Главная » Просмотр файлов » Экзамен (LaTex)

Экзамен (LaTex) (1183685), страница 6

Файл №1183685 Экзамен (LaTex) (Экзамен (LaTex)) 6 страницаЭкзамен (LaTex) (1183685) страница 62020-08-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Определенный так ансамбль называется микроканоническим. Квантовыесостояния макроскопической системы будем весьма условно и сугубо символически представлятьсебе точками в фазовом пространстве. Таким образом, данное макросостояние ,, реализуютвсе микросостояния системы, попавшие в слой < (⃗,⃗) < + ∆.

Гиббс предположил, чтофункция распределения постоянна в этом слое фазового пространства, что все микросостояния равновероятны, раз они реализуют одно макросостояние ,, . Фактически, это простейшее (оно жеединственное) предположение, которое мы можем сделать: все микросостояния равноправны, никакое не выделено, а точка, изображающая систему из ансамбля, в ходе своего сложного и запутанногодвижения в слое < (⃗,⃗) < + ∆ абсолютно случайно оказывается то в одном, то в другоммикросостоянии и равномерно посещает все места этого слоя. Это похоже на распределение «игральной кости» с ∆Γ гранями.

Вывести это предположение из механики, естественно, невозможно, онооправдывается блестящим соответствием всех его следствий эксперименту. Итак, микроканоническоераспределение имеет вид:{︃∆Γ−1 , в слое < (⃗,⃗) < + ∆(⃗,⃗) =0,вне этого слояУчитывая чрезвычайную малость толщины слоя, в пределе ∆ → 0 (в классике этот переход очевиден, а в квантовой статистике легко оправдывается огромной величиной ) получаем, естественно, - функцию Дирака. С той же точностью, микроканоническое распределение можно представить ввиде:)︂−1(︂Γ((⃗,⃗) − )(⃗,⃗) =Γ - число состояний макроскопической системы с энергией, меньшей , Γ/ - плотность числа состояний с энергией .

Коэффициент пропорциональности микроканонического распределения = ( −) легко вычислить, записав условие его нормировки и перейдя от интегрирования по нормированным элементам фазового объема к интегрированию по изоэнергетическим слоям. Так, в микроканоническом ансамбле всё определяется одной главной функцией - числом состояний Γ(,, ).2510. Число состояний, статистический вес и статистическая энтропия Больцмана.Замкнутая макроскопическая система гамильтонова, то есть у нее заданы ,, .

Но энергия задана не в механическом, а в статистическом смысле. А именно, энергия задана для всего ансамбля, каждая же конкретная копия в фазовом пространстве находится в слое изоэнергетическихповерхностей от до + ∆. Определенный так ансамбль называется микроканоническим. Сразу бросается в глаза, что при таком определении неясно, из каких соображений выбрать величину∆. Ниже мы поговорим о ∆ подробнее. Квантовые состояния макроскопической системы будемвесьма условно и сугубо символически представлять себе точками в фазовом пространстве. Такимобразом, данное макросостояние ,, реализуют все микросостояния системы, попавшие в слой < (⃗,⃗) < + ∆. Сколько их там, в этом слое? Введём Γ() - число состояний макроскопической системы с энергией, меньшей и Γ()/ - плотность числа состояний с энергией .

Тогда,Γ∆ состояний, гдев выделенном нами пока «произвольно» слое будет ∆Γ = ˆ⃗⃗∆Γ =(2~)3 !<(⃗,⃗)<+ΔПринято говорить, что ∆Γ ≡ статичтический вес состояния системы. Популярная мнемоническаясчиталочка такова: статистический вес - это число микросостояний, реализующих данное макросостояние с ,, .В микроканоническом ансамбле надо ввести энтропию макроскопической системы. Как это сделать?При релаксации к равновесию система стремится прийти в наиболее вероятное состояние из всехвозможных.

Эта вероятность пропорциональна числу «благоприятных исходов», то есть, статистическому весу ∆Γ. В этом и заключается «принцип Больцмана»: система стремится к наиболее вероятному состоянию. Поскольку в термодинамике удобнее иметь дело не с мультипликативными, а саддитивными величинами, то в качестве меры этого стремления к упорядоченности следует рассмотреть логарифм статистического веса. Это и будет энтропия по Больцману (больцмановскаяэнтропия, хотя придумал её тоже Гиббс) ln ΔΓ = S = ln Γ. Второй способ удобен при рассмотрениясистем с квазинепрерывным спектром.

Если обратить соотношение, то получим эквивалентную формулировку «принципа Больцмана» ∝ , играющую важную роль в теории флуктуаций.2611. Статистическая энтропия Гиббса. Ее экстремальность для распределения Гиббса.Функция распределения Гиббса для канонического ансамбля: ( ) = exp −. Усредним теперьлогарифм функции распределениия. Это позволит нам ввести определение энтропии.

Действительно,⟩= −. Таким образом, информационная (статистическая) энтропия Гиббса:⟨ln ⟩ ∑︀= −⟨ = − ln . Это определение в равновесном случае, разумеется, эквивалентно термодинамическому (() =´0) ()и больцмановскому ( = ln Γ). Но, в отличии от последних, легко допускаетобобщение на неравновесные состояния. Свое название она получила в связи с тем, что только знаком отличается от информации, содержащйся в распределении.Сначала пусть распределение будет неравновесным. Попробуем найти такое распределение вероятностей, при котором эта энтропия максимальна. Это будет тогда, когда = 0: Не забудем, чтонаш экстремум условный, его нужно искать (шевелить распределение вероятностей ) при услови- )︂(︂∑︀∑︀∑︀∑︀ях = 1, = .

Тогда, действуя методом множителей Лагранжа, + + =0 → ln + + + = 0 → = exp (−1 + + ). Получаем распределение Гиббса.(ДОПИНФА: Происхождение метода множителей Лагранжа таково: если мы смотрим на топографическую карту и ищем вершину «горки» = (,), то это точка, где ∇ = 0. А если мы ищемусловный экстремум, то есть высшее место на «тропинке» (,) = 0, то это точка, в которой градиент «горки» параллелен градиенту «тропинки» ∇ ‖∇; или ∇( + ) = 0.)ˆРаспределение Гиббса можно получить и на языке операторов: = −Spˆ ln , 1 = Spˆ. = Spˆ.ˆ = 0 → Sp ˆ(− ln ˆ − 1 + + )ˆ = 0 → ˆ = exp (−1 + + ).ˆ(−Spˆ ln ˆ + Spˆ + Spˆ)2712.

Канонич. распр-е Гиббса. Стат. сумма и свободная энергия . Распр-е макроскопической сис-мы по состояниям () и по энергии ().Наша система вместе с термостатом является замкнутой (полной) системой и, соответственно, имеет гамильтониан П (⃗,⃗,⃗ ,⃗ ) = (⃗,⃗) + (⃗ ,⃗ ) + ...; (⃗,⃗) ≪ ,П .

Здесь ... означает,что влиянием поверхностных слоев и взаимодействием сис-мы и термостата, как и положено втд пределе,мы пренебрегаем. Ф-я распр-я полной замкнутой системы микроканоническая: П =)︁(︁ΓПП−1((⃗,⃗) + (⃗ ,⃗ ) − П ). Для того, чтобы получить функцию распределения системы,)︁−1(︁´ΓП((⃗,⃗) +нужно «свернуть» ее по переменным термостата: (⃗,⃗) = П (⃗,⃗,⃗ ,⃗ )Γ = П/ (П −(⃗,⃗))(П −(⃗,⃗))= ΔΓΔΓ.

Здесь использована нормировка микрока (⃗ ,⃗ ) − П )Γ = Γ ΓП /П (П )П (П )´нонического распределения (Γ/) = ((⃗,⃗) − )Γ′ . Поскольку ∆Γ = exp ( (П − (⃗,⃗))),разлагаем экспонентув ряд по малому(︁)︁ параметру и сохраняем только первую поправку по ≪ П :(⃗,⃗) ∝ exp (П ) − (⃗,⃗) ∝ exp (− (⃗,⃗) ).

Итак, функция распределения: (⃗,⃗) = −1 exp (− (⃗,⃗) ). Нормировочный множитель здесь называется статистической суммой: =´,⃗)exp (− (⃗,⃗) )Γ′ . Нормировочный множитель можно ещё ввести по-другому (⃗,⃗) = exp −(⃗мы позже убедимся, что при такой записи - это свободная энергия системы.Гениальность метода Гиббса заключается в том, что на квантовом языке всё повторяется дословно,только вместо интегралов по фазовому пространству появляются суммы по квантовым состояниям.Действительно, переход к квазиклассике (если бы мы исходно писали на языке матрицы плотности,а не пошлиу наглядности классической статистики) осуществляется правилом сумми´ поводу∑︀ бы на⃗⃗рования ...

= ... (2~)3 ! . Итак, наша система вместе с термостатом является замкнутой системойˆП = ˆ +ˆ + ...; П = + и, соответственно, + ... Как и ранее, многоточие означает слабоевзаимодействие между подсистемами, которым мы пренебрегаем. Достаточно слабое, чтобы не учитывать его вклад в суммы, но, всё же ненулевое, чтобы могло устанавливаться тепловое равновесие.Микроканоническое распределение замкнутой полной системы на квантовом языке запишется как:П( П ) = ∆Γ−1< + ∆, ( П ) = 0 вне слоя, где ∆ΓП - статистический вес, чисП , в слое < ло способов, которыми можно реализовать условный энергетический интервал квантовых состоянийсистемы ∆, который мы принимаем за данное макросостояние П -системы.Если спектр отчетливодискретен, то можно полагать ∆ = 0. Нас интересует распределение нашей системы при лю∑︀1бом состоянии термостата, т.е.

=∑︀( + ) =состояния при кот-ыхΔΓП. Таковых состояний термостата,при которых энергия нашей системы , а энергия термостата, соответственно, П − имеетсяП ( − )∆Γ ( П − ) штук; итак, как и в классике ( ) = ΔΓΔΓ. Вспоминая определения энтроПП ( )пии (принцип Больцмана) = ln ∆Γ, получаем: ( ) ∝ exp ( ( П − )). Учитывая, что нашасистема мала по сравнению с термостатом ≪ П , мы можем разложить показатель экспоненты: ( П − ) = ( П ) − ( П ) · . Далее, обозначая температуру термостата (без индекса «Т»)1= ( П ), получаем каноническое распределение Гиббса: ( ) = −1 exp − = exp −и всё, что было сказано о нём выше. Итак, в энергетическомпредставлении матрица плотности диа∑︀гональна = −1 exp − , стат сумма: =exp − , свободная энергия: = − ln .

(А в^операторном представлении общего вида, когда гамильтониан недиагонален ˆ = exp − , Spˆ = 1.)Перейдемотраспределенияпосостояниямкраспределениюпоэнергиям.Поправилусуммирова´∑︀ΓΓния:... ( ) = ...() . () = () . (Как такие непохожие «по виду» функции как-функция (в микроканоническом ансамбле) и экспонента (в каноническом) описывают одну и ту жефизику? Дело в том, что Γ/ настолько резко возрастающая функция, что помноженная на экспоненту дает резкий максимум при ′ = . Проиллюстрируем это на примере идеального больцманов33En3Nского газа, когда Γ( ) ∝ 2 , и ( ) ∝ − 2 .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,44 Mb
Материал
Высшее учебное заведение

Список файлов ответов (шпаргалок)

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6511
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее