Экзамен (LaTex) (1183685), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Определенный так ансамбль называется микроканоническим. Квантовыесостояния макроскопической системы будем весьма условно и сугубо символически представлятьсебе точками в фазовом пространстве. Таким образом, данное макросостояние ,, реализуютвсе микросостояния системы, попавшие в слой < (⃗,⃗) < + ∆.

Гиббс предположил, чтофункция распределения постоянна в этом слое фазового пространства, что все микросостояния равновероятны, раз они реализуют одно макросостояние ,, . Фактически, это простейшее (оно жеединственное) предположение, которое мы можем сделать: все микросостояния равноправны, никакое не выделено, а точка, изображающая систему из ансамбля, в ходе своего сложного и запутанногодвижения в слое < (⃗,⃗) < + ∆ абсолютно случайно оказывается то в одном, то в другоммикросостоянии и равномерно посещает все места этого слоя. Это похоже на распределение «игральной кости» с ∆Γ гранями.

Вывести это предположение из механики, естественно, невозможно, онооправдывается блестящим соответствием всех его следствий эксперименту. Итак, микроканоническоераспределение имеет вид:{︃∆Γ−1 , в слое < (⃗,⃗) < + ∆(⃗,⃗) =0,вне этого слояУчитывая чрезвычайную малость толщины слоя, в пределе ∆ → 0 (в классике этот переход очевиден, а в квантовой статистике легко оправдывается огромной величиной ) получаем, естественно, - функцию Дирака. С той же точностью, микроканоническое распределение можно представить ввиде:)︂−1(︂Γ((⃗,⃗) − )(⃗,⃗) =Γ - число состояний макроскопической системы с энергией, меньшей , Γ/ - плотность числа состояний с энергией .

Коэффициент пропорциональности микроканонического распределения = ( −) легко вычислить, записав условие его нормировки и перейдя от интегрирования по нормированным элементам фазового объема к интегрированию по изоэнергетическим слоям. Так, в микроканоническом ансамбле всё определяется одной главной функцией - числом состояний Γ(,, ).2510. Число состояний, статистический вес и статистическая энтропия Больцмана.Замкнутая макроскопическая система гамильтонова, то есть у нее заданы ,, .

Но энергия задана не в механическом, а в статистическом смысле. А именно, энергия задана для всего ансамбля, каждая же конкретная копия в фазовом пространстве находится в слое изоэнергетическихповерхностей от до + ∆. Определенный так ансамбль называется микроканоническим. Сразу бросается в глаза, что при таком определении неясно, из каких соображений выбрать величину∆. Ниже мы поговорим о ∆ подробнее. Квантовые состояния макроскопической системы будемвесьма условно и сугубо символически представлять себе точками в фазовом пространстве. Такимобразом, данное макросостояние ,, реализуют все микросостояния системы, попавшие в слой < (⃗,⃗) < + ∆. Сколько их там, в этом слое? Введём Γ() - число состояний макроскопической системы с энергией, меньшей и Γ()/ - плотность числа состояний с энергией .

Тогда,Γ∆ состояний, гдев выделенном нами пока «произвольно» слое будет ∆Γ = ˆ⃗⃗∆Γ =(2~)3 !<(⃗,⃗)<+ΔПринято говорить, что ∆Γ ≡ статичтический вес состояния системы. Популярная мнемоническаясчиталочка такова: статистический вес - это число микросостояний, реализующих данное макросостояние с ,, .В микроканоническом ансамбле надо ввести энтропию макроскопической системы. Как это сделать?При релаксации к равновесию система стремится прийти в наиболее вероятное состояние из всехвозможных.

Эта вероятность пропорциональна числу «благоприятных исходов», то есть, статистическому весу ∆Γ. В этом и заключается «принцип Больцмана»: система стремится к наиболее вероятному состоянию. Поскольку в термодинамике удобнее иметь дело не с мультипликативными, а саддитивными величинами, то в качестве меры этого стремления к упорядоченности следует рассмотреть логарифм статистического веса. Это и будет энтропия по Больцману (больцмановскаяэнтропия, хотя придумал её тоже Гиббс) ln ΔΓ = S = ln Γ. Второй способ удобен при рассмотрениясистем с квазинепрерывным спектром.

Если обратить соотношение, то получим эквивалентную формулировку «принципа Больцмана» ∝ , играющую важную роль в теории флуктуаций.2611. Статистическая энтропия Гиббса. Ее экстремальность для распределения Гиббса.Функция распределения Гиббса для канонического ансамбля: ( ) = exp −. Усредним теперьлогарифм функции распределениия. Это позволит нам ввести определение энтропии.

Действительно,⟩= −. Таким образом, информационная (статистическая) энтропия Гиббса:⟨ln ⟩ ∑︀= −⟨ = − ln . Это определение в равновесном случае, разумеется, эквивалентно термодинамическому (() =´0) ()и больцмановскому ( = ln Γ). Но, в отличии от последних, легко допускаетобобщение на неравновесные состояния. Свое название она получила в связи с тем, что только знаком отличается от информации, содержащйся в распределении.Сначала пусть распределение будет неравновесным. Попробуем найти такое распределение вероятностей, при котором эта энтропия максимальна. Это будет тогда, когда = 0: Не забудем, чтонаш экстремум условный, его нужно искать (шевелить распределение вероятностей ) при услови- )︂(︂∑︀∑︀∑︀∑︀ях = 1, = .

Тогда, действуя методом множителей Лагранжа, + + =0 → ln + + + = 0 → = exp (−1 + + ). Получаем распределение Гиббса.(ДОПИНФА: Происхождение метода множителей Лагранжа таково: если мы смотрим на топографическую карту и ищем вершину «горки» = (,), то это точка, где ∇ = 0. А если мы ищемусловный экстремум, то есть высшее место на «тропинке» (,) = 0, то это точка, в которой градиент «горки» параллелен градиенту «тропинки» ∇ ‖∇; или ∇( + ) = 0.)ˆРаспределение Гиббса можно получить и на языке операторов: = −Spˆ ln , 1 = Spˆ. = Spˆ.ˆ = 0 → Sp ˆ(− ln ˆ − 1 + + )ˆ = 0 → ˆ = exp (−1 + + ).ˆ(−Spˆ ln ˆ + Spˆ + Spˆ)2712.

Канонич. распр-е Гиббса. Стат. сумма и свободная энергия . Распр-е макроскопической сис-мы по состояниям () и по энергии ().Наша система вместе с термостатом является замкнутой (полной) системой и, соответственно, имеет гамильтониан П (⃗,⃗,⃗ ,⃗ ) = (⃗,⃗) + (⃗ ,⃗ ) + ...; (⃗,⃗) ≪ ,П .

Здесь ... означает,что влиянием поверхностных слоев и взаимодействием сис-мы и термостата, как и положено втд пределе,мы пренебрегаем. Ф-я распр-я полной замкнутой системы микроканоническая: П =)︁(︁ΓПП−1((⃗,⃗) + (⃗ ,⃗ ) − П ). Для того, чтобы получить функцию распределения системы,)︁−1(︁´ΓП((⃗,⃗) +нужно «свернуть» ее по переменным термостата: (⃗,⃗) = П (⃗,⃗,⃗ ,⃗ )Γ = П/ (П −(⃗,⃗))(П −(⃗,⃗))= ΔΓΔΓ.

Здесь использована нормировка микрока (⃗ ,⃗ ) − П )Γ = Γ ΓП /П (П )П (П )´нонического распределения (Γ/) = ((⃗,⃗) − )Γ′ . Поскольку ∆Γ = exp ( (П − (⃗,⃗))),разлагаем экспонентув ряд по малому(︁)︁ параметру и сохраняем только первую поправку по ≪ П :(⃗,⃗) ∝ exp (П ) − (⃗,⃗) ∝ exp (− (⃗,⃗) ).

Итак, функция распределения: (⃗,⃗) = −1 exp (− (⃗,⃗) ). Нормировочный множитель здесь называется статистической суммой: =´,⃗)exp (− (⃗,⃗) )Γ′ . Нормировочный множитель можно ещё ввести по-другому (⃗,⃗) = exp −(⃗мы позже убедимся, что при такой записи - это свободная энергия системы.Гениальность метода Гиббса заключается в том, что на квантовом языке всё повторяется дословно,только вместо интегралов по фазовому пространству появляются суммы по квантовым состояниям.Действительно, переход к квазиклассике (если бы мы исходно писали на языке матрицы плотности,а не пошлиу наглядности классической статистики) осуществляется правилом сумми´ поводу∑︀ бы на⃗⃗рования ...

= ... (2~)3 ! . Итак, наша система вместе с термостатом является замкнутой системойˆП = ˆ +ˆ + ...; П = + и, соответственно, + ... Как и ранее, многоточие означает слабоевзаимодействие между подсистемами, которым мы пренебрегаем. Достаточно слабое, чтобы не учитывать его вклад в суммы, но, всё же ненулевое, чтобы могло устанавливаться тепловое равновесие.Микроканоническое распределение замкнутой полной системы на квантовом языке запишется как:П( П ) = ∆Γ−1< + ∆, ( П ) = 0 вне слоя, где ∆ΓП - статистический вес, чисП , в слое < ло способов, которыми можно реализовать условный энергетический интервал квантовых состоянийсистемы ∆, который мы принимаем за данное макросостояние П -системы.Если спектр отчетливодискретен, то можно полагать ∆ = 0. Нас интересует распределение нашей системы при лю∑︀1бом состоянии термостата, т.е.

=∑︀( + ) =состояния при кот-ыхΔΓП. Таковых состояний термостата,при которых энергия нашей системы , а энергия термостата, соответственно, П − имеетсяП ( − )∆Γ ( П − ) штук; итак, как и в классике ( ) = ΔΓΔΓ. Вспоминая определения энтроПП ( )пии (принцип Больцмана) = ln ∆Γ, получаем: ( ) ∝ exp ( ( П − )). Учитывая, что нашасистема мала по сравнению с термостатом ≪ П , мы можем разложить показатель экспоненты: ( П − ) = ( П ) − ( П ) · . Далее, обозначая температуру термостата (без индекса «Т»)1= ( П ), получаем каноническое распределение Гиббса: ( ) = −1 exp − = exp −и всё, что было сказано о нём выше. Итак, в энергетическомпредставлении матрица плотности диа∑︀гональна = −1 exp − , стат сумма: =exp − , свободная энергия: = − ln .

(А в^операторном представлении общего вида, когда гамильтониан недиагонален ˆ = exp − , Spˆ = 1.)Перейдемотраспределенияпосостояниямкраспределениюпоэнергиям.Поправилусуммирова´∑︀ΓΓния:... ( ) = ...() . () = () . (Как такие непохожие «по виду» функции как-функция (в микроканоническом ансамбле) и экспонента (в каноническом) описывают одну и ту жефизику? Дело в том, что Γ/ настолько резко возрастающая функция, что помноженная на экспоненту дает резкий максимум при ′ = . Проиллюстрируем это на примере идеального больцманов33En3Nского газа, когда Γ( ) ∝ 2 , и ( ) ∝ − 2 .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)