Экзамен (LaTex) (1183685), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Оператор рождения куперовской пары, очевидно, есть ˆ+ˆ+ˆ−− ˆ+ . Поэтому+ −− , а её уничтожения - введём для них статистическое усреднение (по основному состоянию = 0, ∑︀и по ансамблю∑︀ + при′при > 0) и проинтегрируем по слою с притяжением: ∆* = ′ ⟨ˆ′ ,+ ˆ+⟩.Δ=⟨^a−p′ ,− ^ap′ ,+ ⟩.−′ ,−′p′Величина ∆ называется параметром порядка сверхпроводящей фазы. Мы предполагаем, что числокуперовских пар (составляющих«конденсат»)получившийся гамиль∑︀′ * велико, и диагонализируем++12ˆ − ˆ = ∑︀ ˆ]преобразованиемБоголюбова:ˆˆ+∆ˆ[∆+|∆|ˆ+ˆ+тониан + −−−− + ˆ− = ˆˆ− + ˆ+ˆ+ − ˆ+−+ , + = −− .
Потребуем от этого преобразования каноничности+ˆˆ{ ′ ′ } = ′ ′ и диагональности нового гамильтониана. Это однозначно определяет все величины.(︃)︃∑︁′∑︁ √︁112 2ˆˆ+ ˆˆ − ˆ →2[ 2 − ∆ ] + ∆2 +2 + ∆2 (ˆ+1 ± √︀ 2+ + + − − ) , , =2 + ∆2⏞ ⏟⏟⏞(p)0Не только распределение, но и спектр квазичастиц зависит от температуры.
Энергия квазичастицне может быть меньше ∆. Другими словами, возбужденные состояния сверхпроводника отделены отосновного щелью. Обладая полуцелым спином, квазичастицы должны появляться парами. Поэтомувеличина связи куперовской пары равна 2∆.4939. Микроскопическая теория сверхпроводимости. Уравнение для щели ∆( ) в модели БКШ.Бардин, Купер и Шриффер предложили универсальный модельный гамильтониан, который «годится» для любого механизма спаривания фермионных квазичастиц {ˆ, ,ˆ+′ ′ } = ′ ′ за счетобмена квантом любых коллективныхвозбуждений.
Гамильтониан Бардина-Купера∑︀ бозонных∑︀+ˆˆШриффера имеет вид − = ˆ ˆ − ′ ˆ+ˆ+ˆ+ ˆ−− , где = ±1 - проекция спина, а′ + −′ − ′во втором слагаемом суммирование проводится только в узком слое вблизи поверхности Ферми. Этообстоятельство отмечено штрихом во второй сумме. Ясно, что константа связи − играет здесь туже роль, что и константа отталкивания +0 /2 в теории сверхтекучести Боголюбова. Гамильтониансильно «урезан», взаимодействуют только электроны с противоположными импульсами и спинами.В результате такого упрощения, связанного с выделением наиболее существенного взаимодействия,задачу удаётся исследовать аналитически и «до конца».
Это делает модель БКШ популярной. Оператор рождения куперовской пары, очевидно, есть ˆ+ˆ+ˆ−− ˆ+ . Поэтому+ −− , а её уничтожения - введём для них статистическое усреднение (по основному состоянию = 0, ∑︀и по ансамблю∑︀ + при′при > 0) и проинтегрируем по слою с притяжением: ∆* = ′ ⟨ˆ′ ,+ ˆ+⟩.Δ=⟨^a−p′ ,− ^ap′ ,+ ⟩.′− ,−′p′Величина ∆ называется параметром порядка сверхпроводящей фазы. Уравнение для щели ∆( ) получается самосогласованно, из ее определения.
Выржаем операторы ˆ через ˆ из преобразования++Боголюбова: ˆ− = ˆ− + ˆ−+ , ˆ+ = ˆ+ − ˆ−− . Подставляем в формулу для ∆. С учётом+ ˆ−1ˆˆтого, что наши квазичастицы - фермионы = ⟨+ + ⟩ = ⟨ˆ+− − ⟩ = [exp (()/ ) + 1] , получаем:1=2ˆ′3 1 − 2√︀(2~)3 2 + ∆2Это уравнение определяет зависимость щели от температуры Δ(T). При = 0 квази+~´ /Δ0+~´ 224 4 √ . Безразмерный интеграл,√частиц нет = 0: 1 = 2 (2~)=3 2 (2~)3 1+22 +Δ200−~√как известно, равен ln | + 1 + 2 | в нашем случае цена оценки этого ответа ∆0 ∼ ≪ ~ ≪ .
Учитывая, что плотность состояний на уровне Ферми = 2 / 2 ~3 , для величины щелиполучаем:Δ0 = 2~D exp − g2F . При конечных температурах величина щели уменьшается ив точке перехода = обращается в ноль. Отсюда можно получить выражение для критической температуры: = 0.5∆0 . Точное значение: = ∆0 = 0.57∆0 , - постоянная Эйлера=1,785040.
Функционал Гинзбурга – Ландау. Уравнение для комплексного параметра порядка Ψ(). Размер куперовской пары.Применим теорию среднего поля к сверхпроводящему переходу в присутствии магнитного поля.Вблизи температуры перехода Ψ (конденсатная волновая функция куперовских пар) и ∇Ψ малы,и Ω-потенциал, может быть разложен в ряд. Нужно только учесть два обстоятельства. Во-первых,следует учесть кинетическую энергию сверхпроводящих электронов.
Плотность кинетической энергии в квантовой механике может быть представлена как |(−~∇ − /)Ψ|2 /2. Во-вторых, в общемслучае распределения Ψ(⃗), (⃗) по образцу неоднородны, и Ω-потенциал становится функционаломΩ = Ω [Ψ(⃗),(⃗)].]︃⃒2⃒ˆ [︃2⃒(∇×) 41 ⃒⃒22|Ψ| + |Ψ| +Ω [Ψ(⃗),(⃗)] = Ω +−~∇Ψ − Ψ⃒⃒ +24 ⃒8Здесь = ( − ) и мы заранее учли, что носителями заряда являются куперовские пары → 2, → 2. В однородном случае Ψ(⃗) = в отсутствии поля внутри образца (ℬ = 0) функционал превращается в обычную функцию.
Минимизация этой функции, Ω-потенциала, даёт |Ψ0 |2 =)− ( −при < и |Ψ0 |2 = 0 при > . В общем случае распределение Ψ(⃗) в образце неоднородно и Ω-потенциал становится функционалом. Чтобы найти его минимум нужно проварьироватьфункционал Ω по Ψ* (⃗) и Ψ(⃗), причем варьировать по нимнезависимо потому, что у ком[︀´ можно1**2*−плексного)︀ (︀ числа две 2«степени)︀]︀ свободы». Получаем: Ω = ΨΨ + |Ψ| Ψ + 4 (~∇Ψ2**−~∇Ψ−ΨΨ=0.Длятого,чтобыизбавитьсяотслагаемоготипаC∇Ψ,егонуж´´по частям и воспользоваться теоремой Гаусса C∇Ψ* = − Ψ* ∇C +´но проинтегрироватьΨ* CS. Тогда, в преобразованном уравнении интеграл по объёму дает первое уравнение Гинзбурга(︀)︀22e12i~∇+Ψ = 0,Ландау,аинтегралпопов-ти–граничноеусловиекнему:Ψ+bΨ|Ψ|+4mc(︀)︀2ei~∇Ψ + c Ψ n = 0.
Граничное условие означает, что сверхпроводящий ток через границу сверхпроводника равен нулю.Куперовская пара — связанное состояние двух взаимодействующих через фонон электронов. Обладает нулевым спином и зарядом, равным удвоенному заряду электрона. Эффективным диаметром~2. (Это характерный масштабкуперовской пары является длина когерентности: 2 = 4m|a(T−Tc )|изменений Ψ, который легко получить, посмотрев на коэффициент при второй производной, если коэффициент при первой степени Ψ приведен к единице. Это и есть квадрат длины когерентности)5141.
Функционал Гинзбурга-Ландау. Уравнение для векторного потенциала ().Применим теорию среднего поля к сверхпроводящему переходу в присутствии магнитного поля.Вблизи температуры перехода Ψ (конденсатная волновая функция куперовских пар) и ∇Ψ малы,и Ω-потенциал, может быть разложен в ряд.
Нужно только учесть два обстоятельства. Во-первых,следует учесть кинетическую энергию сверхпроводящих электронов. Плотность кинетической энергии в квантовой механике может быть представлена как |(−~∇ − /)Ψ|2 /2. Во-вторых, в общемслучае распределения Ψ(⃗), (⃗) по образцу неоднородны, и Ω-потенциал становится функционаломΩ = Ω [Ψ(⃗),(⃗)].]︃⃒⃒2ˆ [︃2⃒⃒12(∇×)⃒−~∇Ψ − Ψ⃒ +|Ψ|2 + |Ψ|4 +Ω [Ψ(⃗),(⃗)] = Ω +⃒24 ⃒8Здесь = ( − ) и мы заранее учли, что носителями заряда являются куперовские пары → 2, → 2.
В однородном случае Ψ(⃗) = в отсутствии поля внутри образца (ℬ = 0) функционал превращается в обычную функцию. Минимизация этой функции, Ω-потенциала, даёт |Ψ0 |2 =)− ( −при´ <[︀ (︀и |Ψ0 |2 = 0)︀ (︀при > . БудемфункционалГинзбурга-Ландау)︀ варьировать(︀)︀ (︀ 2)︀ ∇×·∇× ]︀по12 *212**(⃗): Ω = 4 − Ψ −~∇Ψ − Ψ + 4 ~∇Ψ − Ψ − Ψ +=40.
С помощью соотношения · ´(∇ℬ) = ℬ · (∇ × ) − ∇´· ( × ℬ) объемный интегралот последнего´⃗слагаемого приводится к виду ∇ × · ∇ × = · ∇ × ∇ × − · ∇ × . Поверхностный интеграл равен нулю, поскольку вариация векторного потенциала на границах образцаобращается в ноль | = 0. Окончательно получаем второе уравнение Гинзбурга-Ландау:2ie~j .где js = − 2m(Ψ* ∇Ψ − Ψ∇Ψ* ) − 2e|Ψ|2 .∇ × ∇ = 4c smc5242. Уравнение Гинзбурга – Ландау для векторного потенциала (). Эффект Мейсснера.
Спонтанное нарушение симметрии.´ [︀1Будем варьировать функционалГинзбурга-ЛандауΩ[Ψ(⃗),(⃗)]=Ω+|Ψ|2 + 2 |Ψ|4 + 4·]︁⃒⃒[︀(︀)︀(︀)︀´22(∇×)21221*· ⃒−~∇Ψ − Ψ⃒ + 8 по (⃗): Ω = 4 − Ψ −~∇Ψ − Ψ + 4 ·)︀ (︀ 2]︀(︀)︀2**= 0. С помощью соотношения ´· (∇ℬ) = ℬ · (∇ × ) −· ~∇Ψ − Ψ − Ψ + ∇×·∇×4∇ · ( × ℬ) объемный интеграл от последнего слагаемого приводится к виду ∇ × · ∇ × =´´⃗ ·∇×∇×− ·∇×.Поверхностный интеграл в равен нулю, поскольку вариация векторного потенциала на границах образца обращается в ноль | = 0. Окончательно получаем второе2ie~j .где js = − 2m(Ψ* ∇Ψ − Ψ∇Ψ* ) − 2e|Ψ|2 .уравнение Гинзбурга-Ландау: ∇ × ∇ = 4c smcРассмотрим эффект Мейсснера. «Возьмём» ротор от обеих частей 2 ∇×∇×+||2 = Φ20 ||2 ∇.Тогда, с учётом ∇ × = ℬ, ∇ℬ = 0, достаточно глубоко «в теле» сверхпроводника, где ||2 = 1 (вуравнении = Ψ/Ψ0 , где Ψ0 - волновая функция в отсутствие магнитного поля), получаем уравнениеЛондонов 2 ∇2 ℬ − ℬ = 0. Из этого уравнения видно, что внешнее поле экспоненциально затухаетвглубь сверхпроводника ℬ = ℬ0 exp (−/), на глубину , что и является основанием её наименования.
(поле проникает лишь на определенное расстояние вглубь проводника - вытеснение магнитногополя из объёма проводника при его переходе в сверхпроводящее состояние).Поговорим о спонтанном нарушении симметрии. Как мы знаем, для описания фазовых переходов 2 рода вводится параметр порядка. И в зависимости от того, будем ли мы находиться вышеили ниже критической температуры, будет меняться вид зависимости Ω потенциала от парметрапорядка. Проще всего увидеть это из следующих рассуждений:Ω(,,) = Ω0 (,) + 2 + 2 4 − ℎ · ( = |Ψ|2 в случае теории Гинзбурга-Ландау). Вид функции будет определяться суперпозицией функций 2 и 4 в зависимости от знака при 2 . Выше точки фазового перехода при > этот коэффициент равен ( − ) > 0, как и коэффициент при четвертой степени 2 > 0.
Ниже точкифазового перехода при < коэффициент при второй степени ( − ) < 0, тогда вместо одногоминимума, как это было в первом случае, мы получим два новых не в нуле, а в нуле вместо минимума будет максимум. Тогда значение параметра порядка, при котором достигается минимум Ωпотенциала поменяется с нуля на некое ненулевое значение (экстремум в нуле соответствует неустойчивому положению равновесия, система покинет его и перейдет в устойчивое).
В этом и заключаетсяспонтанное нарушение симметрии.5343. Длина когерентности ( ) и лондоновская глубина проникновения магнитного поля Λ( ). Спонтанное нарушение симметрии.(︀)︀2(︀124 ~2Есть два уравнения Гинзбурга-ЛандауΨ+Ψ|Ψ|+~∇+Ψ=0,∇×∇×=−(Ψ* ∇Ψ−42)︁−Ψ∇Ψ* ) +22|Ψ|2 и в них есть два характерных масштаба длины, на которых существенно изме-няются Ψ и . Это длина когерентности 2 =~24m|a(T−Tc )|и лондоновская глубина проникно-mc2 b.8e2 |a(T−Tc )|вения магнитного поля 2 =(Это характерный масштаб изменений Ψ и , которыйлегко получить, посмотрев на коэффициент при второй производной, если коэффициент при первойстепени Ψ или соответсвенно приведен к единице. Это и есть квадрат длины когерентности илилондоновская глубина проникновения)Видно, что вблизи фазового перехода , ∼ ( − )−1/2 эти масштабы неограниченно возрастают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
