Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Находя изуравнения (5.7) неравновесную часть функции распределения  F e( h) (k ) fe( h) (k )  qe( h) (k ) ve( h) (k ), E   0(5.8)  F0e( h) (k )  d 3k. (k )ve( h) (k ) ve( h) (k ), E  3 (2 )(5.9)и подставляя ее в (5.3), получаемje( h)  2e2k k F( k k F )  F0e( h ) (k ) Наличие сомножителя   , отличного от нуля только при  T , приводит к тому, что основной вклад в ток дают состояния, лежащие вблизи поверхности Ферми. Ограничимся исследованием изотропного случая, когда поверхность Ферми имеет вид сферы. Тогда  (k ) не зави-сит от направления вектора k и может быть вынесено за знак интеграла.Величина ve( h)  vF и также не зависит от направления вектора k .

Направление j в изотропном случае совпадает с направлением вектора E .Пусть ось z нашей системы координат параллельна вектору E , а  - уголмежду вектором k и этой осью. Поскольку групповая скорость электроновпараллельна k , а дырок - антипараллельна k , то  2 ve( h ) (k ) ve( h ) (k ), E  vF E cos2  .Окончательно имеем53je( h )  2e vF2 E2k k F( k k F )  F0e( h) ( )  d 3k.cos   3(2)2(5.10)  F e( h ) ( ) Поскольку   0 не зависит от направления вектора k , то проводя2усреднение cos  по углам, получим 1/3.

Кроме того сделаем замену переменных2  4 k 2dk(5.11)  ( F )d ,(2 )3где  ( F ) - плотность электронных состояний на поверхности Ферми. Получим  F0e( h) e2 vF2je( h )  ( F ) E   (5.12) d .30 Используя выражение (5.2), находим, что интеграл в (5.12) равен 1/2. Таким образом, электронный и дырочный вклады в плотность тока равны.Результирующая плотность тока равна сумме этих вкладов:e2 vF2 ( F )jE.3(5.13)Сравнивая это выражение с законом Ома в дифференциальной формеj   E , находим электропроводность металла  :e2 vF2 ( F ).3(5.14)Единственной величиной, которая зависит от температуры, является времярелаксации  .

Далее мы исследуем различные вклады в интеграл столкновений и найдем температурную зависимость электросопротивления металла.Теперь обратимся к процессу переноса тепла. Пусть в металле существует стационарный градиент температуры, а поля, действующие на квазичастицы, отсутствуют. Тогда в левой части уравнения (5.5) отлично отнуля только второе слагаемое.

В силу малости неравновесности оставимтолько производную от равновесной части функции распределения:54 F0e( h)  F0e( h)  T  F0e( h)(T ) j . rj T  rjT (5.15)В  -приближении кинетическое уравнение принимает видf e( h ) (k )  F0e( h).(v , T )  T  (k )(5.16)Подставляя полученную из (5.16) неравновесную часть функции распределения в формулу (5.4) и ограничиваясь исследованием изотропного случая, аналогично формуле для электропроводности получаем:Qe( h)   vF2 ( F )T3T2 F0e( h)      d .0(5.17)В исследуемом случае вектор Q антипараллелен T .

Электронный и дырочный вклады в плотность потока энергий одинаковы. Суммарная плот F ность потока энергии Q равна (в силу четности функции   0  ):   F  vF2 ( F )Q  T 2   0 d .(5.18)3TВ силу соотношения (1.24) интеграл в (5.18) равенQ vF2 ( F )T29T .23T 2 . Окончательно(5.19)Сравнивая (5.19) с феноменологическим соотношением Q  T , где  коэффициент теплопроводности, находим коэффициент теплопроводностиметалла в изотропном случае: 2 vF2 ( F )T.(5.20)95.2.

Закон Видемана-ФранцаСравним выражения (5.14) и (5.20) для коэффициентов электропроводности и теплопроводности. Легко видеть, что их отношение являетсяуниверсальной величиной, независящей от вида металла:55 2 T.3 e2(5.21)Это утверждение называется законом Видемана-Франца. Из предшествующего рассмотрения кажется, что он универсален, то есть справедлив вовсех случаях. Но это не так. Он верен, если за релаксацию неравновесности функции распределения по импульсу (волновому вектору) и по энергии ответственны одни и те же процессы.Чтобы обнаружить различия между временами релаксации по энергии и импульсу необходимо выйти за рамки  -приближения.

Качественноэто различие можно понять из следующего рассмотрения. Пусть в процессе столкновения импульс квазичастицы, переносящей заряд и энергию,изменяется несущественно, то есть частица отклоняется на малый угол от первоначального направления. При этом ее вклад в электрический токпрактически не изменяется. Но если процесс столкновения неупругий иэнергия квазичастиц изменяется сильно, то такие процессы ведут к существенному изменению вклада этой квазичастицы в плотность потока энергии. На основании изложенного можно сделать вывод, что закон Видемана-Франца справедлив, если квазичастицы участвуют только (или в основном) в упругих или квазиупругих процессах столкновений. Примером таких процессов являются процессы рассеяния электронов и дырок на статических примесях.5.3. Рассеяние на примесяхРассмотрим упругое рассеяние электронных и дырочных возбуждений на примесях.

При упругом рассеянии электрона (дырки) на примесисостояние примеси не изменяется, поэтому вследствие закона сохраненияэлектрического заряда тип возбуждения не изменяется. То есть электроностается электроном, а дырка - дыркой, хотя его (ее) квазиимпульс изменяется. Если бы электрон превращался бы в дырку (или наоборот), то нарушался бы закон сохранения электрического заряда.Пусть V (r  Ri ) - потенциальная энергия взаимодействия электрона,находящегося в точке, описываемой радиус-вектором r , с примесью, ядрокоторой расположено в точке с радиус-вектором Ri (i - номер примеси).Будем учитывать взаимодействие с примесями как возмущение.

Операторвозмущения Wimp равенWimp (r )  V (r  Ri ) ,i(5.22)56где суммирование ведется по всем примесям.Для нахождения вероятности рассеяния необходимо вычислить матричный элемент k  Wimp k , где k и k  - блоховские функции, задаваемые формулой (2.9) и описывающие электронные состояния с волновымивекторами k и k  , соответственно. После подстановки выражения (2.9) вматричный элемент получаем:k  Wimp k   exp i(k  k ) Ri   d 3ruk (r )V (r  Ri ) iuk (r )exp i(k  k )(r  Ri )  .(5.23)Если предполагать, что примеси занимают эквивалентные положения в элементарной ячейке, то в силу периодичности функций uk (r ) интеграл в правой части (5.23) не зависит от номера примеси, то есть от номераячейки, в которой она расположена.

Обозначим его Vk ,k  . Окончательноk  Wimp k  Vk ,k  exp i(k  k ) Ri  .(5.24)iДля того чтобы записать гамильтониан взаимодействия электронныхвозбуждений с примесями в терминах вторичного квантования, необходимо ввести операторы рождения и уничтожения электронов и дырок. Сначала напомним основные свойства этих операторов для ферми-частиц.Действуя на состояние n , в котором находится n частиц (согласно принципу Паули n=0,1) оператор уничтожения ферми-частицы ĉ переводит егов состояние n  1 , а именноcˆ n  n n  1 .(5.25)Оператор рождения ферми-частицы ĉ , действуя на то же состояние, переводит его в состояние n  1cˆ n  1  n n  1 .(5.26)Два оператора рождения и два оператора уничтожения антикоммутируют:cˆ1cˆ2  cˆ2cˆ1  0, cˆ1 cˆ2  cˆ2cˆ1  0 .(5.27)Кроме того, антикоммутируют операторы ĉ  и ĉ , относящиеся к различным состояниям57cˆ1 cˆ2  cˆ2cˆ1  0 .(5.28)Если же они соответствуют одному состоянию, тоcˆ1 cˆ1  cˆ1cˆ1  1 .(5.29)Будем обозначать операторы рождения и уничтожения электроновсимволами ĉ и ĉ , а дырок d̂  и d̂ .

Тогда невозмущенный гамильтонианĤ 0 и гамильтониан взаимодействия с примесями Hˆ e,imp принимают вид:Hˆ 0      (k )cˆ (k )cˆ (k )    (k )dˆ (k )dˆ (k )  , k k F k k F(5.30)где  - спиновой индекс,   1,2 соответствует проекции спина sz  1/ 2 иsz  1/ 2 .Hˆ e,imp     Vk ,k  exp i(k  k ) Ri  cˆ (k )cˆ (k )  i , k ,k kF   V k , k  exp i(k   k ) Ri  dˆ (k )dˆ (k )  .i , k ,k kF(5.31)Здесь учтено, что волновой вектор дырки противоположен волновому вектору отсутствующего электрона и то, что рождение дырки эквивалентноисчезновению электрона в данном состоянии.Теперь найдем вклад процессов рассеяния на примесях в интегралстолкновений I ст .

Для определенности рассмотрим электронные возбуждения. Пусть левая часть кинетического уравнения записана для функциираспределения электрона в состоянии с волновым вектором k и проекцией спина  . Диаграммы прямого и обратного процессов, дающих вклад винтеграл столкновений, изображены на рис.13.k ' ,k ,k ,k ' ,абРис.13.58Крест на рис. 13 соответствует примеси, а линия со стрелкой - электрону.В итоге для кристалла, объем которого принят равным 1м3 получаем:22 d 3k I ст V (2 )3 k ,k  ( (k )   (k ))   F (k )(1  F (k ))  F (k )(1  F (k ))  exp (k  k )( Ri  R j )  ,(5.32)i, jРассмотрим двойную сумму по i и j .

Если i  j , то в силу хаотичности распределения примесей по кристаллу суммирование по этим индексам даст нуль (сумма экспонент со случайными мнимыми показателями). Если же i = j , то соответствующее слагаемое равно единице, а суммирование по i даст концентрацию примесей nimp . В результате после линеаризации I ст принимает вид:I ст 22d 3k nimp V ( (k )   (k )) f (k )  f (k ) .(2 )3 k ,k (5.33)В рамках  -приближения имеем e,1imp 2d 3k V (2 )2 k ,k  ( (k )   (k )) .nimp(5.34)Поскольку нас интересуют состояния, расположенные вблизи поверхностиФерми ( (k )   F ) , то e,1imp nimp(2 ) 2d 2k 2 (k )kVk ,k  ,(5.35)интегрирование ведется по поверхности Ферми. Однако если учесть неравновесность не только на волновом векторе k , а и на волновом вектореk  , то есть уточнить  - приближение, то вместо (5.35) получаем так называемое транспортное время релаксации  etr,imp :( etr,imp )1nimp(2 )2d 2k  (k )k2(1  cos ) Vk ,k  ,(5.36)59где  - угол между векторами k и k  .

Именно транспортное время естьвремя релаксации функции распределения по импульсу, и именно оновходит в выражение для электропроводности.Теория возмущений (борновское приближение в теории рассеяния)применима, если потенциальная энергия взаимодействия электрона с примесью намного меньше его кинетической энергии k V (r )d r    .3F3FРеально же обе величины имеют атомный масштаб энергий. Поэтому попорядку величиныtre,imp1 xEат / ,(5.37)где x  nimpVяч - безразмерная концентрация примесей ( Vяч - объем элементарной ячейки), то есть доля элементарных ячеек, в которых присутствует примесь.Рассеяние на примесях дает основной вклад в электро- и теплосопротивление в области самых низких температур, когда концентрация квазичастиц мала, и рассеяние на них несущественно.

Характеристики

Список файлов книги