Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Модель ХаббардаДля описания этого перехода используем модель, предложеннуюХаббардом. Гамильтониан системы невзаимодействующих друг с другомэлектронов имеет вид:Hˆ    cˆ  cˆ  t cˆ cˆ,(9.2)00 i,  i,  i   ,  i, i, i,  , где 0 – энергия атомного уровня. Для простоты рассматривается одинатом в элементарной ячейке и один уровень энергии в атоме (который ипорождает зону проводимости). На этом уровне, согласно принципуПаули, могут находиться два электрона с противоположными проекциямиспина ( =1, 2 соответствуют направлению спина вверх и вниз).Операторы cˆ и cˆ- это операторы рождения и уничтоженияi, i, электрона с соответствующей проекцией спина на i-м атоме.

Индекс 108пробегает ближайших к i-му атому соседей, а t - туннельный матричныйэлемент перехода электрона с i-го атома на соседний.Гамильтониан (9.2) не учитывает кулоновского взаимодействиямежду электронами.Хаббард предложил учесть это взаимодействие, но не полностью, атолько в том случае, когда два электрона находятся на уровне,принадлежащем одному и тому же атому. В остальных случаях, когдаэлектроны расположены дальше друг от друга (даже на соседних атомах),их кулоновское взаимодействие не учитывают.Пусть U – матричный элемент кулоновского взаимодействия двухэлектронов на одном и том же атоме.

Тогда гамильтониан системывзаимодействующих электронов имеет видHˆгде операторX Hˆ  U  nˆ nˆ ,0i,1 i,2inˆ cˆ  cˆi, i,  i, (9.3)(9.4)представляет собой оператор числа частиц в данном состоянии. Такое,казалось бы, небольшое усложнение гамильтониана Ĥ приводит к0принципиально новым физическим результатам.РассмотримосновноесостояниегамильтонианаĤ .0Туннелирование электронов с атома на атом приводит к их делокализации.При этом уровень с энергией 0 расплывается в зону шириной  2t ,1(9.5)(смотри рис.31), причем половина электронных состояний, лежащая внижней части зоны, понижает свою энергию по сравнению с 0, а втораяполовина, соответствующая верхней части зоны, повышает.

Общее числосостояний в зоне равно 2N, где N – число элементарных ячеек в кристалле,а двойка возникает из-за того, что в состоянии с одним и тем же значениемволнового вектора могут находиться два электрона с противоположнымипроекциями спина.Рассмотрим случай, когда на каждый атом приходится в среднем поодному электрону, то естьn  n    n  1i,1i ,2109(скобки означают среднее по кристаллу значение величины). В этомслучае зона наполовину заполнена, и вещество является металлом.01Рис.31.Теперь рассмотрим гамильтониан Хаббарда (9.3). Если U  1 , тослабое кулоновское взаимодействие качественно ничего не изменяет.Электроны делокализованы, и их пси-функции отличны от нуля во всемкристалле.Пусть в начальный момент на каждом атоме было по одномуэлектрону.

Совершая скачок на соседний атом, электрон образует такназываемую «двойку» (два электрона на атоме). Это приводит кувеличению энергии системы на величину U, то есть возникает«проигрыш» в энергии. Но сама делокализация, как уже отмечалось,понижает энергию занятых состояний в нижней половине зоны навеличину порядка 1, то есть приводит к «выигрышу» в энергии.Поскольку система в основном состоянии обладает минимальновозможной энергией, то в случае U  1 вещество будет металлом.Рассмотрим теперь случай U  1 . В этом случае повышениеэнергии за счет образования “двоек” не компенсируется выигрышемэнергии за счет делокализации электронов. Электронам выгоднееоставаться на своих первоначальных местах, то есть локализоваться.Основное состояние в этом случае будет диэлектрическим.Обращаем внимание, что вещество является диэлектриком принечетном числе электронов, приходящихся на одну элементарную ячейку,что принципиально невозможно в случае невзаимодействующихэлектронов.Меняя соотношение между U и 1, можно при U~1 перейти издиэлектрического состояния в металлическое или наоборот.

Такой110переход называется фазовым переходом металл-диэлектрик. Реально такойпереход можно осуществить, прикладывая к образцу внешнее давление.Поскольку U описывает кулоновское отталкивание на одном и том жеатоме, то его величина слабо зависит от расстояния между атомами,которое уменьшается с ростом давления. Параметрыже t и 1пропорциональны интегралу перекрытия волновых функций на соседнихатомах и экспоненциально растут по мере уменьшения расстояния междуними. Поэтому под давлением вещество может перейти издиэлектрической фазы в металлическую.Если число электронов n на элементарную ячейку меньше единицы(это возможно в случае введения в кристалл примесей или в случаетвердых растворов), то наряду с «единичками» (один электрон на атом) вкристалле имеются «нули» – атомы, точнее ионы, рассматриваемыйэнергетический уровень которых пуст. Скачок электрона на такое пустоеместо не сопровождается ростом кулоновской энергии (рис.32а).

Поэтомупоявление таких «нулей»-дырок способствует электропроводности, ипереход металл-диэлектрик происходит при большем значении отношенияU/1, чем в случае половинного заполнения.абРис.32.Если же n>1, то в кристалле уже есть «двойки». Но один изэлектронов такой «двойки» может перескочить на соседний уровень,занятый одним электроном («единичку») (рис.32б).

Этот процесс также неприводит к росту кулоновской энергии, так как в результате такогопроцесса «единичка» и «двойка» поменялись местами, но новых «двоек»не возникло. Такой процесс также способствует электропроводности иповышает значение U/1, при котором происходит переход металлдиэлектрик. Фазовая диаграмма модели Хаббарда при Т=0, когдареализуется основное состояние системы, приведена на рис.33.Вернемся теперь к рассмотрению прыжковой проводимости.111При n=1, когда на донор приходится по одному электрону и t  Uсистема доноров находится в диэлектрической фазе и никакойметаллической проводимости мы не увидим.tUметалл1диэлектрик12nРис.33.

Фазовая диаграмма модели Хаббарда.Однако существует возможность уменьшить n, вводя вполупроводник акцепторы (компенсация). В результате появятсяионизованные доноры. Прыжок электрона с нейтрального донора наположительно ионизованный не сопровождается ростом кулоновскойэнергии.Значит ли это, что в сильно компенсированном полупроводнике( n  1) в области низких температур мы будем наблюдать металлическийход сопротивления? В рамках рассмотренной модели – да, но в реальнойситуации – не всегда.Дело в том, что производя компенсацию, мы создаем вполупроводнике большое количество заряженных примесей.

Электронына донорах взаимодействуют с электрическим полем этих примесей,возникает добавка к потенциальной энергии электрона.В силу того, что примеси разбросаны по полупроводнику случайнымобразом, эта добавка будет разной для разных доноров. Этого неучитывает модель Хаббарда, в которой энергия электрона  0 одинакова навсех донорах.9.3. Андерсоновская локализацияВ сильно компенсированном полупроводнике вероятностьвозникновения «двойки» мала, поэтому мы будем пренебрегать этойвозможностью и опустим хаббардовское кулоновское слагаемое в112гамильтониане. Вместо этого учтем разброс энергетических уровнейдоноров вследствие взаимодействия со случайным окружениемзаряженных примесей. В результате гамильтониан модели, предложеннойамериканским физиком П.В.

Андерсоном, примет вид:Hˆ   cˆ  cˆ   t cˆ  cˆ ,Ai i ii,  i   iii, (9.6)где i пробегает все донорные атомы, а  - ближайшие к данному атомусоседи-доноры.Если все совпадают, то мы переходим к известномуiгамильтониану сильной связи.Будем ли мы при низкой температуре наблюдать металлический илидиэлектрический тип электропроводности зависит от соотношения междуt и величиной  , характеризующей разброс энергетических уровней(рис.34), а также от размерности пространства d.w0iРис.34. Плотность вероятности распределенияэнергий донорных уровней.Разъясним подробнее последние утверждение.

Мы живем втрехмерном пространстве и свойства обычного кристалла соответствуютd=3. Рассмотрим теперь тонкую пленку, толщина которой b намногоменьше двух других ее размеров. Для носителей заряда пленкапредставляет собой одномерную потенциальную яму (в направленииперпендикулярном плоскости пленки). Если характерная разность энергий 2 / m * b 2 между уровнями в такой яме (m*– эффективная масса НЗ)превосходит температуру Т, то степень свободы, соответствующаядвижению поперек пленки, «вымерзает» и НЗ в пленке обладают двумя113степенями свободы (отвечающими движению вдоль пленки). Такие НЗназывают двумерными.Оценим характерную температуру Т, при которой НЗ в пленкетолщиной b=10 Å=1нм являются эффективно двумерными, предполагая,что m* ~ me , где me - масса свободно электрона:210  68T  T ~~ 10  20 Дж ~ 10 3 K .m b 2 10  30  10  18eСоответственно для пленки толщиной b=100 Å Т*=10K.Теперь легко понять, что такое одномерный газ НЗ.

Для этогонеобходимо взять тонкую проволочку (нанопроволоку) с диаметром2D~1нм. При T  T НЗ в такой проволоке являются2m Deсущественно одномерными. Две степени свободы поперечного движениявыморожены, остается только движение вдоль проволоки.Вернемся теперь к модели Андерсона. В металлической фазесостояния НЗ на уровне Ферми делокализованы, то есть их волноваяфункция существенно отлична от нуля во всем кристалле. Вдиэлектрической фазе НЗ на уровне Ферми локализованы, то есть их  функция существенно отлична от нуля в ограниченной области кристалла(смотри рис.35).

Характеристики

Список файлов книги