Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Пренебрегая для простоты поляризацией ионной решетки, будем счи-40тать, что весь электрический заряд создан избытком (или недостатком)электронов проводимости по сравнению с электронейтральной ситуацией.Тогда(4.2)  ene ,где e - элементарный заряд, а ne - избыточная концентрация электронов.Концентрация электронов ne дается формулой (1.13), в которой  - кинетическая энергия электрона.

Только теперь в функцию распределения F0мы должны подставить не кинетическую, а полную энергию электрона   (k )  e . Но поскольку в F0 входит комбинация ~   , то изменениеэнергии можно интерпретировать как замену  на   e . Считая, что eмало по сравнению с  , а также что связь между ne и  является локальной (то есть величина ne в данной точке определяется значением  в этойже точке), находимne  nee .(4.3)С учетом (4.2) и (4.3) уравнение Пуассона принимает вид e 2  ne   0 .   0(4.4)Вводя обозначение D2 e 2  ne 0 ,(4.5)приходим к уравнению   D2   0 .(4.6)Величина rD   D1 представляет собой характерное расстояние, накотором спадает потенциал, и называется радиусом экранирования Дебая.Продемонстрируем этот факт на двух примерах.1.

Пластина металла в плоском конденсатореПусть поверхности пластины расположены параллельно обкладкамконденсатора, ось х системы координат перпендикулярна обкладкам(рис.11), а начало координат расположено на плоскости симметрии пла-41стины. Тогда поверхностям пластины соответствуют координаты d, где2d - ее толщина.Сообщим обкладкам конденсатора заряд (как указано на рис.11) такой величины, что напряженность поля в зазоре имеет величину E0 .+-d /2x0d /2Рис.11.Задача расчета потенциала в такой системе является одномерной,поскольку  зависит только от х.

Уравнение (4.6) принимает вид xx   D2   0 .(4.7)Нас интересует нечетное по х решение уравнения, так как напряженностьполя Ex   x является четной функцией х. Внутри пластины оно имеетвид  0 sh( D x) ,(4.8)а значение  0 находится из граничного условия  x  E0 . Окончательно ( x)  E0 rDsh ( D x),ch( D d / 2)аE x ( x)   E0ch( D x).ch( D d / 2)(4.9)(4.10)Легко видеть, что напряженность поля убывает экспоненциально вглубь металла. Характерная глубина проникновения поля в металл равнаrD . Оценим ее величину. При T   F в нулевом приближении42n  ( F ) (предлагаем читателю показать это самостоятельно на основеF0Fраздела 1.2, учитывая, что  0 ).

Для свободных электронов  ( F )дается формулой (1.11). Тогда для величин ne  3 1028 м3 и  F  3 эВ , характерных для типичных металлов, получаем D210e2 ( F )0e2ne 0 F 1020 м2 ,oа rD  10 м  1 А .Таким образом, электрическое поле проникает в металл практическина моноатомный слой.2. Заряженная примесь в металлеРасположим ее в начале координат, и будем искать сферическисимметричное решение уравнения (4.6). В этом случае  не зависит от углов, а является только функцией расстояния r от примеси. В сферическихкоординатах уравнение (4.6) принимает вид1   2  2r   D  0 .2r r  r (4.11)Путем подстановки  (r )   (r ) / r уравнение (4.11) сводится к уравнению(4.7) относительно  (r ) .

Нас интересует только спадающее с ростом rрешение. Окончательно получаемAexp( D r ) .r(4.12)Величину А находим из условия, что при r  0 потенциал совпадает с потенциалом точечного заряда в вакууме.Действительно, вокруг положительно заряженной примеси возникает облако избыточных электронов (вокруг отрицательно заряженной - дырок), которое экранирует поле примеси. Но приближаясь к примеси, мыоставляем это облако позади и чувствуем поле только самой примеси.Следовательно A  q / 4 0 , где q - заряд примеси, а (r ) q4 0 rexp(  D r ) .(4.13)43Видно, что поле примеси спадает на расстоянии порядка rD от нее.В невырожденном электронном газе (однокомпонентной плазме),который можно описывать в рамках классической физики, величину  Dможно найти с помощью распределения Больцмана для концентрацииэлектроновne  ne(0) exp(W / T ) ,(4.14)где W  e - потенциальная энергия электрона, а ne(0) - концентрацияэлектронов в отсутствие возмущения.

Тогда в случае W  Tne  ne  ne(0)  ne(0)e / T .(4.15)Отсюда D2e 2 ne(0). 0T(4.16)4.2. Фриделевские осцилляции электронной плотностиПредшествующее рассмотрение было проведено на основе локального приближения. Оно справедливо, если масштаб  , на котором меняется электронная плотность, намного превосходит размер r0 той области вокруг заданной точки, значения потенциала в которой и определяют плотность электронов в этой точке. Но, к сожалению, в рассмотренных вышеслучаях   r0  rD . Поэтому полученные формулы являются оценкой попорядку величины.Мы не будем приводить здесь более полную теорию экранирования.Укажем только на те отличия, которые возникают при последовательномучете нелокальности.

Наряду с экспоненциально спадающей величиной ne(1) ( ne(1)   ) возникает осциллирующая с расстояния добавка  ne(2) кne . Длина волны осцилляций определяется экстремальным размером поверхности Ферми ke . В случае сферической поверхности Ферми ke = 2k F .~ 2 Соответствующая длина волны  .ke k FВ частности, вокруг примеси, которую мы расположим в начале координат, наряду с экспоненциально спадающей составляющей  ne(1) возникают фриделевские осцилляции электронной плотности44 ne(2) cos(2kF r ),r3(4.17)которые спадают только степенным образом. На больших расстояниях отпримеси экспоненциальное слагаемое затухает и  ne =  ne(2) . Именно этослагаемое обеспечивает, наряду с упругим взаимодействием, взаимноевлияние примесей на больших расстояниях: вторая примесь чувствует изменение электронной плотности, созданное первой примесью в месте расположения второй.В случае сложной поверхности Ферми длина волны осцилляций зависит от направления, то есть от ориентации вектора r относительно кристаллографических осей.4.3.

Плазменные колебанияПлазменные колебания - это коллективные колебания электроннойплотности в кристалле. На фоне равновесной электронной концентрациивозникает и распространяется волна ne (r , t )  Aeikr iпл ( k )t ,(4.18)где А - амплитуда волны, а пл (k ) - закон дисперсии плазменных волн.Для того, чтобы оценить характерные частоты плазменных колебаний, рассмотрим следующий мысленный опыт: поместим пластину металла внутрь плоского конденсатора (рис.11). При этом все электроны сместятся относительно ионной решетки на расстояние х.

На поверхностипластины возникнут заряды, они скомпенсируют действие внешнего поля.Теперь мгновенно выключим внешнее поле (реально в эксперименте этонельзя сделать достаточно быстро). Тогда на электроны в толще металлабудет действовать сила F  eE x , где Ex  ~ /  0 ( ~ - плотность заряда наповерхности пластины). Величина ~ равна~  ene x ,(4.19)поскольку при смещении электрона на расстояние х слой толщиной х направой поверхности пластины оказывается вне ионной решетки, а на левой поверхности слой такой же ширины оказывается без электронов. Подставляя (4.19) в выражение для силы во втором законе Ньютона, получаемследующее уравнение45e 2 ned 2xm 2 x.0dt(4.20)Решением этого уравнения являются гармонические колебания на частотеe2ne2.пл (0) m 0(4.21)Следовательно, после отключения внешнего поля в пластине возникаютплазменные колебания с k  0 .

Оценим порядок величины пл (0) . Дляne  3 1028 м 3 получаем пл (0)  1016 c 1 . Конечно, отключить поле конденсатора за время, много меньшее времени затухания этих колебаний,невозможно. Поскольку пл  10 эВ  T , и тепловым образом плазменные колебания не возбуждаются, то экспериментально плазменные колебания создают, пропуская пучок электронов через тонкую металлическуюпластину.В области малых волновых векторовпл (k )  пл (0)(1  ak 2 ) ,(4.22)2где a  vF2 / пл(0) .Следует отметить, что при величинах k порядка бриллюэновскихплазменные колебания быстро затухают (время релаксации порядка периода колебаний).4.4.

Диэлектрическая проницаемость металлаСуществует два подхода к описанию электромагнитных явлений вметаллах. В первом подходе свободные электроны в металле считают свободными зарядами и учитывают в уравнениях Максвелла, задавая плотность свободных зарядов и ток проводимости. При таком описании диэлектрическая проницаемость металла, входящая в уравнение, котороесвязывает электрическую индукцию с напряженностью поля, обусловленаполяризуемостью ионной решетки.

Ее величина того же порядка, что и вдиэлектриках, но измерить ее не удается, так как во все измеряемые величины входит сумма тока проводимости и тока смещения, а на низких частотах ток проводимости на много порядков превосходит ток смещения, непозволяя измерить последний.При втором подходе все заряды в металле считают связанными иучитывают их вклад в уравнениях Максвелла посредством вектора поля-46ризации. В этом случае статическая однородная диэлектрическая проницаемость металла  равна бесконечности (поле внутри металла ослабляется по сравнению с внешним полем в бесконечное число раз). Но в случаенеоднородного или переменного электрического поля величина  конечна.

Характеристики

Список файлов книги