Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Следовательно, выражение95A v , vjAAv,m*v,    v  v j  jи также обращается в ноль при умножении на L, j(7.11). Поэтому при диффе-ренцировании по v j произведения F0 (v )       (v ) v , A(v )  в (7.10) неисчезающий после домножения на L, jвклад дает только сла-гаемое F0    v    F0   v A . v , A   j   v j   После этого уравнение (7.10) принимает видq     (v , E )  (v , A) ([v , B] , A) ,m*(7.12)(7.13)или, окончательно, после циклической перестановки в смешанном произведении  q  E  AB, A .(7.14)m*Поскольку  не зависит от направления v , то в уравнении (7.14)нет величин, зависящих от направления v .

Следовательно, корень этогоуравнения – вектор A также не зависит от направления v . Сделанное нами предположение подтвердилось. NQАMЕРис.26.Р96Решать уравнение (7.14) лучше всего геометрически (рис.26). Из подобия прямоугольных треугольников MNP и MPQ находим  E   E, B,(7.15)A221  Bгде введено обозначениеq.(7.16)m* Найдем теперь силу тока в образце. Поскольку формула (7.9) отличается (5.8) только заменой E на A , то очевидно, что(7.17)A  j.0Подставляя (7.17) в (7.14) находим E   j    B, j .00 (7.18)Спроектируем это векторное равенство на направление j .

ПолучимE   j.00(7.19)Таким образом, в нашей модели магнетосопротивлениеотсутствует.Для перпендикулярной j холловской составляющей E получаемEПостоянная Холла равна RHH  Bj .0(7.20)  , а величина  называется хол0ловской подвижностью НЗ.7.2.Двухзонная модель. МагнетосопротивлениеДля того, чтобы исследовать явление магнетосопротивления, необходимо усложнить рассмотренную выше простую модель. Правильнеевсего было бы рассмотреть анизотропный случай, так как ни в одном реальном кристалле не существует полностью изотропного закона дисперсии. При этом мы получили бы ненулевое магнетосопротивление, носложность выкладки многократно возросла бы.

Поэтому выберем другойпуть. Рассмотрим вещество, в котором имеются два сорта носителей заряда, различающихся величиной холловской подвижности  1   2  . Обозначим через 1  11 и  2  21 вклад каждого сорта НЗ в электропро-97водность в отсутствие магнитного поля (     ) .

Для каждого сорта12НЗ должно выполняться уравнение (7.18): (7.21)E   j    [ B, j ] ,111 11 E   j    [ B, j ] ,2 22 22где j и j - плотности тока, созданные соответствующим сортом НЗ, а21полная плотность тока (7.22)j j  j .12Используя формулы (7.15) и (7.17), можно найти значения j и j .21Подставляя их в (7.22), получаем      11  1222j E E , B . (7.23)222222221   B1   B1  B 1  B 1212 В слабом магнитном поле, когда  B  1 , можно пренебречь велиiчинами  2 B 2 в знаменателях формулы (7.23) по сравнению с единицей.iИз подобия треугольников (рис.26) находим, что   H  1 12 2 B.(7.24)E 12Поскольку в нулевом по  B приближении E  j / 1   2 , то вiпервом приближении по параметру  BiE   E2 2 jB , 1 1H(   ) 212(7.25)откуда постоянная Холла 2R   2RRH2 2, 1 1(   ) 212где R и R - постоянные Холла для соответствующего сорта НЗ.12(7.26)98Найдем теперь величину магнетосопротивления, не ограничивая величину магнитного поля.

По определениюρ||  j , E   j212 2 22 21   2 B 1  1 B12  1   2 B 2 1   2 B 2122  11 222 B  1   2 B2 1   2 B212(7.27)2  -1   Величина  , согласно (7.5), равнаΔρ = ρ(B) - (   )  1 .12(7.28)Рассмотрим получившееся громоздкое выражение в двух предельных случаях.

В области слабых магнитных полей (  B  1) можно разлоiжить выражение (7.27) в ряд по B 2 . Удерживая первые неисчезающиеслагаемые, пропорциональные B 2 , получаем (выкладку, как упражнениепо мат. анализу, предоставляем читателю):  (   ) 2 B 22 1 2 1(   ) 2012 B2 .(7.29)Таким образом, в области слабых магнитных полей величина магнетосопротивления пропорциональна B 2 .В области сильных полей (  B  1) необходимо в (7.27), (7.28) наiоборот, пренебречь слагаемыми, содержащими меньшую степень В.

В результате, имеем2 1 2 ( 1   2 ).(7.30)0 (     )21 22 1Следовательно, в области больших магнитных полей величина магнетосопротивления выходит на постоянное значение. Общий вид зависимости(В) приведен на рис.27.o990В2ВРис.27. Зависимость магнетосопротивления от индукции приложенногомагнитного поля.Глава 8. Оптика полупроводников8.1.Механизмы поглощенияРассмотрим сначала возможность двухчастичного процесса, в котором квант света - фотон поглощается электроном. Такой процесс невозможен в случае свободных электронов (или любых других свободных заряженных частиц), так как он противоречит законам сохранения энергии иимпульса. Действительно, пусть в процессе выполняется закон сохраненияэнергии, и энергия электрона возросла в результате поглощения на энергию фотона. При этом его импульс должен возрасти на величину  / v ,где v-характерная скорость электрона.

Но фотон обладает импульсом / c , где c -скорость света. Поскольку v c (для энергии атомного масштаба скорость электрона v ~ 10 2 c ), то закон сохранения импульсаудовлетворить невозможно.Основываясь на таком простом рассмотрении, можно сформулировать условие, при котором возможен двухчастичный процесс поглощения(и обратный ему процесс испускания): начальное заполненное и конечноепустое состояния электрона должны соответствовать практически одномуи тому же значению волнового вектора (импульса), то есть принадлежатьразным электронным зонам.

Такие переходы называют прямыми или вертикальными.Рассмотрим, что же будет происходить при облучении бездефектного полупроводника с температурой T  E электромагнитной волной сgчастотой  (потоком фотонов). Если энергия кванта   E , то поглоgщение отсутствует. Значение c  Eg / является в случае полупроводника100с прямой щелью красной границей внутреннего фотоэффекта и называетсякраем собственного поглощения. При   c электрон может перейти изсостояния, лежащего вблизи максимума валентной зоны, в состояние, расположенное вблизи минимума зоны проводимости.

Если же    , то пеcреходы происходят между состояниями, лежащими в этих двух зонах, отвечающими практически одному и тому же значению волнового вектораk0 и удовлетворяющими закону сохранения энергии c (k0 )   v (k0 )   ,(8.1)где  c (k ) и  v (k ) - законы дисперсии электрона в зоне проводимости ивалентной зоне, соответственно. Эти переходы изображены на рис.28апунктирной линией. Зависимость коэффициента поглощения электромагнитной волны от частоты изображена на рис.29а.Если же щель непрямая, то двухчастичный процесс становится воз-можен при   1  min [ (k )   (k )]/kcv c , где минимум по k бе-рется по первой зоне Бриллюэна.

Этот процесс изображен на рисунке 28б.kkабРис.28.Если двухчастичные процессы запрещены, то основной вклад в поглощение дают трехчастичные процессы, при которых поглощение электроном фотона сопровождается испусканием или поглощением третьейчастицы, что позволяет удовлетворить обоим законам сохранения. Роль101этой третьей частицы играет фонон - квант колебаний решетки. Вероятность таких процессов, называемых также непрямыми и невертикальными,намного ниже, чем двухчастичных.КпоглКпоглсаmin1бРис.29.Именно такими трехчастичными процессами обусловлено поглощение при переходах электрона между состояниями одной зоны.

Непрозрачность металлов обусловлена именно трехчастичными процессами. Поскольку в металлах заполненные и пустые состояния не разделены энергетической щелью, то поглощение начинается со сколь угодно низких частот. Вклад свободных носителей заряда в оптическое поглощение полупроводников мал из-за их низкой концентрации.В полупроводниках с непрямой щелью трехчастичный процесс поглощения электроном фотона и фонона начинается с частоты    (q )   ,(8.2)mincphcгде  (q ) - закон дисперсии фононов, а q - волновой вектор, равныйphразности векторов, соответствующих минимуму зоны проводимости имаксимуму валентной зоны.

Зависимость коэффициента поглощения отчастоты в случае полупроводника с непрямой щелью изображена нарис.29б.В германии и кремнии  лежит в инфракрасном диапазоне, поэтоcму они выглядят непрозрачными. В диэлектрике  лежит в ультрафиолеcтовом диапазоне, поэтому диэлектрик без примесей будет прозрачным инеокрашенным (как алмаз).Окраска прозрачных драгоценных камней обусловлена примесями.Если в полупроводнике или диэлектрике имеются донорные или акцеп-102торные примеси, то возможны переходы электронов из валентной зоны наакцепторный уровень или с донорного уровня в зону проводимости припоглощении ими фотонов с частотой   c .

При этом закон сохраненияимпульса выполняется, так как при взаимодействии с дефектом недостающий импульс получается (передается) от кристалла в целом.Коэффициент поглощения зависит от концентрации примесей, а окраска кристалла - от положения примесных уровней в запрещенной зоне.Так рубин и сапфир - это разновидности корунда (Al2O3), содержащиепримеси Cr 3  в первом случае и Fe3  и Ti 4  - во втором.Кроме того, примесь может играть роль той третьей частицы, взаимодействие с которой делает возможным непрямой переход.Наряду с рассмотренными процессами существует механизм поглощения, обусловленный взаимодействием фотона с фононом (фононами),так называемое решеточное поглощение.

Оно было рассмотрено в I §10.3.8.2.Рекомбинация НЗЧто же происходит в дальнейшем с возникшей парой НЗ (электроном в зоне проводимости и дыркой в валентной зоне)? За счет взаимодействия с фононами они теряют свою избыточную энергию (если их кинетическая энергия при рождении превышает Т), и их распределение становится квазиравновесным, то есть распределение электронов в зоне проводимости (или распределение дырок в валентной зоне) описывается распределением Ферми-Дирака с неравновесным, вообще говоря, значением химического потенциала  .

Характеристики

Список файлов книги