Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Кроме того, сила Лоренца не совершает работы, и энергия электрона остается постоянной. Поэтому изображающая точка, задающая состояние электрона в k -пространстве, под действием силы Лоренца перемещается по изоэнергетической поверхности. Причем ее траектория, в силу условия k||  const , будет представлять собой линию пересечения этой поверхности и плоскости, проходящей через начальное положение изображающей точки и перпендикулярной направлению магнитной индукции.Обозначим через v составляющую скорости электрона, перпендикулярную B .

Тогда(3.2)q v , B   ev B .С учетом (3.2) получим из (3.1):dk ev B,dt(3.3)где модуль изменения волнового вектора dk представляет собой элементарный участок траектории изображающей точки.Ограничимся случаем, когда эта траектория представляет собойзамкнутую кривую (рис.8).vBdkРис.8.Найдем период Т обращения изображающей точки по этому контуру. В реальном пространстве за это время электрон проходит один витокмодифицированной спирали. Величина Т равна34T dk,ev B(3.4)где интегрирование происходит по траектории изображающей точки.

Длясвободного электрона период обращения равен2me.eBT0 m(3.5)По аналогии с (3.5) можно ввести понятие «циклотронной массы»m  dk .2 v(3.6)Величины m , и Т зависят, вообще говоря, от сечения изоэнергетической поверхности. Одинаковы они для всех параллельных сечений только в случае эллипсоидальной изоэнергетической поверхности.3.2.

Квантовое описаниеРешение уравнения Шредингера для свободного электрона в постоянном однородном магнитном поле, направленном параллельно оси z, даетследующие собственные значения энергии 2 k z21 c (n  ) ,2me2(3.7)где n - целое неотрицательное число, а циклотронная частотаc eB.me(3.8)Если в отсутствие магнитного поля электронные состояния былирасположены равномерно в плоскости k x , k y , то теперь энергия поперечного движения квантуется, то есть ( n) 2 k21 c (n  ) ,2me2(3.9)35а k z изменяется непрерывным образом. Таким образом, в магнитном полевсе электронные состояния расположены на семействе коаксиальных цилиндров с осью k z и радиусами k (n ) , задаваемыми уравнением (3.9).

Этицилиндры называются уровнями Ландау.На n-ом уровне Ландау располагаются те состояния, для которыхэнергия поперечного движения в отсутствие магнитного поля лежала в интервале(3.10)c n     c (n  1) ,откуда2eBn2eB(n  1) k2 .(3.11)На интервал импульсов (k z , k z  dk z ) на каждом уровне Ландау приходится число состояний dN , равноеdN 2V 2eB(n  1) 2eBn  2VeBdkdk z .z  (2 ) 2 (2 )3(3.12)Здесь множитель двойка связан с наличием двух возможных проекцийспина. Поскольку энергия электрона (3.7) является четной функцией k z ,можно рассматривать только положительные значения k z , удвоив соответствующее им число состояний. Плотность электронных состояний на каждом уровне Ландау принимает вид n ( ) eB d k z, 2 d(3.13)где зависимость k z от  находится из формулы (3.7).

Легко видеть, что n не зависит от номера уровня.Вычисляя производную d k z / d , получаем0, n ( )   eB2 ()   ( n).m( n),2(   ( n) )(3.14)36Обсудим получившийся результат. При    (n) , то есть когда происходиткасание какого-либо цилиндра - уровня Ландау и изоэнергетической поверхности с данным  , плотность состояний испытывает разрыв второгорода.

Вклад остальных уровней Ландау в общую плотность состояний ( )   n ( ) не имеет особенностей при этом значении  . Вид функцииn ( ) изображен на рис.9.v ( n 1) ( n) ( n1)Рис.9. График зависимости плотности электронных состоянийот энергии в магнитном поле.3.3. Диамагнетизм ЛандауПод действием магнитного поля электроны двигаются по спиральным траекториям.

При этом возникает добавочное магнитное поле, направленное навстречу внешнему. Этот диамагнетизм электронов проводимости носит название диамагнетизма Ландау в честь выдающегося советского физика.Диамагнетизм Ландау - чисто квантовый эффект. В рамках классического описания вклад орбитального движения электронов проводимостив магнитный момент образца равен нулю.

При этом вклад электронов, находящихся внутри образца, компенсируется вкладом электронов, движущихся вблизи поверхности тела.Расчет магнитной восприимчивости в рамках квантовой теории диамагнетизма Ландау достаточно громоздок. Поэтому приведем толькоокончательное выражение. В случае свободных электронов диамагнитнаявосприимчивость  L , связанная с орбитальным движением электронов,является отрицательной и составляет по величине одну треть от парамагнитной восприимчивости Паули, обусловленной наличием у электроновспина (формула 1.34).37На основании вышеизложенного создается впечатление, что все металлы должны быть парамагнетиками, поскольку суммарная восприимчивость  0   P   L электронного газа положительна.Однако движение электрона в кристалле отличается от движениясвободного электрона.

Расчет показывает, что диамагнитная восприимчивость равна21 m  L    P  e  ,3 m (3.15)где m - эффективная масса электрона в кристалле. Поскольку она можетбыть и больше, и меньше массы свободного электрона me , то  0 можетпринимать как отрицательные, так и положительные значения, и в природевстречаются и диамагнитные, и парамагнитные металлы.3.4. Квантовые осцилляцииМногие физические характеристики металла (магнитная проницаемость, теплоемкость, кинетические коэффициенты) зависят от плотностиэлектронных состояний на поверхности Ферми. Поскольку поверхностьФерми представляет собой частный случай изоэнергетической поверхности, то при  F   (n) имеет место особенность  ( F ) .

Добиться выполнения этого условия можно путем изменения величины магнитного поля.Для всех реально достижимых в эксперименте значений постоянного магнитного поля B  10 Tл величина c   F , то есть поверхность Фермипересекает большое число уровней Ландау. Найдем те значения В, при которых должна наблюдаться особенность. Из уравнения 2 k 2 eB1F (n  )2mm2следует12e12e1 2 (n  ) (n  ) ,Bn k F2 Se ( F )2(3.16)(3.17)где Se  k F2 - площадь экстремального сечения поверхности Ферми плоскостью, перпендикулярной магнитной индукции. Формула (3.17) справедлива не только для случая свободных электронов, но и для произвольнойповерхности Ферми. Особенности физических величин будут наблюдаться1периодически пос периодомB382 e9,55 1015 11  Тл ,Se ( F )Se ( F )B(3.18)величина S e измеряется в м-2.Поскольку при T  0 край ферми-распределения размыт, то особенности физических величин размываются и вместо бесконечного разрываимеет место конечный максимум.

К такому же результату приводит учетстолкновений электронов с примесями. Поэтому экспериментальное наблюдение осцилляций возможно только при низких температурах, когдаT  c , и в чистых образцах, где c  1 ( - время свободного пробегаэлектрона). Обычно их проводят при температуре кипения жидкого гелия(4,2 К). При комнатной же температуре наблюдается только усредненное1по периоду   значение.BПоявление осцилляций магнитной восприимчивости на фоне  0 носит название эффекта де Гааза - ван Альфена. Аналогичные осцилляциисопротивления металла в магнитном поле называются эффектом Шубникова-де Гааза.Экспериментальное наблюдение осцилляций играет важную роль,так как это практически единственный метод получения информации овиде поверхности Ферми, а не только о плотности электронных состояний.Как правило, в металле со сложной поверхностью Ферми имеется несколько экстремальных сечений при заданном направлении магнитногополя.

Каждое из них дает вклад в осцилляции. Таким образом, в эксперименте наблюдают наложение нескольких осцилляций с различными периодами. Дешифруя зависимость восприимчивости или сопротивления от1, находят все значения S e . Изменяя направление поля относительноBкристаллографических осей монокристаллического образца, исследуютразличные экстремальные сечения поверхности Ферми. На основании полученных данных восстанавливают вид поверхности Ферми, что позволяетпровести ее сравнение с рассчитанной поверхностью Ферми.Простая картина осцилляций Шубникова-де Гааза, наблюдаемая влегированном полупроводнике GaSb, у которого поверхность Ферми имеет вид эллипсоида, приведена на рис.10.39С уменьшением B амплитуда осцилляций экспоненциально убываетиз-за электронных столкновений и температурного размытия Фермираспределения.Рис.10.

Осцилляции Шубникова - де Гааза в полупроводнике GaSb nтипа при температуре 4,2 К: верхняя кривая соответствует взаимно перпендикулярной ориентации тока и магнитного поля, анижняя кривая – параллельной.Глава 4. Экранирование в металлах4.1. Статическое экранированиеХорошо известно, что в равновесии макроскопическое электрическое поле в металле отсутствует. В противном случае в нем возник быэлектрический ток. В момент включения (или изменения) внешнего электрического поля свободные электроны в металле перераспределяются так,чтобы создаваемое ими поле скомпенсировало внешнее. Это явление компенсации называется экранированием.Мы будем исходить из уравнения Пуассона для потенциала электростатического поля  :  ,0(4.1)где  - оператор Лапласа, а  - объемная плотность электрического заряда.

Характеристики

Список файлов книги