Экзамен (LaTex) (1183685)
Текст из файла
Улыбнитесь, пока катаете! Вас снимает скрытая камера.Федотова МарияМуталова Ренатапри поддержкеКараваевой НаталииБерезутского АлександраБедраня Захарапредставляют4 июня 2017 г.1Задачи(︀ )︀(︀ )︀1. Как связаны адиабатическая V= (V,S)и изотермическая V= (V,T)сжимаемоP S(P,S)P T(P,T)сти? CP и CV заданы.
(︀ )︀(︀ )︀ ),=. = ⇔ (, ) = (, ) ⇒ (, ) = (,(,) = (, ). = (︀ )︀)= ⇔ (, ) = (, ) ⇒ (, ) = (,(︀ )︀(︀ )︀(, )(, )(, ) /(, ) (,)(, ) (, )=.===;==⇒(, )(, )(, ) /(, ) (,)(, ) (, ) (︀ T )︀2. Вычислите величину магнитокалорического эффекта Hпри адиабатическом разSAмагничивании парамагнетика с = T и теплоемкостью CH = BT3 . Каков знак эффекта?(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀ (︀ )︀ = + = 0; = − (/); = = 2 ;= ; = − (/ ) (︀ )︀(︀ )︀(︀)︀(︀)︀21 = = − , ; = − = ==−⇒= = 24. 2 200´´ (︀ )︀ 2 = = − 204 < 0Определим знак: ∆ =4 003. Запишите "первое начало"для потенциалов энергии E, энтропии S и объема V и разделите эти величины под дифференциалами на полное число частиц N. Считая числочастиц также переменным, получите выражение для потенциала Гиббса Ф и химического потенциала (︀.
)︀(︀ )︀(︀ )︀ = − . − 2 = − − + = − . 22(︀)︀+ ( − + ) = ( − + ). = − + = − + − →− + , Φ = = − + →=(︀ )︀4. Изобарический коэффициент объемного расширения резины отрицателен V< 0.T P(︀ V )︀Учитывая, что (T,S) = (P,V), P T < 0,CV > 0, определите знак ее адиабатического ко(︀ )︀эффициента объемного расширения V: быстро растянутый и приложенный к губамT Sрезиновый жгут покажется теплым или прохладным?>0 (︀ <0)︀ (︀ <0)︀(︀ )︀(,)(,)(,) (, ) (, ) (, ) => 0. Покажется тёплым==== (,)(, )(, ) (, ) (, ) (, ) ( > 0)5.
Теплоемкость двухуровневых атомов имеет резкий максимум. Найдите его характерные температуру и ширину, если верхний уровень атомов с энергией сильно вырожденln g ≫ 1 , а нижний уровень с энергией 0 невырожден.|⟩ − − − g кр-ть выр-я; n атомов|0⟩ − − − 1 кр-ть выр-я; N-n атомов(︀ )︀! . = ln ∆Γ, ! ∼ ∆Γ = !(−)! = ln ! + ln − ln ! − ln ( − )! = ln − + ln − ln + − ( − ) ln ( − ) + − = ln − + ln (−) . 1 = = → = (︀)︀( −)= − ( −)+ ( −) − 2 = − + ln ( −)− − = ln ( −)2 + ln(︀)︀//( − ) = → + = . = / + .(︀ )︀22 /12 1 = = = /1 2 / 2 = 2 /2 =2 = 22 =2/2 +−/2−1/2 /2 + 1/2 −/2++()()()()22 11= 2 2 (/2 − +−/2 + )24ch2 ( 2−)[︁(︀ )︀]︁22 12 −2Ищем при которых: =0.=−+sh(−)− 2 2 = 02332424ch ( 2 −)ch ( 2 −)(︀)︀th( −)3−2 1= 44 ch2 ( 1 −) th 2 − .
= 22→ 2 = −, = 2 − .2 3 ch2 ( −)+−221+ 21− 22/ −ln 1+ 2 ==. / = + 1− 2 . ln ≫ 1 → , при которой´∞2≃ ∆ = (∞) − (0) ≃ . = ln→ ∆ ≃ ln42 02= 0, равна ≃.ln 6. Запишите выражения для свободной энергии F системы с энергетическими уровнями(︀ F )︀ En в каноническом ансамбле. Прямым дифференцированием по T покажите, что= −S , то есть dF = −SdT + ... Воспользуйтесь распределением Гиббса и тем, чтоT V⟨En ⟩ = E.∑︀ − /∑︀ − / ∑︀ (︀ )︀ − /11∑︀ = − ln , = . = − ln − =−ln−.⟨⟩== .2− /(︀ )︀= − → = − = + → = − 7.
Запишите выражения для свободной энергии F() системы с энергетическими уровнями En () в каноническомансамбле.(︀ )︀(︀ E )︀ Прямым дифференцированием по покажите,что обобщенная сила Fравна. Воспользуйтесь распределением Гиббса и тем, T Tчто ⟨En ⟩ = E .
Выберите в качествепараметра объем = V . Покажите, что обобщенной(︀ F )︀силой в этом случае будет V T = −P , то есть dF = −PdV + ....(︀ )︀(︀ )︀∑︀ (︁ () )︁ − / 1∑︀ − / (︀ )︀1− =.=→= = − ln , =. = − (︀ )︀= − 8. Вычислите теплоемкость системы невзаимодействующих осцилляторов при T ≪ ~ .ВоспользуйтесьраспределениемГиббса.)︂(︂∞∑︀− ~~ (+ 12 )~ 1~ 3= − 2 + − 2 + ... = −2~ = ~ 1 − ~ = 2sh1~ . = , = − ln ==exp − 1− 2 − 22=0 (︀)︀~− ln(︀ 2sh)︀ 2(︀ ~ )︀~~= − ln (...) − 2sh1~ 2ch 2− 2 2 = − ln (...) + 2 ~cth 2 = − 2 2(︁(︁)︁ (︀)︁~ (︀(︀ ~ )︀2 1)︀)︀2ch 2~~1~~− sh21~ − 2= − 2sh ~+ 2 ~= 2 ~ 2 = − 2− 2 ~2 cth 2~ .2222 ~ = 2sh 2sh2 22(︀ ~ )︀22 − ~ ≪ ~ → = 2 29. N атомов идеального больцман.
газа находится в гармонической ловушке U(r) = m2 rпри температуре T. Найдите концентрацию n(0) в центре ловушки и оцените температуру TB , нижеесли атомы - бозоны.(︁ которой)︁ ´ начнется бозе-конденсация,´ − 2 2 2 2() = (0) exp − 2 . () = = (0) 2 = (0).√/2‖(︁√︁)︁3 ´∞√ 2(︀ 2 )︀3/2 −3 ´∞ − √(︀ 2 )︀3/22 1−2 2−( 2 ) 42 = 4=2 = 2 000(︁ 2 )︁3/2(︀ )︀2 2~2 2/3= ~ 2/3 Это равенство получается из условия равенства.≃(0) = выр2 2(︀ )︀−1/3ℎи среднего расстояния между частицами длины волны Де-Бройля = ℎ = √2=´∞310.
Найдите теплоемкость больцмановского газа, состоящего из -атомных молекул. Как с ростом температуры изменяется по мере возбуждения поступательных,вращательных и колебательных степеней свободы молекул?При низких температурах молекулы газа обладают только поступательными степенями свободы,при средних температурах - поступательными и вращательными степенями свободы, а при высокихтемпературах - поступательными, вращательными и колебательными степенями свободы. При этом,переход от одного числа степеней свободы к их другому числу осуществляется скачкообразно.
Изменение числа степеней свободы приводит к изменению теплоемкостей газа.1) Поступательные степени свободы. Запишем стат.сумму системы Z через одночастичные стат. суммы z 2()=> = − ln= − ln ; = − ln ; = −=!! 2´ ¯¯ − 2 − ()2 для одн. поступательной стат.
суммы имеем: пост = (2~)= в отсутствие внешнего поля3(︂ ∞)︂3(︀ )︀(︀ )︀3/2´ − 23/2 3/2 2 = 8~=> = − ln 3/2 ; =потен. эн. ноль = (2~)= (2~)33 (2 )240(︀ )︀3/2 22333/2;=−ln− 13/2 3 1/2 = − ln 3/2 − 23 ; 2 = − 2 => = − 2 = 28~222) Колебательные степени свободы рассматриваем так же, но изменяется вид одночастичной стат.∞(︀ ~ )︀(︀ ~ )︀2 −2 (︀ ~ )︀∑︀~(+1/2), следовательно кол = 2shсуммы.
Теперь она имеет вид кол =− = 21 sh−1 220Откуда заключаем, что температура вырождения колебательной степени свободы есть кол = ~.При высоких температурах кол = 1.3) Вращательные степени свободы. Аналогично, записываем одночаст. стат.
сумму∞∑︀~2 (+1)вр =(2 + 1)− 2 , где I - момент инерции молекулы. Вычислить аналитически не можем,0можем асимптотическиПри малых T значительный вклад дают лишь первые члены: вр =(︁ 2 )︁ оценить.~2~2~− − 1 + 3; вр = 3 , при больших температурах >> ~2 /2 сумму можно заменить наинтеграл, что даёт вр = 2; вр = 1. Таким образом, вр = ~2 /2 является температурой вырождения~2для вращения.Таким образом, мы рассмотрели основные типы степеней свободы и итоговая график теплоёмкостиимеет вид:В случае реальной n-атомной молекулы возможны различные наборы колебательных и вращательных степеней свободы, учесть их можно аналогично.411.
Найдите степень ионизации ( ) одноатомного больцман. газа с энергией ионизации . при∑︀какой температуре ионизации , начинается существенная ионизация. + . = 0, = 1, = = −1 → = + . Хим потенциал больцмановского газа)︂(︂(︁ 2 )︁3/2(︁ 2 )︁3/22~2~0 / = 0 + ln 0 .
Подставим в условие равновесия реакции,= ln 0 сократим и ln. При этом будем считать = ≫ , = = , + = 0 . Тогда сможемсократить еще скобки. В итоге получим1 20 − 0 /=0 0 0(︂2~2 )︂3/2(0 +0 )/Поделим это на 02 и введем = /0 = /0 , 0 + 0 − 0 = 20 0=1−0(︂выр)︂3/2−/2; выр = 2~(︂0)︂2/3/2Существенная ионизация происходит при ∼ 1, ln 1−=0→0 0; ( ) = =ln ( )0(︂выр)︂3/212. Вычислите температуру бозе-конденсации TB идеального ультрарелятивистского газа.
Воспользуйтесь условием на полное число частиц N в пространстве импульсов(︀ )︀3´∞´∞ (︀ )︀3 2 (3) (︀ )︀3414= = 0. = (2~)42 /=2!(3)=3331−(2~) −1(2~) 2 ~300(︁ 2 3 )︁1/3 ~ = (3)13. Вычислите температурную зависимость теплоемкости CV идеального ультрарелятивистского бозе-газа при T < TB .(︀ )︀4´∞ ´∞ ´∞ (︀ )︀4 3 (4) 444 4 22 = 0.
= (2~)4=== (2~)6(4) = 33333(2~)(2~) −1 2 ~3 3/ −1/ −1000(︀ )︀(4) 3= ( ) = 12 2 ~3 3514. Найдите энергию Ферми F идеального ультрарелятивистского ферми-газа. Вычислите его химпотенциал и энергию E в вырожденном состоянии (T ≪ F ) с точностью(︁ )︁2´∞´2 2∼ TF включительно. Воспользуйтесь разложением exp f ()d=f ()d + 6T f ′ () + ....−+1()T00. Вычислите теплоемкость газа CV и выясните, при какой температуре CNV ∼ 1.=(2~)3ˆ∞01−442 =(2~)3+1ˆ∞02 −4; =(2~)3+1ˆ∞03 −(1)+1Теперь при T=0 все фермионы заполняют сферу Ферми и распределение имеет вид ступенькибез размытия, а хим. потенциал равен энергии Ферми.
В таком случае, интегралы берутся легко.4=(2~)3ˆ(0)2 =4 3 (0); = (0) =(2~)3 3(︂3 (2~)34)︂1/3(︂= 2~3 4 )︂1/30(доп.инфа:0 = 53 ).Теперь ̸= 0, ≪ . Ступенька при конечной температуре размывается.´∞´∞ ()2= () + 6 2 ′ () + ... логика еёДля вычисления интегралов используется формула−0 +10вывода такова: рассматриватся разность между текущей функцией распределения и ступенькой,затем она домножается на (), получившаяся функция раскладывается в ряд тейлора до первогопорядка и интегрируется.Используем эту формулу для уравнений (1) и получим:⎡ ⎤)︂(︂(︂ 3)︂ˆ∞ˆ2 22 2 24 32 2 4 ⎣442⎦ +2 =+=1+ 2≈=−(2~)3(2~)36(2~)3 33(2~)3 3 +100⎞1/3⎛С необходимой точностью имеем: ≈ ⎝33(︂(2~) )︂ ⎠2 24 1+ 2≈ 2~(︁34(︁1−2 22)︁)︁1/3(︁≈ 1 −2 232)︁Применяя формулу интегрирования к уравнению для энергии, подставив туда известный хим.
потенциал имеем⎤⎡ [︂]︂ˆ∞ˆ3244 ⎣3 2 2 ⎦4 42 2 2 4 43=≈+=1+· [1+≈−(2~)3(2~)36(2~)3 42(2~)3 4 +10+2 2 2]︂20(︂)︂4 (︂)︂[︂]︂[︂]︂ 42 22 2 2 44 2 2 2 2 2 42 2 2≈1−1+≈1−+=1+(2~)3322(2~)3322(2~)332(︂)︂4 3 2 22 === ;= ∼1→ = 233 3(2~)6(~)615. Найдите энергию Ферми F идеального нерелятивистского ферми-газа. Вычис(︁ )︁2лите его химпотенциал и энергию E в вырожденном состоянии с точностью ∼ TF´∞ f ()d´2 2включительно.
Воспользуйтесь разложением=f ()d + 6T f ′ () + .... . Вы−exp ( T )+100числите теплоемкость газа CV и выясните, при какой температуре CNV ∼ 1.(2 + 1)=(2~)3ˆ∞0где =(2+1)3/2√2 2 ~ˆ∞12 /2−4 = +1и произведена подстановка =(2 + 1)=(2~)3ˆ∞0022−+1(1). Аналогично делаем для энергии:ˆ∞()2 /2−√2√24 = +10−+1(2)Теперь при T=0 все фермионы заполняют сферу Ферми и распределение имеет вид ступеньки безразмытия, а хим. потенциал равен энергии Ферми. В таком случае, интегралы берутся легко.(︂)︂2/3ˆ(0)√23 3/2 = (0) ; (0) = = = 32 0(доп.инфа:0 = 35 ).Теперь ̸= 0, ≪ . Ступенька при конечной температуре размывается.´∞ ()´∞2Для вычисления интегралов используется формула= () + 6 2 ′ () + ... логика её−0 +10вывода такова: рассматриватся разность между текущей функцией распределения и ступенькой,затем она домножается на (), получившаяся функция раскладывается в ряд тейлора до первогопорядка и интегрируется.Используем эту формулу для уравнений (1) и (2) и получим:)︃(︃(︃)︃(︂ )︂2(︂)︂222252+ ...
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
