Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Приближение сильной связи используют для рассмотрения d-оболочек. Однако в обоих случаях параметры, которые в рамках модели считают малыми, в действительности не такуж малы. Поэтому указанные приближения нельзя использовать для количественного описания реальных кристаллов.Количественное описание требует проведения более сложных расчетов, но это возможно только численными методами. Ниже мы приводимнесколько наиболее простых схем вычислений.1.

Метод ортогонализованных плоских волн (ОПВ)В этом методе в качестве пробных волновых функций коллективизированных электронов используется линейная комбинация плоских волн27и блоховских функций типа (2.29), полученных в приближении сильнойсвязи. Последние отвечают уровням энергии электрона, лежащим нижемаксимума кристаллического потенциала (потенциала ионной решетки)(рис.5а). Коэффициенты перед этими функциями в линейной комбинациинаходятся из условия ортогональности пробных  -функций и  функций, отвечающих этим уровням.

Отсюда и название ОПВ.VVxxабРис.5.Дальнейшие вычисления проводятся так же, как в случае почти свободных электронов.2. Присоединенные плоские волныВ рамках данного метода вводится в рассмотрение МТ (muffin tin)потенциал, который отличается от истинной потенциальной энергии взаимодействия электрона с ионной решеткой тем, что вдали от ядер его считают постоянным по величине (рис.5б). В этой области пространства решениями уравнения Шредингера являются комбинации плоских волн, каки в случае приближения почти свободных электронов.Вблизи ядер выделяют сферу (МТ-сферу), внутри которой потенциалпредполагают центрально-симметричным. В МТ-сфере волновые функцииявляются комбинациями решений уравнения Шредингера с центральносимметричным потенциалом. Неизвестные коэффициенты в этих линейных комбинациях находятся из условия непрерывности  -функции и еенормальной производной на МТ-сфере.

Закон дисперсии находится затем,28как и в случае приближения почти свободных электронов, из условия существования нетривиального решения.Изложение сути более сложных методов: метода псевдопотенциалаили метода функций Грина (Корринги, Кона, Ростокера) слишком громоздко и выходит за рамки данного курса.2.6. Кулоновское взаимодействие между электронамиДо сих пор мы не учитывали кулоновское взаимодействие междуэлектронами. Такое приближение справедливо, если потенциальная энергия взаимодействия между электронами на характерных расстояниях намного меньше их кинетической энергии.

В этом случае можно уточнитьмодель, учитывая влияние кулоновского взаимодействия в рамках теориивозмущений.Поскольку теплоемкость и восприимчивость электронной подсистемы, а также величина кинетических коэффициентов металла определяетсяэлектронными состояниями, лежащими вблизи поверхности Ферми, то характерная кинетическая энергия электронов имеет порядок  F и даетсяформулой (1.10).Среднее расстояние между электронами <r> можно оценить какne1 / 3 . Действительно, на каждый электрон в кристалле приходится объемne1 . Если представить, что электрон - это классическая частица, расположенная в центре куба с таким объемом, то получим искомое выражение.Потенциальная энергия взаимодействия двух электронов на такомрасстоянии равна3e2n1/e2e.(2.43)Vкул 4 0 r4 0ОтношениеVкулme 2(2.44) ne1 / 32 2 / 3 2 1/ 3F2 0 (3 )  neтем меньше, чем больше концентрация электронов.Теория возмущений справедлива при   1 , то есть при большихплотностях электронов.

Поэтому случай   1 называют приближениембольшой плотности. К сожалению, для реальных металлов 2    10 . Поэтому пренебрегать кулоновским взаимодействием мы не имеем права. Нонайти пси-функцию огромного числа взаимодействующих электронов путем точного решения уравнения Шредингера представляется невозмож-29ным, а приближенные методы, дающие хороший результат в области  1 , не применимы при   1.Следовательно, проблема корректного учета кулоновского взаимодействия при расчете зонной структуры остается открытой.

Чтобы учестькорреляцию и обменное взаимодействие между электронами, порождаемые их кулоновским взаимодействием друг с другом, используют феноменологические выражения, достоверные в области   1 и приводящие кхорошему согласию между результатами расчета и экспериментальнымиданными для реальных значений  .2.7. Поверхность ФермиЧтобы путем расчета определить основное состояние системы, сначала находят зависимость энергии одноэлектронного состояния от волнового вектора (или импульса) в системе взаимодействующих частиц.

Потомзаполняют эти состояния, начиная с наинизшего по энергии. В результатеполучают границу между заполненными и незаполненными состояниями поверхность Ферми.Вид поверхности Ферми для конкретного металла или металлического соединения находится с учетом взаимодействия электронов друг сдругом. В противном случае результаты расчета кардинальным образомотличались бы от действительности.Введем классификацию возникающих поверхностей Ферми, справедливую для любых изоэнергетических поверхностей.

Для этого периодически продолжим поверхность Ферми, возникающую в какой-либоэлектронной зоне, из первой зоны Бриллюэна на все обратное пространство.Поверхность Ферми называется закрытой, если из заданной точкиповерхности мы можем сместиться, двигаясь по ней, только на конечноерасстояние в k -пространстве.

Пример такой поверхности, состоящей изпериодически расположенных эллипсоидов, приведен на рис.6а.Поверхность Ферми называется открытой, если по ней можно сместиться из заданной точки на сколь угодно большое расстояние хотя бы водном направлении. Открытая поверхность Ферми типа «гофрированныйцилиндр» изображена на рис.6б.Кроме этого введем понятия об электронной и дырочной поверхностях Ферми.

Если при Т=0 заполненные электронные состояния находятсявнутри поверхности, а незаполненные - снаружи, то такую поверхностьназывают электронной. В этом случае направление групповой скоростиэлектрона v   p ( p) , где p - квазиимпульс электрона, а  ( p) - его закон30дисперсии, совпадает с направлением внешней нормали к поверхностиФерми.абРис.6.Если же заполненные состояния расположены снаружи от поверхности, а незаполненные - внутри, то такую поверхность называют дырочной.В этом случае групповая скорость электронов антипараллельна направлению внешней нормали к поверхности. Термин «дырочная» возник потому,что отсутствие электронов внутри поверхности можно представить как наличие положительно заряженных частиц - дырок с зарядом +е внутри этойповерхности на фоне полностью заполненной электронной зоны.2.8. Квазичастицы в Ферми-жидкостиВ предыдущем параграфе мы описали процедуру получения основного состояния в системе взаимодействующих частиц.

Как было показанов первой части пособия, слабовозбужденные состояния системы удобноописывать на языке квазичастиц, то есть представить отличие этого состояния от основного путем введения слабонеидеального газа элементарных возбуждений.Введем такие возбуждения - квазичастицы для электронной подсистемы, предполагая, что они в системе взаимодействующих частиц такиеже, как и в идеальном Ферми-газе с той же поверхностью Ферми. Вообщеговоря, это не так. Но для корректного описания возбуждений в реальномметалле необходимо решить проблему учета сильного кулоновского взаимодействия между электронами.Возбуждения в идеальной Ферми-системе бывает двух видов.

Электронным возбуждением или просто электроном называют электрон, нахо-31дящийся в состоянии с энергией  (k )   F . Энергия такого возбуждения e равна(2.45) e   (k )   F .Действительно, переводя этот электрон из данного состояния в незанятоесостояние с наименьшей энергией, то есть с энергией равной  F , мы получаем основное состояние и понижаем энергию системы на величину  e .Заряд, спин и импульс такого возбуждения совпадают с таковыми у электрона.Отметим, что для человека, начинающего изучать физику твердоготела, употребление термина «электрон» для обозначения как реальнойчастицы, присутствующей в кристалле, так и возбуждения, создает дополнительные трудности.

Но такова установившаяся терминология.Дырочным возбуждением или просто дыркой называется отсутствиеэлектрона в состоянии с энергией  (k )   F . Энергия дырочного возбуждения  h равна(2.46) h   F   (k ) .В самом деле, переводя электрон из заполненного состояния с наибольшейэнергией, равной  F , в незаполненное состояние с энергией  (k ) , мы получаем основное состояние, понижая при этом энергию системы на  h .Заряд, спин и импульс дырки противоположны заряду, спину и импульсуотсутствующего электрона. Действительно, отсутствие электрона в данномсостоянии мы представляем как присутствие двух частиц: электрона идырки. Их суммарный заряд, спин и импульс должны равняться нулю, таккак «пустое место» не дает вклад в суммарный заряд, спин и импульс системы электронов.В основном состоянии системы квазичастицы отсутствуют. При возбуждении системы, например, светом или теплом возбуждения рождаютсяпарами: возникают одновременно и электрон, и дырка (в соответствии сзаконом сохранения заряда).

Говорят, что рождается электрон-дырочнаяпара (пары). Можно обобщить выражение (2.45) и (2.46), введя единуюформу для энергии возбуждений:   (k )   F .(2.47)В случае изотропной поверхности Ферми она принимает вид  vF p  p F ,(2.48)32где vF и p F - скорость и импульс электрона на поверхности Ферми.Вид закона дисперсии возбуждений электронной системы изображенна рис.7. Часть закона дисперсии, расположенную при p  p F , называютдырочной ветвью спектра, а часть, расположенную при p  p F , - электронной. Легко видеть, что групповая скорость дырки противоположнатаковой для электрона с тем же значением импульса.pFpРис.7. Закон дисперсии квазичастиц в Ферми-жидкости.Квазичастицы являются слабовзаимодействующими, если длина ихсвободного пробега намного больше их волны де Бройля. Как будет показано в дальнейшем, это условие выполнено, если    F , то есть системаслабо возбуждена.Глава 3.

Металлы в магнитном поле3.1. Квазиклассическое приближениеДля начала рассмотрим поведение электрона в постоянном магнитном поле, считая его классической частицей. Свободный электрон, как известно, совершает движение по спирали. Однако в кристалле, с учетомвзаимодействия электрона с периодическим ионным потенциалом, егодвижение происходит по существенно более сложной траектории.Уравнение движения электрона с волновым вектором k имеет видdk (3.1) q v, B .dt 33где q и v - заряд и групповая скорость электрона, а B - индукция действующего на электрон магнитного поля.Поскольку сила Лоренца перпендикулярна магнитной индукции, составляющая k| | вектора k , параллельная B , в процессе движения не изменятся.

Характеристики

Список файлов книги