Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Интеграл втретьем слагаемом не зависит от функции g и может быть обезразмерензаменой ~z  z / T . После этого он берется с помощью вычетов. В итоге получаемПосколькуI  G( ) 26G(  )T 2 .(1.24)Опущенные слагаемые имеют дополнительную малость (T /  F ) 2 . Но самавеличина химического потенциала  тоже является функцией температуры, причем при T   F отличие  от  F также содержит малость порядка (T /  F ) 2 . Поэтому необходимо учесть отличие  от  F в первом слагаемом в (1.24) и пренебречь этим отличием во втором слагаемом (учетэтого отличия явился бы превышением точности).Разложим величину G(  ) вблизи значения    F с точностью долинейных слагаемыхG( )  G( F )  g ( F )(   F ) .(1.25)Окончательно имеемI  G ( F )  g ( F )(    F ) 26g ( F )T 2 .(1.26)10Для нахождения зависимости  (T ) рассмотрим соотношение (1.13).В данном интеграле в качестве g ( ) выступает плотность состояний  ( ) ,а величина G( F ) равнаFG ( F )   ( )d  ne .(1.27)0Подставляя (1.27) в (1.26) и учитывая, что в данном случае I  ne , находим F   2  ( F ) 2T .6  ( F )(1.28)Теперь, пользуясь выражениями (1.26) и (1.28), вычислим полнуюэнергию электроновE    ( ) F0 ( )d .(1.29)0Здесь g ( )   ( ) ,F  2  ( F ) 2 E    ( )d   F ( F ) T  6()F026 ( F )   F ( F )  T2 E0 26 ( F )T 2 ,(1.30)где Е0 - энергия основного состояния электронной системы.Дифференцируя выражение (1.30) по температуре, получаем электронную теплоемкость единицы объема:CV 23 ( F )T .(1.31)В области температур  F  T   D (  D - температура Дебая) теплоемкость электронной системы уступает фононной теплоемкости, однаков области низких температур она может стать определяющей, так как приT   D фононная теплоемкость пропорциональна Т3 и убывает с пониже-11нием температуры быстрее, чем электронная.

Полная теплоемкость немагнитного металла Сэкс, измеряемая в эксперименте, представляет собойсумму электронного и фононного вкладов. Для их разделения экспериментальные данные представляют в виде графика у(х), где у=Сэкс/Т, а х=Т2.Полученную зависимость аппроксимируют линейной функцией у=ах+в, иззначения а находят температуру Дебая, а из значения в определяют плотность электронных состояний на поверхности Ферми.1.3. Парамагнитная восприимчивость электронного газаРассмотрим магнитную восприимчивость электронного газа, обусловленную спиновыми магнитными моментами электронов. Вклад их орбитального движения в магнитную восприимчивость будет учтен позднее.Наличие у электрона собственного механического момента (спина)сопряжено с наличием у него собственного магнитного момента.

В силутого, что электрон заряжен отрицательно, магнитный момент направленантипараллельно спину, а его величина равна магнетону Бора B  e  / 2me  9,27 1024 Дж/Тл. Проекция Мz магнитного момента электрона на выделенную ось z может принимать значения   B .Поместим электронный газ в однородное магнитное поле, параллельное оси z выбранной системы координат. Взаимодействие магнитногомомента с полем приведет к возникновению добавки к потенциальнойэнергии, равной - M z B , где В - индукция магнитного поля.

Энергия электронов с магнитным моментом, параллельным полю, уменьшится, а с моментом, антипараллельным полю - увеличится, что, в свою очередь, приведет к снятию вырождения по спину электронных состояний. Вид возникших законов дисперсии электронов приведен на рис.2.Для всех реально достижимых в земных условиях величин постоянных магнитных полей  B B   F .

Это позволяет легко подсчитать числоранее незаполненных электронных состояний с M z    B , энергия которых после приложения поля оказалась ниже  F .dne  ( F )2B B ,(1.32)12где множитель 1 / 2 возник из-за того, что мы рассматриваем плотностьэлектронных состояний для одной проекции спина.Точно такое же число заполненных электронных состояний сM z   B после включения поля имеет энергию, превосходящую  F . Поэтому энергетически выгодно, чтобы электроны, находящиеся в этих состояниях, изменили свой магнитный момент на противоположный и перешли в незаполненные состояния, лежащие ниже  F . После этого все состояния с    F окажутся заполненными, а состояния с    F - пустыми.kРис.2.В отсутствие магнитного поля магнитный момент системы был равен нулю.

Поэтому после включения поля и после того, как dne электронов в единице объема изменят свой магнитный момент с -  B на +  B , тоесть на величину 2  B , возникнет намагниченность I, равнаяI  2 B dne   B2 ( F ) B   B2 0 ( F ) H ,(1.33)где H - величина напряженности приложенного магнитного поля. Но, какизвестно, I  H , где  - магнитная восприимчивость системы. Следовательно, парамагнитная восприимчивость электронного газа (названная поимени физика В.

Паули) равна P   B2 0 ( F ) .(1.34)Мы рассчитали ее величину при температуре T, равной нулю. Но приT<<  F она практически не зависит от T. Восприимчивость классического13газа частиц той же концентрации ne , обладающих таким же магнитныммоментом  B , описывается законом Кюри и равнаС  B2 0 ne3T.(1.35)Легко видеть, что данное выражение расходится при T  0 .Отношение  P /  С с учетом (1.11) равноP 9 T 1.С 2  FКлассическая физика предсказывала существенно большую магнитную восприимчивость металлов и ее рост при понижении температуры,что противоречило экспериментальным результатам.

Именно это, наряду сэкспериментами по теплоемкости металлов, послужило толчком к созданию квантовой теории металлов.Глава 2. Электрон в кристаллической решетке2.1. Теорема БлохаНастала пора выйти за рамки модели «желе» и учесть периодический потенциал, создаваемый ионной решеткой. При этом мы предполагаем, что ионы замерли в своих положениях равновесия. Учет влияния колебаний ионной решетки на электронную подсистему будет проведен позже.Но мы, по-прежнему, не будем учитывать кулоновское взаимодействиеэлектронов друг с другом. В этом случае мы можем ограничиться решением одноэлектронной задачи, то есть решать уравнение Шредингера дляодного электрона в периодическом потенциале ионной решетки V (r )2(2.1)  V (r )  E .2meВ силу периодичности V (r ) в идеальном кристалле для любого вектора трансляции T V (r  T )  V (r ) .(2.2)Поскольку в идеальном бесконечном кристалле все физические величиныостаются неизменным при смещении на вектор трансляции, то этим свой-14ством должна обладать и плотность вероятности нахождения электрона взаданной точке:  2 2(2.3) (r  T )   (r ) .Другими словами, модуль  -функции остается неизменным при трансляции, но сама  -функция может изменить фазу: i (T )(2.4) (r  T )  e  (r ) .Здесь  (T ) - некоторая скалярная безразмерная величина.Совершим последовательно две трансляции T1 и T2 .

Тогда   i (T1 ) (r  T1  T2 )  e (r  T2 ) i[  (T1 )   (T2 )](2.5)e (r ) .  Но поскольку вектор T  T1  T2 также является вектором трансляции, то (2.6) (r  T )  ei (T ) (r ) .Сравнивая (2.5) и (2.6), получаем  (T1  T2 )   (T1 )   (T2 ) .(2.7)Поэтому в силу однозначности  -функции зависимость  (T ) должнабыть линейной по вектору трансляции. Таким свойством обладает скалярное произведениенекоторогофиксированноговолновоговекторанаkвектор T . (T )  k T .(2.8)Если мы добавим к вектору k вектор обратной решетки g , то в силусоотношения gT  2n , где n - целое число,  -функция не изменится. Поэтому можно ограничиться значениями k , принадлежащими первой зонеБриллюэна.Мы доказали теорему Блоха, которая гласит:Любая  -функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера (илиего классическому аналогу) в периодическом кристалле, подчиняется условию: существует такой волновой вектор k ,принадлежащий первой зонеБриллюэна, что при трансляции на вектор T  -функция умножается наeik T.15Часто бывает удобно выделить фазовый множитель и тождественнопредставить  -функцию электрона в виде ikr(2.9) k ( r )  u k ( r )e ,где функция uk (r ) обладает свойством периодичности: (2.10)uk (r  T )  uk (r ) .Индекс k у  -функции (и функции uk (r ) ) означает, что это одно из решений уравнения (2.1), характеризующееся тремя квантовыми числамиkx , k y , kz .Следующей задачей является нахождение зависимости собственногозначения энергии электрона от этих квантовых чисел, то есть закона дисперсии  (k ) и собственных функций  k (r ) .К сожалению, решить уравнение (2.1) аналитически при произвольном виде V (r ) невозможно.

Характеристики

Список файлов книги