (︀ )︀3 2 2(3) (︀ )︀31882 = (2~)42!(3)=→ / = 500−3=33 −1 = (2~)3/− 1(2~) 2 ~300Цифры сам подставишь, лентяй. Не забудь про постоянную Больцмана = 1.38*10−16 эрг −1 .( → ), (3) = 1.20, = 3 * 1010 /26.
Получите выражение для постоянной Стефана-Больцмана и вычислите ее значение, учитывая, что температура измеряется в градусах K. Воспользуйтесь тем, что4сумма обратных четвертых степеней (4) = 90 , а ~ ≈ 10−27 эрг с´∞´∞ 3 4 44 42= = (2~)4=6(4)33/(2~)−1(2~)3−1002‖4 = =′ =4 2 360~ 21 4 →=44 . = 6(4)(2~)3 2если температура в кельвинах 212 4= 60~3 290·8 3 ~3 2г= 6 · 10−5 с34=27. Вычислите парамагнитную пара (T) и диамагнитную восприимчивость диа (T) невырожденного (T ≫ F ) электронного газа (Закон Кюри)Парамагнетизм появляется из-за спина.(︀ )︀ 1 = − + = 2ch, = .
= − ln = − ln 2ch. = − = 2ch2sh = th.22 ≪ 1 → ≈ = . пара = Диамагнетизмиз-за уровней Ландау.(︀)︀появляется1 = ~ + 2 , = Φ0 , Φ0 = 2~. ~ = 2 .∞)︀(︀∑︀~11~ = − (+ 2 ) = 2sh, = 2= . = − ln . = − = − th − 1 . диа ==0(︀ )︀2=−. =031028. Вычислите магнитную восприимчивость ферро (T) ферромагнетика с температурой Кюри TC в теории среднего поля (закон Кюри-Вейсса).Вейс, не вдаваясь в микроскопические детали, предположил, что каждый атомный магнитныймомент в ф/м находится в некоем эффективном поле, величина которого определяется собственнымполем образца и намагниченностью. Таким(︀ образом:)︀ = + .
Средний магнитный момент,возникающий в таком поле есть: = B , где B() - одна из функций Бриллюена, соотв.спину атома. Нам понадобится только её поведение около нуля. B() = − 3 + .... Таким образом,зависимость намагниченности M от приложенного поля B определяется системой двух уравнений(︂)︂ = B; = + Введём обозначение = / тогда: = ( − 3 + ....); =−В отсутствии внешного поля B=0 можно получить, что ненулевое решение для намагниченностивозможно лишь при < , где = 2 . А также, положив B=0, второе уравнение системывыполнится автоматически, а из первого можно получить (ну это ещё можно получить, там простовыразить надо из 1 уравнения):⎧ √︃⎪⎨ 1 ( − ), < 0 ( ) = ⎪⎩0, > Из тех же уравнений, положив = 0 + , где = получаем, что снова второе ур-ниевыполняется тождественно, а из первого, используя выражение для 0 получаем:⎧⎪⎪, < ⎨2( − )=⎪⎪⎩, > ( − )29.
Вычислите Tc ферромагнетика в модели Гейзенберга в приближении среднегополя. Считайте что обменное взаимодействие J существенно только с z ближайшимисоседями.⃗ˆ ⃗ˆ . В приближении самосогласованного поля будем считать, что суˆ = − ∑︀ ⃗ˆ ⃗ − 1 ∑︀ ̸=2⃗ˆ = ⟨⟩⃗ˆ + ⃗ˆ , ⃗ˆ ≪ ⟨⟩.ществует единая(︃для всей решётки намагниченность: = ⟨⟩, )︃(︂(︁)︁(︁)︁3 )︂∑︁∑︀1ˆˆℬℬℬˆ = − ⃗ ⃗+⃗ ⟨⟩→ = 2 2 , ℳ = B.
ℳ = − = ̸=⏟⏞⃗ =+⃗ ⃗ ℬ − ℬ . При ℬ = 0 ненулевое решение только ниже = +1(произв.ф-ии Бриллюэна в 0)→ = (+1).3311 < , где = 2 = 2 2 2 ,30. Вычислите теплоёмкость ( ) и намагниченность ( ) магнонов при низких2 2температурах ≪ . Спектр магнонов: ~ = ~2* Магноны - бозоны.=заменой =заменой.ˆ1∑︁~=−1~2 2,2* √=3 3 14=~3(2~) − 1(2~)32* ~=∑︁~2 4 2* 2 * ~√= 2424 * ~2* ~получаем =2ˆ∞~2 20(︀ 2* )︀3/2~24~=~ / − 1(2~)3ˆ∞2 2* 4=(2)3−1ˆ∞ 2 ~2 20= 2* − 1( 32 ) ∼ 3/2 .
Далее для энергии с той же~2 2 2 =2* ~2 2 /2* − 10ˆ∞√3/2 3/2 −2 −3 1 3√~(5/2) 5/2 = =* −1240(︂ =√︂)︂=(︂3* 32 3 ~6)︂1/2 5/23* 5 3/232 3 ~6 2 (0) = 0 = - магн.момент ед.объема при = 0. Магнон вносит возбуждение в спектркак гармоническую волну, мы квантуем колебания, возможно изменение на целое число =1 - спинмагнона. Тогда ( ) - магнонный вклад в намагниченность: ( ) ∼ ( ). 0 − ( ) ∼ 3/2 закон трех вторых Блоха31. Запишите выражение для распределения () газа Бозе-квазичастиц со спектром(⃗) в системе отсчета, в которой газ квазичастц движется "как целое"со скоростью ⃗ .Исходя из требования конечности и положительности (⃗), сформулируйте критерий«способности» движущегося газа квазичастиц находиться в равновесии с термостатом.Что произойдет, если это условие нарушится? Как это условие связано с критериямиМаха и Вавилова-Черенкова?1, ⃗⃗ - появилось за счет преобразования Галилея.
() Распределение для газа: () =()−⃗⃗exp−1⃗это число заполнения, поэтому конечно и положительно. exp ()−⃗> 0 ⇒ () > ⃗⃗ .⃗⃗ - сектор всех cos. С точки зрения сверхтекучести: условие задачи и условие сверхтекучести Ландау( < min ())- это одно и тоже. Если все-таки - при котором оно станет отрицательным = выполниться закон возможности рождения квазичастиц- газ о стенки начинает "искрить"квазичастицами- не будет равновесия. Как связаны? Критерий Маха: если движение быстрое - волновой фронт отстает и формируется резкий фронт, где распростроняются плоские волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
