Экзамен (LaTex) (1183685), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Тогда, для безразмерного параметра порядка = ΨΨ0 , где Ψ0 - параметр порядка в глубине), < ,|Ψ0 |2 = 0, > ), уравнения Гинзбурга-Ландау можно запиобразца (|Ψ0 | = − ( −(︁)︁2сать как ( = || ): 2 ∇ + 2 − + ||2 = 0, 2 ∇ × ∇ × + ||2 = Φ20 ||2 ∇, где0Φ0 = ~/ = 2 · 10−7 Гс · см−2 - квант магнитного потока.Поговорим о спонтанном нарушении симметрии. Как мы знаем, для описания фазовых переходов 2 рода вводится параметр порядка.
И в зависимости от того, будем ли мы находиться вышеили ниже критической температуры, будет меняться вид зависимости Ω потенциала от парметрапорядка. Проще всего увидеть это из следующих рассуждений:Ω(,,) = Ω0 (,) + 2 + 2 4 − ℎ · ( = |Ψ|2 в случае теории Гинзбурга-Ландау). Вид функции будет определяться суперпозицией функций 2 и 4 в зависимости от знака при 2 . Выше точки фазового перехода при > этот коэффициент равен ( − ) > 0, как и коэффициент при четвертой степени 2 > 0.
Ниже точки фазовогоперехода при < коэффициент при второй степени ( − ) < 0, тогда вместо одного минимума, как это было в первом случае, мы получим два новых не в нуле, а в нуле вместо минимумабудет максимум. Тогда значение параметра порядка, при котором достигается минимум Ω потенциала поменяется с нуля на некое ненулевое значение (экстремум в нуле соответствует неустойчивомуположению равновесия, система покинет его и перейдет в устойчивое). В этом и заключается спонтанное нарушение симметрии.5444. Плотность сверхпроводящего тока .
Квантование магнитного потока Φ.Плотность сверхпроводящеготока можно получить если варьировать функционалГинзбурга-Ландау⃒⃒2 (∇×)2 ]︁[︀ 1´ [︁´1 ⃒224Ω [Ψ(⃗),(⃗)] = Ω +|Ψ| + 2 |Ψ| + 4 −~∇Ψ − Ψ⃒ + 8 по (⃗): Ω = 4·(︀)︀(︀]︀(︀ 2 * )︀ (︀)︀)︀1~∇Ψ* − 2 Ψ* − 2 Ψ + ∇×·∇×= 0. С помощью со· − Ψ −~∇Ψ − 2 Ψ + 44отношения · (∇ℬ)´ = ℬ · (∇ × ) − ∇ · ´( × ℬ) объемный интегралот последнего слагаемого´⃗приводится к виду ∇ × · ∇ × = · ∇ × ∇ × − · ∇ × . Поверхностныйинтеграл в равен нулю, поскольку вариация векторного потенциала на границах образца обращает⃗ .ся в ноль | = 0. Окончательно получаем второе уравнение Гинзбурга-Ландау: ∇ × ∇ = 4 2ie~js = − 2m(Ψ* ∇Ψ − Ψ∇Ψ* ) − 2e|Ψ|2 . Выражение для сверхпроводящего тока удобно представитьmc(︀)︀2||Φ0в виде = 4∇ − , где = ΨΨ0 = || , Ψ0 - параметр порядка в глубине образца,22Φ0 = ~/ = 2 · 10−7 Гс · см−2 - квант магнитного потока.
Рассмотри сверхпроводник с дыркой,топологически неодносвязный образец, в котором «заморожен» некоторый магнитный поток. Этотпоток создаётся сверхпроводящими токами, текущими по внутренней поверхности полости. Чтобывычислить этот замороженный поток, возьмем контур, охватывающий дырку и проходящий глубоко(≫ ) в объёме сверхпроводника, где ||2 = 1 и = 0. Проинтегрируем по этому контуру обе части¸¸¸сверхпроводящего тока. ⃗ ⃗=0, тогда Φ20 ∇ · ⃗ = · ⃗. Первый интергал даст 2, так как - фаза, а мы смотрим ее набег.
Интеграл ¸не равен ¸нулю, так как¸ область неодносвязна. Второй⃗ = ℬ⃗ = Φ - поток. Таким обраинтеграл преобразуем следующим образом: · ⃗ = ∇ × зом, магнитный поток в дырке квантован и содержит лишь целое число квантов потокаΦ = Φ0 n. Экспериментальное обнаружение квантования магнитного потока позволило измерить Φ0и подтвердить, что переносчики тока имеют заряд 2.5545. Вихрь Абрикосова. Верхнее 2 и нижнее 1 критич. м.
поля в сверхпров-хII рода. Cверхпров-ку с отрицательной поверхностной энергией выгодно в определённом интервале полей перейти в «смешанное» состояние, частично пропуская через себя магнитный поток.Это происходит благодаря возникновению абрикосовских вихрей. Одиночный вихрь представляетсобой узкий ≪ нормальный «кор», вокруг которого текут незатухающие токи на масштабе2∼ . Тогда всюду внеусловия первого уравнения)︀ считать || = 12 и из граничного(︀ «кора»2 можно0∇ − , или, взяв ещё разГинзбурга-Ландау ~∇Ψ + Ψ = 0 получаем ∇ × ∇ × = 20ротор от обеих частей:2 ∇ × ∇ × ℬ − ℬ = 2∇ × ∇. В любой точке ⊥ плоскости, кроме центравихря¸ ∇ × ∇ = 0;¸но в центре находится особая точка.
Чтобы найти эту особенность, вычис⃗ × ∇ = ∇⃗ = 2. Поскольку самой низкой энергией обладает вихрь с = 1, толим ∇наше уравнение выглядит как 2 ∇ × ∇ × ℬ + ℬ = Φ0 2 (⃗)⃗ , где ⃗ - единичный орт оси , а 2 (⃗)двумерная-функция.Проинтегрируем уравнение по пов-ти, натянутой на круговой контур радиуса¸¸⃗ + 2 ∇ × ℬ⃗ = Φ0 . Если ≫ , то сверхпроводящими токами ⃗ = ∇ × ℬ и вторым: ℬ4интегралом можно пренебречь. Это значит, что полный поток вихря равен Φ0 . Если < ≪ , топренебречь можно первым интегралом. Учитывая, что для ℬ = (0,0,ℬ(∇)) ротор поля вращаетсяΦ01по кругу в плоскости (,) и равен −ℬ/, получаем ℬ() = 22 ln + .
В этом приблиΦ0жении поле обращается в ноль при = , так что ℬ() = 22 ln . Это выражение справедливовплоть до «кора» вихря = , так что, поле в центре вихря с логарифмической точностью равноΦ0ℬ(0) = 22 ln . Таким образом, у сверхпроводников II рода разрушение сверхпроводимости магнитным полем происходит в два этапа. Если вш. м. поле меньше нижнего критич. поля ℋ1 , то сверхпроводник ведёт себя так же, как и сверхпроводник I рода, обнаруживая идеальный диамагнетизм(полный эффект Мейсснера, ℳ = −ℋ/4. Выше ℋ1 становится выгодным проникновение с поверхности вглубь образца вихрей Абрикосова, которые образуют в материале устойчивую треугольнуюрешётку и уменьшают намагниченность.
При увеличении вш. поля вихревая решётка становитсявсё плотней, и при верхнем критическом поле ℋ2 «коры» вихрей сливаются. Образец полностьюпереходит в нормальное состояние. Оценим верхнее и нижнее критические поля. Первое (нижнее)критическое поле означает, что величины внешнего поля достаточно, чтобы обеспечить поле в центре вихря. Или, что тоже, магнитный поток через сечение вихря ∼ 2 достигает кванта потокаΦ0Φ0 . Это дает нам оценку ℋ1 ≈ 22 ln . Подтвердим её точным расчётом. Вычислим свободнуюэнергию единицы длины вихря. Здесь нам нужно перейти от свободной энергии (Ω-потенциала) впеременных ,,, к потенциалу Гиббса в переменных ,,,ℋ; поскольку задано внешнее полеℋ0 = ℋ.
У сверхпроводников II рода ≫ , это типично лондоновский случай, когда поправками. Переход к потенциалу Гиббса осуществляется преобраза счёт ∇ можно пренебречь. Ω → Ω − ℋℬ4зованием Лежандра. Энергия единицы длины[︁ вихря складывается из]︁ энергии поля и кинетической´ ℬ 2 2 . Воспользовавшись формуэнергии сверхпроводящих электронов =+ 8 (∇ × ℬ)2 − ℋℬ84[︁]︁´22 ´ℬ(ℬ+ ∇×∇×ℬ)⃗лой (∇×ℬ)2 = ℬ∇×∇×ℬ +∇(ℬ ×∇×ℬ), получаем: =− ℋℬ − ℬ∇×ℬ.848Поверхностный интеграл берётся по ∞ удалённому цилиндру и плоскостям = 0 и = 1.
Посколькуℬ ⊥ этим плоскостям, а ∇ × ℬ лежит на них; поверхностный интеграл обращается в ноль. Далее всёпросто: используя наше преобразованное граничное уравнение, написанное в начале билета, получаℬ(0)0ℋем = Φ08− Φ4. Возникновение абрикосовского вихря в сверхпроводнике становитсяэнергетически выгодным, когда внешнее поле достигает половины поля в центре вихряΦ0ℋc1 = 42 ln .
Второе (верхнее) критическое поле соответствует ситуации, когда вихрей так много,что их коры соприкасаются и весь образец становится нормальным. Это значит, что поток одноговихря Φ0 пронизывает площадь ∼ 2 , что соответствует внешнему полю ℋ2 = Φ0 / 2 . Подтвердим,эту оценку точным расчётом. Вблизи поля ℋ2 могут существовать только малые зародыши сверхпроводящей фазы.
Это значит, что параметр порядка мал || ≪ 1 и в уравнении Гинзбурга-Ландау(︀)︀21можно выбросить нелинейные члены. 4~∇ + 2 Ψ = −Ψ. Видно, что уравнение полностьюидентично уравнению Шредингера для частицы с массой 2, зарядом 2 в однородном магнитномполе. Как известно, его собственными значениями являются уровни Ландау, непрерывный спектркоторых начинается с − = ~/2, где циклотронная частота = 2ℋ/2. Это соответствует верхΦ0нему критическому полю: ℋc2 = 22.56.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
