Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

В этой области температур сопротивление нормального (несверхпроводящего) металла выходитна постоянное значение, называемое остаточным сопротивлением. Поскольку в этой области температур справедлив закон Видемана-Франца, тов области низких температур коэффициент теплопроводности пропорционален температуре.5.4. Электрон-фононное взаимодействиеРасчет закона дисперсии электронов в кристаллической решеткепроводился в предположении, что ионы неподвижны и расположены всвоих положениях равновесия. Однако в реальном кристалле ионная решетка находится в непрерывном колебательном движении, поэтому потенциал, который действует на электрон, отличается от идеального периодического потенциала.

Учтем это отличие по теории возмущений, котораяприменима в данном случае, поскольку смещение ионов из положенийравновесия малы по сравнению с межатомным расстоянием (часть 1 пособия, параграф 9.4).Рассмотрим потенциальную энергию взаимодействия электронов сионной решеткой We,i . Она зависит от координат электрона r и совокуп- ности Rl ,s координат ядер всех ионов, ее образующих. Напомним, что l- номер элементарной ячейки кристалла, а s - номер атома в элементарнойячейке. Мы, по-прежнему, будем исходить из адиабатического приближе-60ния и предполагать, что электроны успевают подстроиться под мгновенную конфигурацию ядер. Величину Rl ,s можно представить в видеRl ,s  Rl(0) ul ,s ,,sгде Rl(0)- задает положение равновесия соответствующего иона, а ul ,s ,sсмещение иона из положения равновесия.

Разложим We,i в ряд по ulj,s (jнумерует проекции вектора на оси координат) с точностью до линейныхпо ulj,s слагаемых:     W  r ,R   We,i r , Rl ,s We,ijj ,l ,s  Rl ,s(0)l ,se,iR  l ,sRl(0),s ulj,s .(5.38)Первое слагаемое в правой части уравнения (5.38) представляет собойидеально периодический потенциал, который был учтен при расчете зонной структуры кристалла. Вместе с оператором кинетической энергии онсоставил гамильтониан невозмущенной системы Ĥ 0 .

Оператором возмущения является второе слагаемое в правой части уравнения (5.38), котороеназывают гамильтонианом электрон-фононного взаимодействия.Рассчитаем матричный элемент k  Hˆk :e, phk  Hˆ e, ph k   ei (k k)r uk (r )l ,s , juˆlj,suk (r )d 3rulj,s  We,i (r , Rl ,s ) Rl j,sRl , s  Rl(0),s(5.39)Используем выражение (8.26) из первой части курса, выражающеечерез операторы рождения и уничтожения фононов aˆ p (q ) и aˆ p (q ) , гдеp - номер ветви:611/ 2uˆlj,s   2 NM s p (q) p q esj ( p, q )exp(iql )   aˆ p (q )  aˆ p (q )  ,(5.40)где N - число ячеек в кристалле, Ms - масса иона сорта s,  p (q ) - закондисперсии фононов p-ой ветви, es ( p, q ) - вектор поляризации атома сорта sна данной моде колебаний.

Кроме того, сделаем замену переменныхr  r  l в каждом слагаемом суммы по l . Получаем1/ 2k  Hˆ e, phk   2NM(q)spl s , j p ,q exp(i (q  k  k )l ) esj ( p, q ) aˆ p (q )  aˆ p (q )   ei ( k k )( r l )uk (r )  We,i (r , Rl ,s )Rl j,sRl , s  Rl(0),su k ( r ) d 3r .(5.41)В силу трансляционной инвариантности кристалла интеграл в правой части уравнения (5.41) не зависит от вектора трансляции l , обозначим егоI (k , k , j, l , s) .Сумма по l отлична от нуля, если k   q  k  g , где g - вектор обратной решетки. В этом случае она равна N.

Таким образом, матричныйэлемент отличен от нуля только тогда, когда выполняется закон сохранения квазиимпульса, то есть сумма квазиимпульсов возникающих частицотличается от таковой для исчезающих на вектор обратной решетки. Витоге1/ 2k  Hˆ e, phNk    2M(kkg)p,g s, j spI (k , k , j, l , s)esj ( p, k   k  g ) aˆ p (k   k  g )  aˆ p (k  g  k )     (k , k , p, g ) aˆ p (k   k  g )  aˆ p (k  g  k )  .p,g(5.42)62Прежде, чем записать Hˆ e, ph в представлении вторичного квантования, обсудим, какие процессы возможны с участием электронных возбуждений и фононов. Поскольку фононы - незаряженные частицы, то могутпроисходить процессы поглощения и испускания фононов электронамиили дырками, причем электрон при этом остается электроном, а дырка дыркой.

Кроме того, возможны процессы превращения фонона в электрондырочную пару и обратный процесс рекомбинации электрона и дырки сиспусканием фонона. Схемы этих процессов изображены на рис.14.Сплошные линии с индексами e(h ) соответствуют электронам (дыркам), вштрих-пунктирные линии - фононам.e(h)e(h)e(h)e(h)абeehhвгРис.14.Теперь приведем выражение для Hˆ e, ph :Hˆ e, ph {  , p , g k ,k k F (k , k , p, g )cˆ (k )cˆ (k )   aˆ p (k   k  g )  aˆ p (k  g  k )  k ,k kF (k , k , p, g ) 63dˆ (k )dˆ (k ) aˆ p (k   k  g )  aˆ p (k  g  k )    (k , k , p, g )cˆ (k )dˆ (k )aˆ  (k  g  k )k k Fk k F  (k , k , p, g )cˆ (k )dˆ (k )aˆ(k   k  g )} ,(5.43)k k Fk kFМы учли, что спин и волновой вектор дырки противоположны таковым уотсутствующего электрона, а при испускании и поглощении фонона спинэлектрона не изменяется.Процессы одновременного рождения (или исчезновения) «из ничего» (или в «никуда») и фонона, и электрон-дырочной пары нефизичны, таккак нарушают закон сохранения энергии.

Поэтому соответствующие этимпроцессам слагаемые в (5.47) опущены.Легко показать, что (k , k , p, g )    (k , k , p,  g ) .Запишем теперь интеграл столкновений, предполагая, что леваячасть кинетического уравнения записана для функции распределенияэлектронов с волновым вектором k .I ст 2{ p, gk k F2d 3k (k,k,p,g)(2 )3  (k )   (k )   p (k   k  g )  [ Fe (k )(1  Fe (k ))n p (k   k  g )  Fe (k )(1  Fe (k ))(1  n p (k   k  g )] k k F2d 3k (k,k,p,g)  (k )   (k )   p (k  g  k )  (2 )3[ Fe (k )(1  Fe (k ))n p (k  g  k )  Fe (k )(1  Fe (k ))(1  n p (k  g  k ))] 64k kF2d 3k (k,k,p,g)  (k )   (k )   p (k  g  k )  3(2 )[ Fe (k ) Fh (k ))(1  n p (k  g  k )) (1  Fe (k ))(1  Fh (k ))n p (k  g  k )]} .(5.44)Предоставляем читателю самостоятельную линеаризацию этого интеграластолкновений с целью последующего перехода к  -приближению.5.5.

Вклад фононов в электросопротивление. Высокие температурыРассмотрим сначала область температур T   D , где  D - температура Дебая. В этом диапазоне температур возбуждены все фононные модыи характерный волновой вектор фононов порядка бриллюэновского. Поэтому процессы переброса в фононной подсистеме происходят достаточночасто.

Релаксация функции распределения электронных возбуждений поимпульсу происходит путем передачи его фононам. Поскольку величинахарактерного волнового вектора фононов порядка k F , то в результате испускания или поглощения фонона направление волнового вектора электрона изменяется существенно (    ). В то же время характерная энергияэлектронаТизменяетсянаотносительномалуювеличину p (q)   D  T .

Поэтому процессы испускания и поглощения фононовможно считать квазиупругими. В этой области температур справедлив закон Видемана-Франца. Процессы «аннигиляции» электрона и дырки с характерными энергиями порядка Т невозможны, поскольку  p  T . Поскольку    , то транспортное время одного порядка со временем, получаемым в  -приближении. Поэтому для простоты ограничимся последним.

В  -приближенииf (k ),I ст   e e, ph (k )где e,1ph (k ) 2 p, gk kF2d 3k (k,k,p,g)(2 )3 { ( (k )   (k )   p (k   k  g )  [ n p (k   k  g )  Fe(0) (k )] 65 ( (k )   (k )   p (k   k  g )   [1  Fe(0) (k )  n p (k  g  k ) ]} ,гдеn p (q )(5.45)- равновесная функция распределения фононов. В областитемператур T   p (q )n p (q )  T /  p (q )  1.(5.46)Поэтому можно пренебречь остальными слагаемыми в круглых скобках в(5.45) по сравнению с n p (q ) . Тогда  e.1ph  T .

Точно также зависит от Т ифононный вклад в удельное сопротивление металла  .Оценим величину  1 . Поскольку Hˆпредставляет собой первыйe, phe, phчлен разложения по u / d , где u - смещение иона из положения равновесия, а d - межатомное расстояние, то матричный элемент электронфононного взаимодействия порядка Eат 4 me / M , где me - масса электрона, а М - масса иона.

По прядку величины получаем:1 e.1ph  Eатme TT .M p(5.47)Поскольку вклады различных процессов в интеграл столкновений аддитивны, то складываются и обратные времена релаксации, обусловленныеэтими процессами, давая в результате полное обратное время релаксации(правило Матиссена). По той же причине складываются и вклады различных процессов столкновений в электросопротивление, то есть результирующее сопротивление металла есть сумма примесного (остаточного) сопротивления, фононного вклада и вклада, обусловленного электронэлектронным взаимодействием.

В области высоких температур в случае неочень загрязненных металлов основным вкладом является фононный, исопротивление пропорционально температуре.Согласно закону Видемана-Франца коэффициент теплопроводностиметаллов в этой области температур не зависит от температуры.5.6. Вклад фононов в электросопротивление. Низкие температурыВ области низких температур (T   D ) возбуждены только длинноволновые акустические колебания с величиной волнового вектора66T, где s - скорость звука. Поэтому трехфононные процессы переsброса происходят достаточно редко.

В первой части пособия показано, чтохарактерное значение времени пробега между процессами переброса Uph  exp( D / T ) , где   1.q  qT В этих условиях температурные зависимости сопротивления металлов с открытой и закрытой поверхностью Ферми отличаются кардинальным образом.Для металлов с закрытой поверхностью Ферми передача импульсакристаллу от электронной подсистемы происходит благодаря фононам сэнергией порядка  D . Вероятность встретить электрон с энергией, достаточной для возникновения процесса переброса, при испускании или поглощении теплового фонона с q  qT содержит малый параметрexp( E0 / T ) , где E0 - разность энергий электрона на границе зоны Бриллюэна и на поверхности Ферми.

По порядку величины E0  Eат . Вероятность встретить фонон с величиной волнового вектора порядка qD содерmeEат . Таким образом, процессы пеMреброса с участием фононов, имеющих энергию порядка  D , более веро-жит малость exp( D / T ) . Но  D ятны, чем с участием энергичных электронов. Время  eU, ph , входящее вформулу (5.14) для электропроводности, пропорционально exp( D / T ) .Следовательно, при T   D вклад фононов в электросопротивление металлов с закрытой поверхностью Ферми имеет вид  ph  exp( D / T ) .В металлах с открытой поверхностью Ферми реализуется другая ситуация.

Характеристики

Список файлов книги