Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Поэтому основную роль впроцессах релаксации НЗ играет их взаимодействие с примесями (областьнизких температур) или с фононами (область высоких температур). Обаэтих вклада в сопротивление аддитивны как и в случае металлов.Поскольку взаимодействие электронных возбуждений с фононами ипримесями было подробно изучено в §5.3-5.6, то мы рассмотрим толькоотличия от полученных выражений, возникающие в рассматриваемом случае.6.5.Рассеяние носителей заряда на фононахВ случае невырожденного полупроводника кинетическая энергияравновесных НЗ составляет величину порядка Т. Согласно формуле (6.1)характерное значение k  k * ~ m *T /  ~ kBTE ат k B(где k B - волновой вектор на границе зоны Бриллюэна, а E- энергияататомного масштаба) для всех значений Т, при которых кристалл еще существует. Характерный волновой вектор фононов при T   D порядка k B , апри T   D , когда в равновесии невымерзшими остаются только акустические фононы, характерный тепловой фонон имеет волновой векторТ.kT ~ k BDОценим температуру Т * , при которой характерные волновые вектора фононов и НЗ сравниваютсяT*Т*,~ kBkBDE атоткуда2D*Т ~~ 1К .Е ат(6.28)87Таким образом, при T  T * характерный волновой вектор фононапревосходит таковой у НЗ.Рассмотрим ситуацию, когда в зоне Бриллюэна имеется несколько (6- в кремнии и 8 – в германии) эквивалентных минимумов зоны проводимости - так называемых долин.

В этом случае при Т   D возможны процессы поглощения или испускания фонона НЗ, при которых последнийпереходит от одной долины в другую - междолинные переходы. При такихпереходах процессы переброса происходят так же часто, как и нормальныепроцессы, и выражение для обратного времени рассеяния электрона нафононе  е, 1ph дается формулой (5.49), где интегрирование по k ' нужнопроводить по всей зоне Бриллюэна. Поскольку энергия НЗ, отсчитанная отдна зоны проводимости порядка Т и намного превосходит энергию фонона(  p k ~  D ), то можно пренебречь энергией фонона в аргументе δфункции в этом выражении. Тогда наличие сомножителя  [ (k ' )   (k )]приведет к тому, что интегрирование по k ' будет происходить по изоэнергетической поверхности с энергией  (k ) .В случае металла эта поверхность была близка к поверхности Ферми, и интегрирование по ней давало плотность состояний  ( F ) .

В нашемслучае это интегрирование дает значение  ( (k )) .Остальные величины, входящие в выражение (5.49), не претерпятсущественного изменения. Поэтому можно использовать для оценки величины  е, 1ph выражение (5.51), помножив его на отношение ( (k ))  ( F ) . Поскольку характерная энергия НЗ порядка Т, а     (смотри формулу (1.6)), тоT e, 1ph ~T 3/ 2~. F E1 / 2amT(6.29)Следовательно, при T   D , когда рассеяние на фононах играет определяющую роль, подвижность НЗ  T  3/ 2.(6.30)При низкой температуре (Т<<  D ) междолинные процессы “вымерзают”, поскольку вероятность найти фонон с волновым вектором k , со-88единяющим “долины” в зоне Бриллюэна, величина которого порядка k B ,экспоненциально мала.

Это ведет к экспоненциальному росту временисвободного пробега НЗ между двумя процессами переброса  Uе, ph , и основную роль в процессах рассеяния НЗ начинает играть примесное рассеяние.6.6.Рассеяние носителей заряда на заряженных дефектахПоскольку мы рассматриваем невырожденный полупроводник, рассеяние НЗ на заряженном точечном дефекте можно описать в рамках классической теории рассеяния. Согласно этой теории, обратная транспортнаядлина свободного пробега НЗ l e, 1imp равнаle,1imp  2 nimp  1  cos 0d  sin  d ,do(6.31)где nimp - концентрация заряженных дефектов,  -угол рассеяния, то естьугол между направлениями движения частицы до и после взаимодействияс дефектом (на очень большом расстоянии от дефекта). Дифференциальное сечение рассеяния d ( ) есть отношение числа частиц, рассеянных вединицу времени в телесный угол do к числу частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения падающегопучка (рис.22).Потенциал взаимодействия НЗ с дефектом, заряд которого равен Ze,имеет вид (сравни с (4.12))Ze2 r(6.32)U (r ) e D ,4 0 rгде  -диэлектрическая проницаемость кристаллической решетки полупроводника, а  D -обратный радиус экранирования Дебая, обусловленныйналичием НЗ.dДля нахождения величинынеобходимо решить задачу о движеdoнии частицы с заданной вдали от дефекта кинетической энергией и с заданным прицельным расстоянием  (рис.22) в центральном поле дефекта.89Рис.22.Приведем ответ, а за подробностями отсылаем читателя к курсу механики1:2d  m * Ze2  2q   D22do  2 02,(6.33)где q  2k0 sin  , а k0 - волновой вектор падающей частицы.

При  D  02(отсутствие экранирования НЗ) из (6.33) получаем известную формулу Резерфорда.lПоскольку  tr  tr , где v-скорость частицы, то после замены пеvременных из (6.31) получаем для электрона с энергией  (отсчитанной отдна зоны проводимости)2 m * Ze2  11z 3dz  vnimp , (6.34)2 2 22222k etr, imp  00 0 z   D / 4 k0где z  sin( / 2) .

Легко видеть, что при  D  0 интеграл расходится нанижнем пределе, что связано с дальнодействием неэкранированного кулоновского взаимодействия, то есть заряженные примеси в отсутствие экранирования приводили бы к очень сильному рассеянию (даже при низкойих концентрации).Считая что  D  k0 , получаем в главном по параметру k0 /  D приближении2:1Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика.

Том 1. Механика. –М.2Точное взятие интеграла предоставляем читателю в качестве упражнения.902  Ze 2  ln  8m *  vnimp  2 2 4    etr, imp ( )0D1,(6.35)Поскольку v   , то etr, imp ( )   3 / 2 ,(6.36)и для тепловых носителей с ξ~T   etr, imp  T 3/ 2 ,(6.37)слабой логарифмической зависимостью от ξ мы пренебрегаем.Общий вид температурной зависимости подвижности НЗ приведенна рис.23.Т  3/ 2Т 3/ 2Т0ТРис.23.Температуру T , при которой происходит переход от зависимости0  T 3 / 2 к зависимости   T  3 / 2 , можно оценить, приравнивая выражения (6.29) и (6.35) и предполагая, что T   :0DT ~ E x1 / 3 ,0ат(6.38)где x - безразмерная концентрация примесей, то есть число примесей наодин атом матрицы кристалла.91Глава 7.

Гальваномагнитные явления7.1.Эффект ХоллаКак видно из названия главы, к таковым относят явления, связанныес протеканием тока в магнитном поле. Самое известное из этих явлений, скоторым вы уже познакомились в курсе общей физики, это эффект Холла.Напомним его суть. На носители заряда в магнитном поле действует силаЛоренца(7.1)L  q v , B  ,где q - заряд носителя, v - его скорость, а B - магнитная индукция в местенахождения носителя.

В отсутствие тока, в силу хаотичности движенияНЗ, какого-либо их перераспределения под действием силы Лоренца непроисходит, хотя траектории движения НЗ изменяются (искривляются).При протекании тока средняя скорость НЗ отлична от нуля и равна(7.2)v   j ,qnгде j - плотность тока, n - концентрация НЗ. Поэтому в магнитном полевозникнет холловская составляющая тока, перпендикулярная направлениюj при B  0 . В рассматриваемой нами простой геометрии эксперимента,когда напряженность приложенного электрического поля E  B (рис.24)0и постоянный ток в направлении, перпендикулярном E , течь не может,0включение магнитного поля приведет к появлению на поверхности проводника электрических зарядов. Холловский ток после переходного процесса исчезнет, но возникнет холловская напряженность электрическогополя E. Значение ее таково, что сила, с которой это поле действует наHНЗ qE , полностью компенсирует действие силы Лоренца.

СледовательHно,jBE  R jB ,(7.3)H qnHгде(7.4)R   q n  1H92- постоянная Холла. Измеряя разность потенциалов между крайними точками поперечного сечения проводника U  E d (смотри рис.24), можHHно, зная j и B, найти концентрацию НЗ в полупроводнике.VЕ0ВjРис.24.Более того, НЗ разного знака отклоняются магнитным полем при заданном направлении j в одну и ту же сторону, смотри рис.25. Поэтомуполярность возникающего напряжения свидетельствует о знаке НЗ.j+ + + + + + + +L+Вv- - - - - - - - - -j- - - - - - - -Lv-В+ + + + + + + +Рис.25.Приведенное выше простое рассмотрение эффекта Холла не требуетпривлечения кинетического уравнения Больцмана.

Однако оно не дает ответа на вопрос: а изменилось ли сопротивление проводника в магнитном93поле, или, другими словами, имеется ли продольное магнетосопротивление  , которое определяется какΔρ = ρ||(B) - ρo,(7.5)где ρo - удельное сопротивление в отсутствие магнитного поля, а ρ||(B) продольное удельное сопротивление, то есть коэффициент пропорциональности между E0 и j ( E0 =ρ||(B) j ), индекс означает параллельностьнаправлению тока.Для ответа на этот вопрос необходимо использовать кинетическоеуравнение Больцмана. В случае стационарной и однородной системы оноимеет видF ( p) I ,jстpjгде F ( p) - функция распределения НЗ, p j - компонента импульса,  jкомпонента внешней силы, действующей на НЗ, а I- интеграл столкстновений.При исследовании электропроводности в случае слабой неравновесности мы заменяли F ( p) на равновесную функцию распределения F ( p) .0В результате уравнение принимало вид (5.6)F0 (k )(v (k ), )  I ст , где  - энергия НЗ, а k  p /  .  Но поскольку скалярное произведение (v (k ),  )  0 (сила ЛоренцаLперпендикулярна скорости НЗ), то для учета действия магнитного поля наНЗ необходимо учесть в левой части кинетического уравнения слагаемоеf (k ) , где f (k ) - неравновесная часть функции распределенияLjpj( F (k )  F0 (k )  f (k ) ).После этого кинетическое уравнение в τ-приближении принимаетвид: F (k ) f (k ) qf (k )q  0 v (k ), B . v (k ), E jk(k)j(7.6)94Легко видеть, что в присутствии магнитного поля алгебраическоеуравнение стало дифференциальным уравнением в частных производных.Сначала рассмотрим случай наличия только одного сорта НЗ, причем обладающих изотропным квадратичным по k законом дисперсии 2k 2 const .2m *(7.7) kВ этом случае v и можно перейти от переменной k к переменной v .m*Уравнение (7.6) примет видf v  qf  v  F  v  v , B .q  0 v, E jvm*vj(7.8)Его решение будем искать в виде F     f v   q  0  v  v , Av  ,  (7.9)где A -неизвестный вектор.

Подставляя (7.9) в (7.8) находим F  v   F0 (v ) q  0 v, E  q   v , A v  q2v , B j vm*j F0 (v ) (7.10)(v)v,A(v) .В силу изотропности закона дисперсии  v  зависит только от ξ, а не  F0  параллельны v j . Поvот направления вектора v , ииv j    vjэтому их скалярное произведение с силой Лоренца равно нулю. Будемпредполагать, что A тоже не зависит от направления v , а определяетсятолько величиной ξ.

Характеристики

Список файлов книги