Экзамен (LaTex) (1183685), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Может ли рожиться такаяволна - тот же самый критерий. () - скорость звука и условие переходит на >< зв . ВавиловаЧеренкова: в среде электрочастица может двигаться быстрее скоррости света. Фазовая корость всреде: . Разгоняем электрон и получаем Черенковский конус.12√︁32. Вычислите гидродинамическую скорость звука = в слабонеидеальном вырожденном бозе-газе.Сравните ее с фазовой скоростью элементарных возбуждений√︁0 конденсата =. Считайте, что при = 0 в нулевом приближении по константевзаимодействия 0 ≪ / все частицы = 0 находятся в конденсатеˆ = ∑︀ ˆ − ˆ = − + 0 2 . (ˆ ).
Когда число возбуждений малоˆ+Эффективный гамильтониан: 2(при низких температурах) состояние системы близко к основному, которое определяется вариациˆ − ˆ по при фиксированном . Тогда = 0 . Прионным принципом - мы минимизируем (︀ Ω )︀ U N0 2P200ˆˆ = 0: − = Ω0 = − 2 . Тогда c = = V (mN) − V = mV = cфаз .33. Элементарные возбуждения системы являются бозонами и имеют «спектр со щелью» (⃗) = ∆ + ( − 0 )2 /2, ∆ ≪ 20 /2. Оцените низкотемпературный ≪ ∆ вклад этихквазичастиц в теплоемкость ( ) и их равновестное число ( ).Элементарные возбуждения и квазчастицы - синонимы.
У квазичастиц = 0, т.к. их число в системе переменно ⇒ / = = 0 в равновесии. Запишем полное число квазичастиц: ( ) =´∞ 42 .(2~)3 ()− −10Из графика очевидно () > ∆ при этом ∆ ≫ ⇒ пренебрегаем 1. Смотрим только на функцио´∞ 42 ∼нальную зависимость, все остальное вносим в константу перед интегралом.
( ) = (2~)3 ()−−1´∞0()− 2 ,где (⃗) = ∆ + ( − 0 )2 /2, ∆ ≪ 20 /2. Раскроем показатель экспоненты - она разло-0жится на две. Одну −Δ/ - вынесем за интеграл. Теперь рассмотрим ту, что осталась.Построим√ее график. Это узкая Гауссова функция с характерной шириной по импульсу ≪ 0 . Тогдав замене = − 0 , подставленной в 2 можно пренебречь и 2 → 20 → . Интеграл после2обезразмеривания 2 = 2переходит в интеграл Пуассона, с учетом того, что нижний предел мы´∞ − 2 поменяли на −∞ опять в силу узкого пика и интегрирования относительно центра - 0 : 2 √2−∞От обезразмеривания выносится корневая зависимость от температуры, но в силу того, что у насприсутствует экспоненциальная зависимость −Δ/ , где ∆ ≫ корневой зависимостью можно преΔнебречь, т.к.
экспоненциальная гораздо сильнее. ⇒ ( ) ∼ .´∞42 Аналогично находится ( ) = (). Мы проделываем все то же самое, но у нас в ин(2~)3 ()− −10теграле появляется (). В ней мы тоже переходим к замене и в силу узкого пика вновь получаем,2что переменной можно пренебречь, а ∆ ≪ 20 , что позволяет нам все стоящее перед экспонентнойперенести в константу перед интегралом, а сам интеграл после обезразмеривания и смены нижнегопределе вновь переходит в интеграл пуассона, корневой зависимостью от температуры пренебрегаемΔи почучаем такую же зависимость ( ) =∼ . Очевидно с достаточной точностью ∼ −Δ/ .Такой результат будет для всех спектор с щелью, если мы работаем в температурах ниже щели.1334.
Элементарныевозбуждения системы являются фермионами и имеют «спектр со√︀щелью»() = ∆2 + 2 ( − )2 ,∆ ≪ 2 /2. Оцените низкотемпературный ≪ ∆ вкладэтих квазичастиц в теплоемкость ( ) и их равновестное число ( ).Элементарные возбуждения и квазчастицы - синонимы. У квазичастиц = 0, т.к. их число в системе переменно ⇒ / = = 0 в равновесии. Запишем полное число квазичастиц: ( ) =´∞ 42 .(2~)3 ()− +10Из графика очевидно () > ∆ при этом ∆ ≫ ⇒ пренебрегаем 1. Смотрим только на функцио´∞ 42 нальную зависимость, все остальное вносим в константу перед интегралом.
( ) = (2~)∼3 ()− +10√︁´∞ 2 − () 2 (− )2 ,где (⃗) = ∆+(−0 )2 /2, ∆ ≪ 20 /2. Рассмотрим спектр частиц. () = ∆ 1 + Δ2 .0( 2 (− )2 )2Разложим по малому параметру ∼ ∆ + 2Δ . Раскроем показатель экспоненты - она разложится на две. Одну −Δ/ - вынесем за интеграл. Теперь рассмотрим ту, что√ осталась. Построим ееграфик. Это узкая Гауссова функция с характерной шириной по импульсу ∆ ≪ . Тогда в замене = 2 ( − )2 , подставленной в 2 можно пренебречь и вынести оставшееся как константу за2переходит в интеграл Пуассона, с учетом того,интеграл.
Интеграл после обезразмеривания 2 = 2Δчто нижний предел мы поменяли на −∞ опять в силу узкого пика и интегрирования относительно´∞ − 2 центра - : 2Δ √2Δ От обезразмеривания выносится корневая зависимость от температуры,−∞но в силу того, что у нас присутствует экспоненциальная зависимость −Δ/ , где ∆ ≫ корневойΔзависимостью можно пренебречь, т.к. экспоненциальная гораздо сильнее. ⇒ ( ) ∼ .´∞42 . Мы проделываем все то же самое, но у нас в инАналогично находится ( ) = ()(2~)3 ()− −10теграле появляется ().
В ней мы тоже переходим к замене и в силу узкого пика вновь получаем,2что переменной можно пренебречь, а ∆ ≪ 2, что позволяет нам все стоящее перед экспонентнойперенести в константу перед интегралом, а сам интеграл после обезразмеривания и смены нижнегопределе вновь переходит в интеграл пуассона, корневой зависимостью от температуры пренебрегаемΔи почучаем такую же зависимость ( ) =∼ . Очевидно с достаточной точностью ∼ −Δ/ .Такой результат будет для всех спектор с щелью, если мы работаем в температурах ниже щели.1435. Найдите зависимость критического тока сверхпроводника (тока распаривания) ( ) от температуры вблизи точки перехода . Воспользуйтесь критерием сверхтекучести куперовских пар.1/2Более точное∑︀′ разложение вблизи точки перехода позволяет получить зависимость ∆( ) ∼ ( − ) .Из ∆ = ⟨ˆ−′ ,− ˆ′ ,+ ⟩ видно, что щель пропорциональна оператору уничтожения куперовских пар,′что означает ∆2 ∼ .
Это позволяет оценить температурную зависимость критического тока оттемпературы.В соответствии с критерием сверхтекучести Ландау для куперовских пар со спектром√︀() = 2 + ∆2 , их критическая скорость = ∆/ . Как получили критическую скорость из спек√︁ 2 (− )Δ2тра: = ()=+ 2 - слишком сложно. См. Картинку.2⃗⃗ ∼ 1 ≪ ∼ 104 - для металлов(то есть парабола лежит близко к оси импульсов и далекоот нуля по оси энергий, а не наоборот, поэтому можно такую оценку делать). Это значит, что прискоростях, больших , пары утрачивают свойство сверхтекучести и разваливаются. Поэтому плотность критического тока = ∼ ∆3 ∼ ( − )3/2 еще называют «током распаривания».36. Вычислите температуру сверхпроводящего перехода в модели БКШ. Константа связи , частота Дебая .Уравнение на зависимость щели от температуры (Оно берется из гамильтониана БКШ, когда егодиагонализуешь и преобразуешь, чтобы вытащить спектр, а далее переходишь от суммирования кинтегрированию): ∆( )ˆ ′13 1 − 21√︀=2(2~)3 2 + ∆2Штрих означает интегрирование в слое шириной 2 ~т.е.
вблизи поверности Ферми. При конечныхтемпературах величина щели уменьшается и в точке перехода = обращается в ноль ∆ = 0:~´/2+~´ ′ 3 ⃗ 1−2´ th1 = 2 (2~)=thили1=. Безразмерный интеграл легко оценить,3 | |2222−~его главная асимптотика есть = ~ exp (−2/ ), =´th≈´102 / 2 ~3 =0= ln ||, откуда получаем для критической температуры( ).1537. Вычислите величину энергетической щели сверхпроводника ∆(0) при нулевой температуре = 0 в моделе БКШ. Константа связи , частота Дебая .Уравнение на зависимость щели от температуры: ∆( )1=2ˆ′3 1 − 2√︀(2~)3 2 + ∆2Штрих означает интегрирование в слое шириной 2 ~т.е.
вблизи поверности Ферми. = 0, = 0+~´ /Δ0+~´ 224 4 √ . Безразмерный интеграл,√(квазичастиц нет) : 1 = 2 (2~)=3 2 (2~)3 1+22 +Δ200−~√как известно, равен ln | + 1 + 2 | в нашем случае цена оценки этого ответа ∆0 ∼ ≪ ~ ≪ . Учитывая, что плотность состояний на уровне Ферми = 2 / 2 ~3 , для величины щелиполучаем:Δ0 = 2~D exp − g2F .38. Оцените теплоемкость сверхпроводника ( ) при низких температурах ≪ ∆(0)БКШ.(︂(︁ )︁2 )︂√︁12=При низких температурах мы можем разложить спектр () = 2 + ∆0 по малости Δ0 : ∆ 1 + 2 Δ0∆+´∞02.2ΔТогда ( ) =2 ()−´∞ () 0()∼ −Δ0 /(2~)3´∞42 ()+ 12− 2Δ()0. () > ∆0 при этом ∆0 ≫ ⇒ пренебрегаем 1. ( ) ∼. Наше приближение позволяет нам все стоящее перед экс-−∞понентной перенести в константу перед интегралом, а сам интеграл после обезразмеривания и сменынижнего пределе вновь переходит в интеграл пуассона, корневой зависимостью от температуры преΔ0небрегаем и почучаем такую же зависимость ( ) =∼ .
Очевидно с достаточной точностью ∼ −Δ0 / .1639. Вычислите величину магнитного поля ℬ(0) в центре абрикосовского вихря. Воспользуйтесь выражением для плотности сверхпроводящего тока .В любой точке ⊥ плоскости, кроме центра¸ вихря ∇ × ∇¸ = 0; но в центре находится особая точка.⃗Чтобы найти эту особенность, вычислим ∇×∇= ∇⃗ = 2. Поскольку самой низкой энергией обладает вихрь с = 1, то наше уравнение выглядит как 2 ∇ × ∇ × ℬ + ℬ = Φ0 2 (⃗)⃗ , где ⃗ единичный орт оси , а 2 (⃗)-двумерная -функция. Проинтегрируем уравнение по пов-ти, натянутой¸¸⃗ + 2 ∇ × ℬ⃗ = Φ0 .
Если ≫ , то сверхпроводящими токамина круговой контур радиуса : ℬ⃗ = ∇ × ℬ и вторым интегралом можно пренебречь. Это значит, что полный поток вихря равен4Φ0 . Если < ≪ , то пренебречь можно первым интегралом. Учитывая, что для ℬ = (0,0,ℬ(∇))Φ01ротор поля вращается по кругу в плоскости (,) и равен −ℬ/, получаем ℬ() = 22 ln + .Φ0В этом приближении поле обращается в ноль при = , так что ℬ() = 22 ln . Это выражениесправедливо вплоть до «кора» вихря = , так что, поле в центре вихря с логарифмической точноΦ0стью равно ℬ(0) = 22 ln .40. Вычислите теплоемкость слабонеидеального 0 ≪ / бозе-газа ( ) при низкихтемпературах ≪ 0 / ≪ . Прокомментируйте условия на температуру и константусвязи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
