Экзамен (LaTex) (1183685), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Действительно, это так. Как мы видим, из ∆ вычтена линейная по отклонениям ∆, ∆ , ∆ часть. Оставшуюся квадратичную форму можно представить в виде ∆П =−Δ Δ+Δ Δ −ΔΔ. В этом можно убедиться следующим образом: ∆ = ′ ∆ + 12 ′′ (∆)2 + ... . Если2ввести переменную = ′ , то ∆ = ∆ + 12 ∆∆ + .... У нас - это , а - это (,, ), причём ′ это (,−,). Итак, вероятность флуктуации: w ∝ exp −ΔTΔS+ΔPΔV−ΔΔN. Ещё раз подчеркнём2Tфизический смысл этого результата. При флуктуации системы происходит неравновесное изменение∆ по ,,,.... Но есть другие внутренние параметры системы Λ , которые также флуктуируют.Так что всё вместе в системе во время флуктуации происходит «квазиравновесно».
Кроме того, важно подчеркнуть, что при флуктуации в системе какого-нибудь параметра Λ вероятность отклонения(Λ ) ∝ exp − ΔT, определяется изменением того термодинамического потенциала, который соответствует заданным условиям (ансамблю): ∆T = {∆ (,,,Λ ); ∆Φ(,,,Λ ); ∆Ω(,,,Λ ); ...}. Этоещё раз подчёркивает, что вопросы устойчивости, максимальности энтропии и флуктуаций тесносвязаны. Теперь вычислим конкретные среднеквадратичные отклонения и корреляторы.1) Рассмотрим систему в термостатес постояннымчастиц и с переменным объёмом)︀(︀ числом(︀ )︀2 = −T V∆,,гдепроизводная ( / ), являетсяΔV : ∆ = 0, ∆ = 0, ∆ = P T,N,сжимаемостью.2) Рассмотрим систему в термостате с переменнымчислом частиц и постоянным объемом:∆ =(︁ )︁(︀ )︀0, ∆ = 0, ∆ = , ∆ , ΔN2 = T N.T,V3) Рассмотрим ещё формально, в духе замечания о замене переменных, флуктирующую температуру : у системы заданычастиц ∆ = 0, ∆ = 0, но возможен обмен энергией(︀ )︀ объем и число22с термостатом ∆ = , ∆ , ΔT = T · C−1V .Перекрёстные флуктуации (корреляторы) получаются, если брать не по одной, а по две независимыхпеременных.
И последнее замечание: в квазитермодинамическом подходе выбор независимых переменных, описывающих состояние системы, произволен. А в методе ансамблей Гиббса – нет. Поэтомув некоторых случаях предсказания этих двух теорий для корреляторов расходятся. Например, изпринципа Больцмана следует, что ∆ ∆ = − , а по теории ансамблей ∆ ∆ = 0.4332. Флуктуации параметра порядка. Критерий применимости теории «среднего поля». Число Леванюка .Напомним основную идею теории «среднего поля» Ландау. Разложение термодинамического потенциала по параметру порядка удобнее всего производить для Ω-потенциала. Пусть вещество находитсяв объёме и может обмениваться частицами с термостатом.
Тогда, в самом общем виде, разложение Ландау есть Ω(,,) = Ω0 (,) + 2 + 2 4 − ℎ · , здесь Ω0 (,) – часть Ω-потенциала,не связанная с переходом; – параметр порядка; ℎ – внешнее поле; , > 0 – константы; = − – температура. Равновесное (спонтанное) значение однородного параметра порядка определяется, < 0 - несимметричнаяминимумом потенциала Ω/ = 0, ( + 2 ) = 0, что даёт 02 = ||фаза, 02 = 0, > 0 - симметричная фаза. В присутствии поля ( + 2 ) = ℎ для восприимчивости = ( ℎ)ℎ=0 , = 1/(2 + 602 ); получим закон Кюри-Вейсса: = 1/(2) при > 0, = 1/(4||) при < 0 Рассмотрим флуктуации параметра порядка. ∼ exp(−∆Ω(,,,)/ )(принцип Больцмана)(︁ Для)︁ отклонения = − 0 с учётом максимальности потенциала полу22 2чаем: Ω = + 21 Ω2 2 + ..., ∆Ω = 2 (2 + 602 ) = 2.
Для флуктуации пара0Tcметра порядка получаем: 2 ∼ TVc ∼ aV|t|, т.е., казалось бы, флуктуации параметра порядкавблизи расходится. Рассмотрим этот вопрос подробнее. При → среднеквадратичное отклонение 2 растёт ∝ −1 . Казалось бы, рост флуктуаций должен ограничиться высшей степеньюпотенциала ∝ 4 . На самом деле, более сильное ограничение связано с тем, что вблизи ≈ флуктуации становятся сильно пространственно неоднородными.
В точке перехода = обращаются в нуль вторая и третья производные Ω. Возникают большие флуктуации, причем важно, что в реальных системах эти флуктуации ещё и различны в различных точках пространства.Сильная неоднородность системы приводит к необходимости ввести в Ω-потенциал градиентные2члены. Главными будутпорядка ∝ (∇), а Ω-потенциал превращается в функционал:]︀´ [︀ слагаемые422Ω(,,) = Ω0 (,) + + 2 + (∇) − ℎ · . При приближении к точке перехода → слева флуктуации велики, «дальний порядок» в системе исчезает и пространство разбивается наобласти неоднородности параметра порядка. Качественно представляется правдоподобным, что пространственный масштаб неоднородности параметра порядка (корреляционная длина), т.е. размер областей, на которые он «расслоится», определяется условием того, что градиентное слагаемое(∇)2 ∼ ()2 −2 становится порядка остальных вкладов в отклонение Ω-потенциала от минимума(︁ )︁1/22∼ ||() ; то есть при ∼ ||. Итак, при флуктуациях параметра порядка вблизи точкиперехода тело разбивается на области размера ∝ , в пределах каждой из которых флуктуации примерно одного порядка.
В различных областях значения независимы друг от друга. Значит,можно воспользоваться полученной ранее оценкой для 2 , подставив в неё в качестве объёма области величину ∝ 3 . Получаем правильную оценку для флуктуаций параметра порядка:1/2 2 ∼ Tc (a|t|).c3/2Итак, флуктуации всё-таки убывают вблизи перехода, но не так быстро, как сам параметр порядка 02 .02 = ||. Это значит, вблизи есть область температур, где флуктуации больше самого параметрапорядка, и теория «среднего поля» Ландау неприменима.
Чтобы она была применима, нужно, чтобы температура была близка к (применимо разложение в ряд), но не сильно (флуктуации малы):222 2≪ || ≪ , или, что то, же: Tacc b3 ≪ T|t|c ≪ 1.Безразмерная комбинация: Gi = Tacc b3 называется3числом (параметром) Гинзбурга-Леванюка. Это число и является критерием применимости теории Ландау по температуре. Если параметр велик, то такой области применимости нет.Например, для сверхтекучего гелия 4 – > 1 и эта теория неприменима. Для сверхпроводящихметаллов ≈ 10−10 , теория Ландау применима с огромной точностью.
У ферромагнетиков ≈ 0.1и имеет место промежуточная ситуация.4433. Гамильтониан взаимодействующих бозе- и ферми- частиц в представлении вторичного квантования.Суть заключается в «приближении неполного вторичного квантования», когда возмущение устроеноне по малому взаимодействию, как обычно, а по малому «истощению» конденсата. Рассмотрим этоподробнее, в рамках представления чисел заполнения (вторичного квантования). Как известно, гаNN∑︀∑︀p21i^ =+U(ri − rj )мильтониан системы взаимодействующих тождественных частиц H2m2i̸=ji=1в формализмезаписывается в виде∑︀ p2 + вторичного∑︀ квантования++1ˆ =ˆ ˆ + 2q ˆp1 +q ˆp2 −q ˆp1 ˆp2 , где мы воспользовались привычным базисом плос2 p pp1 ,p2 ,qволн ⟨r|p⟩ = −1/2 exp (pr/~) с импульсом p, - объем системы, а q =´ких дебройлевских3exp (+qr) (r) r - фурье-компонента потенциала парного взаимодействия.
Если частицы - бозоны, то бозе-операторы рождения и уничтожения удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям [ˆp ,ˆ+p ] = 1. Для фермионов аналогичное соотношение, но для антикоммутатора.34. Скорость боголюбовского звука в слабонеидеальном 0 ≪ / бозе-газе при нулевой температуре = 0.Рассмотрим слабонеидеальный (слабонеидеальность означает короткий радиус взаимодействия между частицами. ДОПИНФА: Тогда величина передачи импульса ≪ ~/ мала по сравнению собратной длиной рассеяния = 0 /4~) бозе-газ при температуре, значительно меньшей температуры бозе-конденсации(︁ идеальногогаза ≪ . Тогда, пренебрегая в «эффективном» га)︁∑︀∑︀ 20+ˆˆ− ˆ ˆ + 2ˆ+ˆ+ˆ1 ˆ2 надконденсатными частицамимильтониане − =′ ′ 21 +2 =′1 +′2122ˆ −ˆ = − + 0 . При низкой температуре, когда число возбуждений(ˆ+ˆ0 = 0 = ) получаем 02мало, состояние системы близко к основному, которое в большом каноническом ансамбле определяˆ − ˆ |Ψ0 ⟩.
Минимизируя «эффективный» гамильтонианется вариационным принципом Ω0 = ⟨Ψ0 |по при фиксированном , получаем для химического потенциала = 0 . Поскольку при нулевойтемпературе «эффективный» гамильтониан равен Ω-потенциалу системы Ω0 = −0 2 /2 , сразуполучаем давление неидеальногопри = 0 и гидродинамическую скорость звука в(︀ Ω )︀ U бозе-газа200Nнем: c = = ( ) − = mV .Далее ограничимся только членами второго порядка малости по ˆ и ˆ+ . Членов первого порядка+по ˆ и ˆ нет в силу закона сохранения импульса. Получаем "эффективный"гамильтониан, квад)︁)︀∑︀ (︁ 0∑︀ (︀ + +2 2 0ˆˆратичный по ˆ и ˆ+:−=−++ˆ+ˆ + 0ˆ ˆ− + ˆ ˆ−2̸=022̸=0Знаменитые « - преобразования» Боголюбова линейны и смешивают операторы частиц,^+^^ p + p b^+уходящих в конденсат и покидающих его: ^a+ap = up b−p .
Для того,p = up bp + p b−p , ^ˆчтобы новые боголюбовские операторы ˆ+ , были операторами рождения и уничтожения квазичастиц, нужно потребовать, чтобы преобразования были каноническими: сохраняли форму коммутационных соотношений [ˆ ,ˆ+ ] = 1, и, следовательно, уравнений движения Гейзенберга. Вместе стребованием диагональности гамильтониана в новых переменных, это однозначно определяет иp2− 2 )/2 . В новых переменных «эффек : 2 = (1 − 2 )−1/2 , 2 = 2 (1 − 2 )−1/2 , = (() − 2(︁)︁ˆ − ˆ = − 2 0 + 1 ∑︀ () − p2 − 0 + ∑︀ ()ˆ+ˆ гативный» гамильтониан принимает вид 22p̸=02p̸=0мильтониана новых, не взаимодействующих квазичастиц.
Это коллективныевозбуждения сла√︂(︁ 2 )︁2p. В длинноволбонеидеального вырожденного бозе-газа со спектром (p) = c2 p2 + 2mновом√︀пределе → 0 квазичастицы представляют собой кванты боголюбовского звука со скоростью = 0 / , а при больших импульсах получается квадратичный спектр свободных частиц.Таким образом, в области малых импульсов слабое взаимодействие бозонов приводит к кардинальной перестройке спектра элементарных возбуждений. При этом оказывается выполненым условиесверхтекучести. Роль критической скорости играет здесь скорость боголюбовского звука = .Бозеконденсация играет решающую роль для возникновения явления сверхтекучести.4535. Критерий Ландау сверхтекучести. Устойчивость газа квазичастиц, движущегосякак целое, по отношению к рождению новых квазичастиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
