Экзамен (LaTex) (1183685), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Связь с критериями Маха иВавилова-Черенкова.В 1938 году Капица обнаружил, что жидкий гелий 4 ниже -точки = 2.18 обладает свойством сверхтекучести. В духе концепции квазичастиц, Ландау получил условие сверхтекучести, какусловие, при котором в жидкости не может родиться даже одного элементарного возбуждения. Это значит, что движущееся в жидкости макроскопическое тело не может терятьсвоего импульса.
Рассмотрим макроскопическое тело массой , движущееся со скоростью V. Дляопределения минимальной скорости, при которой возможно рождение хотя бы одного возбуждения,запишем законы сохранения энергии и импульса при испускании квазичастицы: V = V′ + p,′2 V2= V+ (p). Исключая V′ и опуская макроскопически малую величину p2 /2 , получаем22pV = (p). Наиболее «опасным» с точки зрения нарушения этого условия является испускание «вперед» cos = 1. Таким образом, получаем критерий сверхтекучести Ландау V < Vc = min (p).p2Видно, что спектр свободных частиц () = p /2 критерию сверхтекучести не удовлетворяет, т.е.идеальный бозе-газ не может быть сверхтекучим.
Не может обеспечить сверхтекучесть любой спектр(p), касающийся оси абсцисс в начале координат. С другой стороны, к сверхтекучести приводитлюбой спектр со «щелью» при = 0 или с длинноволновой фононной ветвью ∼ . Физическийсмысл полученного критерия сверхтекучести вполне сходен с рождением ударных волндвижущимся телом при выполнении критерия Маха и рождением сверхсветовых волнВавилова-Черенкова при превышении скоростью заряда фазовой скорости света в среде.4636. Микроскопическая теория сверхтекучести Боголюбова.
Преобразования Боголюбова. Спектр возбуждений ().Подход Боголюбова основан на предельно упрощенной модели слабонеидеального вырожденногобозе-газа с точечным отталкиванием при нулевой температуре. Предельное упрощение и приводит к успеху, однако с учетом весьма нетривиально придуманной Боголюбовым теорией возмущения. Суть заключается в «приближении неполного вторичного квантования», когдавозмущение устроено не по малому взаимодействию, как обычно, а по малому «истощению» конденсата. Рассмотрим это подробнее, в рамках представления чисел заполнения(вторичного квантования).
Как известно, гамильтониан системы взаимодействующих тождествен2ˆ = ∑︀ p + 1 ∑︀ (r − r ) в формализме вторичного квантования записывается вных частиц 22=1̸=∑︀∑︀2p1+ˆвиде =ˆ + 2q ˆ+ˆ+ˆp1 ˆp2 , где мы воспользовались привычным базисомˆ p1 +q p2 −q 2 p pp1 ,p2 ,qволн ⟨r|p⟩ = −1/2 exp (pr/~) с импульсом p, - объем системы, а q =´плоских дебройлевскихexp (+qr) (r)3 r - фурье-компонента потенциала парного взаимодействия.
Если частицы - бозоны, то бозе-операторы рождения и уничтожения удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям [ˆp ,ˆ+p ] = 1. Слабая неидеальность газа означает короткий радиус взаимодействия междучастицами. При таком «точечном» взаимодействии величина передачи импульса ≪ ~/ мала посравнению с обратной длинной рассеяния = 0 /4~2 . Это же условие означает слабую неидеальность газа, то есть малость «газового» параметра (/ )1/3 ≪ 1. Поэтому мы можем полагать = 0 .Далее ограничимся только членами второго порядка малости по ˆ и ˆ+ . Членов первого порядка+по ˆ и ˆ нет в силу закона сохранения импульса.
Получаем "эффективный"гамильтониан, квадратичный по ˆ и ˆ+ : (︁)︁)︀∑︀ 0∑︀ (︀ + +220ˆ − ˆ =−ˆ + 0ˆ− + ++ ˆ+ˆ ˆ ˆ−2̸=022̸=0Полученная форма гамильтониана имеет ясный физичсекий смысл. Первое слагаемое представляет собой собственную энергию частиц конденсата. Второе слагаеме - сумма одночастичных энергий(кинетичсеких плюс потенциальных) надконденсатных частиц в среднем поле кондентаса. Третьеслагаемое представляет собой аномальные члены, связанные с рождением и уничтожением пар надконденсатных частиц. Они очень похожи на недиагональную квадратичную форму, котрую надо быдиагонализовать при помощи линейного преобразования. Такое преобразование и придумал Боголюбов.
Знаменитые « - преобразования» Боголюбова линейны и смешивают операторы^+^^ p + p b^+частиц, уходящих в конденсат и покидающих его: ^a+ap = up b−p .p = up bp + p b−p , ^ˆДля того, чтобы новые боголюбовские операторы ˆ+ , были операторами рождения и уничтоженияквазичастиц, нужно потребовать, чтобы преобразования были каноническими: сохраняли формукоммутационных соотношений [ˆ ,ˆ+ ] = 1, и, следовательно, уравнений движения Гейзенберга. Вместе с требованием диагональности гамильтониана в новых переменных, это однозначно определяет p2− 2 )/2 . В новых переменных «эффеки : 2 = (1 − 2 )−1/2 , 2 = 2 (1 − 2 )−1/2 , = (() − 2(︁)︁ˆ − ˆ = − 2 0 + 1 ∑︀ () − p2 − 0 + ∑︀ ()ˆ+ˆ гативный» гамильтониан принимает вид 22p̸=02p̸=0мильтониана новых, не взаимодействующих квазичастиц.
Это коллективныевозбуждения сла√︂(︁ 2 )︁2pбонеидеального вырожденного бозе-газа со спектром (p) = c2 p2 + 2m. В длинноволновом√︀пределе → 0 квазичастицы представляют собой кванты боголюбовского звука со скоростью = 0 / , а при больших импульсах получается квадратичный спектр свободных частиц.Таким образом, в области малых импульсов слабое взаимодействие бозонов приводит к кардинальной перестройке спектра элементарных возбуждений. При этом оказывается выполненым условиесверхтекучести.
Роль критической скорости играет здесь скорость боголюбовского звука = .Бозеконденсация играет решающую роль для возникновения явления сверхтекучести.4737. Неустойчивость Купера в сверхпроводниках (уравнение Шредингера для куперовской пары). Энергия куперовской пары −2∆.ˆ 0 (⃗1 ) гамильтониан одной свободной квазичастицы вблизи поверхности Ферми. ˆ 0 (⃗1 ) (⃗1 ) =Пусть 1⃗⃗| | (⃗1 ), () = − 2 exp ~ , = ( − ) - превышение энергии над хим потенциалом вблизи поверхности ферми. Рассмотрим пару квазичастиц с противоположными импульсами (-состояние самое низкоэнергетическое) и нулевым суммарным спином (у фермионов -состояние∑︀ может быть только синглетным(=0)).
Тогда их волновая функция есть суперпозиция. (⃗1 ,⃗2 ) = ,+ (⃗1 )−,− (⃗2 ),^ 0 (r̃1 ) + H^ 0 (r̃2 ) + V(r̃^ 1 ,r̃2 )](r̃1 ,r̃2 ) = E(r̃1 ,r̃2 ). Сраудовлетворяющая уравнению Шредингера [Hзу же подчеркнём, что, как это выяснится в дальнейшем, потенциальная энергия взаимодействиямежду квазичастицами – не функция разности их координат, а нелокальный оператор, что и подчёркнуто обозначением «с крышкой». Уравнение Шредингера в импульсном представлении. 2| | +∑︀′ ′ = ′ , где ′ = ⟨+ , − , − |ˆ |′+ , − ′− ⟩ - матричный элемент оператора притяжения ква′зичастиц. В свете наших предыдущих рассуждений, это - мультипликативная функция импульсов< ||, |′ | < + ~квазичастиц, которую можно представить в виде: ′ = −, при − ~и ′ = 0 вне этого слоя. Здесь – матричный элемент притяжения электронов за счет обменафононами в тонком 2~∑︀≪ слое вблизи поверхности Ферми.
Интегрируя по этому слою, получаем = 2| |− , где = ′ ′ , штрих означает суммирование в слое. Ещё раз интегрируя по этому′∑︀1слою, получаем дисперсионное соотношение на E: − 1 = ′ −2|. Физический смысл полученного′|′соотношения вполне ясен. Спектр возбуждений «плотно» заполняет области > 0, но есть и односвязанное состояние с отрицательной энергией = −2∆. Заменяя сумму на интеграл с плотностьюсостояний /2, где = ( ) - плотность состояний на уровне Ферми, в нашем узком слое, по+~´ ≈ 2 ln ~Δ . Выражение для «щели», половины энергии связилучаем: 1 = 21 ||+Δ−~куперовской пары: Δ = ~D exp − g2F .
Таким образом, ферми-жидкость проявляет неустойчивость относительно образования связанных пар квазичастиц при сколь угодно слабомпритяжении вблизи поверхности Ферми (теорема Купера). (Полученное выражение даетправильный порядок ответа. Точное выражение для щели в два раза больше.)4838. Микроскопическая теория сверхпроводимости БКШ. Преобразования Боголюбова. Спектр возбуждений ().Бардин, Купер и Шриффер предложили универсальный модельный гамильтониан, который «годится» для любого механизма спаривания фермионных квазичастиц {ˆ, ,ˆ+′ ′ } = ′ ′ за счетобмена квантом любых коллективныхвозбуждений. Гамильтониан Бардина-Купера∑︀ бозонных∑︀+ˆˆШриффера имеет вид − = ˆ ˆ − ′ ˆ+ˆ+ˆ+ ˆ−− , где = ±1 - проекция спина, а′ + −′ − ′во втором слагаемом суммирование проводится только в узком слое вблизи поверхности Ферми.
Этообстоятельство отмечено штрихом во второй сумме. Ясно, что константа связи − играет здесь туже роль, что и константа отталкивания +0 /2 в теории сверхтекучести Боголюбова. Гамильтониансильно «урезан», взаимодействуют только электроны с противоположными импульсами и спинами.В результате такого упрощения, связанного с выделением наиболее существенного взаимодействия,задачу удаётся исследовать аналитически и «до конца». Это делает модель БКШ популярной. Применим к гамильтониану БКШ метод диагонализации Боголюбова. Сначала, нужно сообразить, ктов этой задаче будет играть роль частиц «конденсата». Очевидная догадка – куперовские пары.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
