Экзамен (LaTex) (1183685), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда ˆ = ⟨⟩,∑︀ ℬ ˆ+ + ⟨⟩ (+ − ˆ+ ). Как решить такую систему? Это дифференциальные уравнения с по̸=стоянными коэффициентами, распределённые в пространстве. Ситуация, типичная для волновогоуравнения, поэтому естественно поискать решение в виде бегущей волны: ˆ+ = ˆ exp (− + ⃗ ).Подставляя, убеждаемся,что это – действительнорешение и получаем спектр спиновых волн: ~ =(︁)︁∑︀ ℬ + ⟨⟩ 1 − exp ⃗(⃗ − ⃗ ) .
Считая, например, что кристалл имеет простую кубическую̸=решётку и каждый спин взаимодействует одинаково = с = 6 ближайшими соседями на расстоянии , получаем в длинноволновом пределе ≪ 1: ~k = B gℬ + J⟨S⟩a2 k2 . Таким образом, квантспиновых волн, который естественно назвать «магноном», в отсутствие внешнего поля2 (+1)2 22имеет такой же спектр, как частица с массой ~k = ~2mk* , * ≈ ~⟨⟩≈ ~2 . Если перейти к2атомным единицам, которые связаны соотношением ≈ ~2 / 2 , то для отношения массы магнона к массе электрона получаем * / ≈ ( /)2 / .
При типичных значениях параметров, массамагнона * раз в десять превышает массу . Итак, в низкотемпературном пределе теории среднегополя имеется магнонная ветвь возбуждений бозевского типа. Она даёт вклад в теплоёмкость и намаг´∞∑︀2 ниченность ферромагнетика. Число магнонов: = (exp (~ / ) − 1)−1 ∝ exp ((~2 2)/(2* ))−1 ∝3/2. Энергия магнонов: =∑︀(~ )/(exp (~ / ) − 1) ∝ ´∞ ~2 2002 2* exp ((~2 2 )/(2* ))−1∝ 5/2 . Следо-вательно, теплоёмкость магнонов CV ∝ T3/2 . Выше уже отмечалось, что магноны – бозоны. Этообщее свойство квазичастиц, которые возникают при квантовании гармонических волн (например,фотоны, фононы.
. . ). Действительно, энергия гармонической волны может быть велика, следовательно, в ней может содержаться много магнонов с одинаковыми и ⃗. Поэтому магноны – бозоны.Кроме того, легко сообразить, что спин одного магнона – единица. Действительно, среднее поле выстраивает спины всех атомов кристалла в одном направлении. При = 0 упорядочение максимально,назовём это состояние |0⟩. При нагревании в ферромагнетике рождаются магноны, и суммарный спинкристалла уменьшается. Но спин любой квантовомеханической системы может изменяться толькона единицу ~, следовательно, магнон представляет собой один перевёрнутый спин,∑︀бегающий по−1/2кристаллу. Это рассуждение можно обосновать и чисто формально: состояние ˆ+ |0⟩, соответствующееодному магнону, является собственным вектором оператора полного спина кристалла∑︀ ˆ с собственным значением −1.
Это значит, что ( ) магнонов, возникших при температуре , уменьшают намагниченность ферромагнетика на: ℳ(0) − ℳ(T) ∝ T3/2 . Это соотношение представляет собой «закон трёх вторых» Блоха, который подправляет предсказание «нулевого»приближения теории среднего поля.4029. Теория фазовых переходов II рода (теория «среднего поля») в применении к ферромагнетику.У теории среднего поля есть ещё одно обличье, в котором не сразу удаётся распознать теорию среднего поля. Ландау предложил довольно общую теорию фазовых переходов второго рода.
В отличиеот переходов I рода, когда скачок испытывает первая производная свободной энергии (энтропия,теплота), при переходах II рода происходит скачок второй производной свободной энергии (теплоёмкость). При этом новая фаза возникает не зародышами, а во всём образце одновременно. Фазовые переходы II рода вещь более тонкая, «мягкая»; зримых изменений внешнего вида образцане происходит.
Тонкость такого перехода проявляется в том, что изменяется внутренняя симметрия состояния, которую ещё нужно суметь описать каким-нибудь параметром порядка (дальнего).В нашем случае ферромагнитного перехода роль параметра порядка естественным образомиграет спонтанная намагниченность ℳ: при переходе в симметричную (менее упорядоченную)фазу ℳ исчезает. Значит, вблизи точки Кюри параметр порядка мал. Поскольку взаимодействиев системе устроено сложно, вычислить Ω-потенциал методами, развитыми ранее мы не можем. Нопопробовать разложить его в ряд по малому параметру порядка ℳ можно всегда.
На самом делепредположение об аналитичности Ω-потенциала в теории Ландау является основным:Ω(,ℳ) = Ω0 ( ) + ( )ℳ2 + 12 ( )ℳ4 − ℳ · ℬ. Здесь Ω0 часть Ω-потенциала, не связанная с магнетизмом, а нечётных степеней ℳ нет из-за изотропности ферромагнетика. Теперь ℳ - независимаяпеременная, и равновесию соответствует минимум свободной энергии. Пусть сначала поля нет ℬ = 0,Ω= 2( )ℳ + 2( )ℳ3 = 0. Для спонтанной намагниченности получается два корня, видтогда ℳно, что для правильного описания перехода достаточно предположить, что ( ) меняет знак, а ( )постоянно в окрестности точки Кюри: ( ) = ( − ); ( ) = ; , > 0.
Тогда выражение дляспонтанной намагниченности:⎧ √︂⎨ ( − ) , < ℳ0 ( ) =⎩0, > соответствует эксперименту. Для Ω-потенциала получаем:⎧2⎨Ω0 ( ) − ( − )2 , < Ω( ) =2⎩Ω0 ( ), > 2что приводит к скачку магнитного вклада в теплоёмкость = − Ω2⎧2⎨0 ( ) + , < ( ) =⎩0 ( ), > ΩВ присутствии внешнего поля ℳ= 2( )ℳ + 2( )ℳ3 − ℬ = 0 появляется дополнительная ℳнамагниченность к спонтанной ℳ = ℳ0 +ℳ. В небольших полях ℳ = ℬ, и для восприимчивостиполучаем закон Кюри-Вейсса:⎧1⎪⎪⎨ 2( − ) , < ( ) =1⎪⎪, > ⎩( − )Таким образом, теория Ландау, при всей своей внешней «непохожести», воспроизводит все черты теории среднего (самосогласованного) поля, по сути являясь её частным случаем. (наличие критическойтемпературы (появление спонтанной намагниченности ниже ее), "корневое"поведение намагниченности, закон Кюри-Вейсса, скачок теплоемкости )4130.
Ферромагнитный переход в модели Гейзенберга в приближении "среднего поля".Температура Кюри .Загадка ферромагнетизма заключается в том, что у магнита есть намагниченность даже в отсутствие внешнего поля ℬ. Первую попытку штурма этой загадки предпринял Вейсс, задолго до создания квантовой механики. Он предложил гипотезу «молекулярного поля».
Будем считать, чтовзаимодействие между магнитными моментами атомов вещества настолько сильное, чтозагадочным образом возникает коллективное магнитное поле, значительно превосходящее внешнее. Таким образом, каждый атомный магнитный момент находится в некотором эффективном поле. Величина этого поля, помимо собственного поля образца,может определяться только намагниченностью вещества ℳ; больше просто нечем.
Вейсспредположил самое простое соотношение между)︁ ℬ = ℬ + ℳ. Средний магнитный мо(︁ ними:ℬ , где - концентрация моментов (атомов), амент, возникающий в поле ℬ , есть ℳ = BB() - одна из функций Бриллюэна, соответствующих, как в дальнейшем выяснила квантовая механика, спину атома. Нам для дальнейшего понадобится только её поведение вблизи нуля ≪ 1- B() = − 3 + .... Зависимость намагниченностиℳ от приложенного поля ℬ определяется)︁(︁ℬ и ℬ = ℬ + ℳ. Поскольку функция ℳ(ℬ)) сосистемой двух уравнений: ℳ = Bдержится в этой системе в неявном виде, понять поведение её решений проще всего графически.Введём для удобства = ℬ / , тогда ℳ = ( − 3 + ...), ℳ = − ℬ .
Видно, что есливнешнее поле отсутствует ℬ = 0, то ненулевое решение для намагниченности появляется толькониже критической температуры (Кюри) < , где = 2 . Выше этой температуры системаимеет только нулевое решение. Таким образом, введение самосогласованного поля объясняет существование фазовогоперехода: появление спонтанной намагниченности ℳ0 ниже температуры Кюри√︁1ℳ0 ( ) = ( − ) при < и 0 при > .
ℳ = ℳ0 + ℳ. В небольших полях ℳ = ℬ,1и для восприимчивости получаем закон Кюри-Вейсса: ( ) = 2(1 − ) при < и ( ) = ( −)при > Подстановка известных из опыта величин ∼ 103 , ∼ 1022 см−3 , ∼ позволяетоценить величину ∼ 104 ; в то время, как исходно мы ожидали ∼ 1. Эта оценка показывает, чтовыстраивающее моменты взаимодействие гораздо сильнее диполь-дипольного. Какова же его природа? Взаимодействие такой огромной силы в квантовой механике называется обменным.
Природаобменного взаимодействия – электростатическая. Два электронных облака соседних атомов взаимодействуют кулоновским образом с энергией, зависисящей от их спинового состояния. Рассмотримдля примера обменное взаимодействие двух электронов с суммарным спином ˆ = ˆ1 + ˆ2 . Поскольку( + 1) = 1 (1 + 1) + 2 (2 + 1) + 2ˆ1 ˆ2 , а 1 = 2 = 21 , то разницу энергий синглетного ( = 0)и триплетного ( = 1) состояний удобно описывать слагаемым с обменным интегралом −()ˆ1 ˆ2 .Впервые такую форму записи взаимодействия электронов предложил Дирак, поэтому она называется гамильтонианом Гейзенберга. Это позволяет нам для системы взаимодействующихв∑︀ ˆ∑︀ спинов1ˆˆˆ .
Врешётке ферромагнетика записать гамильтониан Гейзенберга = − ℬ − 2̸=приближении самосогласованного среднего поля будем считать, что в образце существует единая для всей решётки средняя намагниченность ℳ = ⟨⟩, а отклонения спиновˆ + ˆ , ≪ ⟨⟩. Таким образом, в этом приближении гамильтонианот среднего малы ˆ = ⟨⟩(︃)︃∑︀∑︀ˆ . Выражение в скобкахˆ = − ˆ ℬ + 1 ⟨⟩Гейзенберга можно представить в виде ̸=и есть ℬ = ℬ + ℳ. С учётом того, что обменный интеграл = ( ) экспоненциально быстро убывает с расстоянием, в сумме можно учесть взаимодействие только с ближайшими соседями.S(S+1)zJТогда = , где мы учли, что производная2 2 и для температуры Кюри получаем Tc =3функции Бриллюэна в нуле = ( + 1)/3. Видно, что по порядку величины температура Кюри –это обменный интеграл.
Эта оценка великолепно согласуется с опытом ∼ 103 . Таким образом,обменное взаимодействие позволяет объяснить как возникновение среднего поля, так и его огромнуювеличину.4231. Принцип Больцмана для вероятности термодинамической флуктуации макроскопической системы. Флуктуации основных термодинамических величин.В силу принципа Больцмана - энтропия это логарифм статистического веса, следовательно вероятность флуктуации внутреннего параметра Λ есть (Λ) ∝ exp ∆П , где изменение энтропии полной− Δ. Мы ожидаем, что изменение энтропии полной системы квадсистемы: ∆П = − Δ+ Δ −Δратично по отклонениям термодинамических величин, поскольку энтропия полной системы в равновесии достигает максимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
