Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Предположим, что по этой поверхности возможно уйти скольугодно далеко из исходной точки в k - пространстве в направлении приложенного электрического поля. Тогда процессы переброса будут происходить при пересечении изображающей точкой границы зоны Бриллюэна.Поскольку характерный волновой вектор фонона qT  kF , то прииспускании или поглощении фонона изображающая точка электрона смещается случайным образом по поверхности Ферми на расстояние порядкаqT . Энергия электронов (дырок)  изменяется при этом на величину порядка 100%, так как энергии тепловых фононов также порядка T . Следовательно, процессы испускания (поглощения) фононов являются в этомдиапазоне температур существенно неупругими, и закон ВидеманаФранца не выполняется.67Оценим характерное время процесса переброса, как время диффузииэлектронного возбуждения по поверхности Ферми от выбранной гранизоны Бриллюэна до противоположной.

Поскольку за характерное время eN, ph между нормальными процессами испускания (поглощения) фононапроисходит смещение изображающей точки на расстояние qT , то коэффициент диффузии Dk в k-пространстве можно оценить какDk qT2 eN, ph.(5.48)Время диффузии возбуждения на расстояние qD можно найти, используясоотношение r 2  6 Dt , где r 2 - средний квадрат расстояния, пройденного частицей за время t , а D - коэффициент диффузии:qD2  Dk eU, ph ,откуда2q    eN, ph  D    eN, ph  D  .T  qT  eU, ph2(5.49)Оценим величину  eN, ph , используя выражение (5.45).

В исследуемой ситуации g  0 . Ограничимся изотропным случаем и направим ось z в направлении вектора k . Тогда, переходя от переменной k  к переменнойq  k   k , получим eN, ph122d 3q(k,kq,p,0)  (2 )3p{  qvF cos  s p q  n p (q )  Fe(0) (k  q )   qvF cos  s p q  (1  Fe(0) (k  q )  n p (q ) } ,(5.50)где  - угол между вектором q и осью z.Поскольку vF  s , то аргумент  -функции обращается в ноль при , близких к  / 2 .Перейдем в сферическую систему координат (q, , ) и выполниминтегрирование по полярному углу  . Вводя переменную x  cos , приходим к выражению68( eN, ph )1121  dx  q 2dq  (k , k  q, p,0) p 120{  qvF x  s p q  n p (q )  Fe(0) (k  q )   qvF x  s p q  (1  Fe(0) (k  q )  n p (q ) } .(5.51)Интегрирование по переменной x приводит к снятию  -функции.

Послеэтого остается интегрирование по модулю q . Поскольку мы рассматриваем релаксацию возбуждений с характерной энергией  (k )  T , то они могут испускать фононы с энергией  p (q )  T , а поглощаются те фононы,которые существуют при данной температуре, то есть тепловые фононы сэнергией  p (q )  T . Поэтому интегрирование по q ограничено сверхувеличиной qT .Рассмотрим зависимость матричного элемента  (k , k  q, p,0) от q .Покажем, что интеграл в правой части выражения (5.41) линейно зависитот q . Это можно легко понять, если вспомнить, что акустическое колебание с q  0 соответствует параллельному сдвигу кристалла, то есть смещения всех ионов одинаковы.

Их одновременное смещение относительноэлектрона эквивалентно его смещению относительно ионной решетки впротивоположном направлении. Поэтому величинаI (k , k , j, l , s)  F j ,(5.52)где F j - компонента силы, действующей на электрон со стороны ионнойрешетки при смещении, равном нулю. Поскольку несмещенное положениесоответствует минимуму энергии электрона, то F j  0При малых q подынтегральное выражение можно разложить в рядпо q и первое неисчезающее слагаемое линейно по q . Но  (k , k  q, p,0)содержит также и сомножитель  p1/ 2 (q ) , который для акустических ветвей пропорционален q 1/ 2 .

Итого (k , k  q, p,0)  q1/ 2 .Поэтому Ne, ph1 qT3  T 3 ,(5.53)(5.54)69так как для q  qTn p (q )  1. Коэффициент при T 3 можно оценить изусловия, что при T   D выражение для  eN, ph1должно переходить вформулу (5.47). Окончательно eN, ph1T3 D2.(5.55).(5.56)Подставляя (5.55) в формулу (5.49), находим eU, ph1T5 D4Следовательно, фононный вклад в сопротивление металлов с открытой поверхностью Ферми при T   D ведет себя как T5.(5.57)Эта зависимость называется законом Блоха.На самом деле, переход от зависимости   T к зависимости   T 5происходит в районе T   D /10 . Качественно вид зависимости  (T ) представлен на рис.15.TDРис.15.

Температурная зависимость сопротивления металлов с открытой поверхностью Ферми.Температурную зависимость коэффициента теплопроводности в области температур T   D найти существенно проще. Если  e, ph   e,imp ,то теплосопротивление обусловлено именно взаимодействием с фононами. Поскольку мы исследуем процесс теплопроводности при условии70j  0 , то поток электронов отсутствует, а время, входящее в выражение(5.20), представляет собой характерное время, за которое электронное воз-буждение теряет свою энергию, то есть время eN, ph . Таким образом, приT   D величина  T 2 .(5.58)Эта зависимость справедлива вплоть до температуры T0 , при которой e,imp (T0 )   eN, ph (T0 ) .

В области более низких температур преобладают упругие процессы рассеяния на примесях и   T . Качественный вид зависимости  (T ) приведен на рис.16.DT0TРис.16. Температурная зависимость коэффициента теплопроводности металла.5.7. Электрон-электронное рассеяниеИсследуем теперь вклад в электро- и теплосопротивление, обусловленныйрассеянием электронных возбуждений друг на друге, используя метод теории возмущений.

Заряженные частицы взаимодействуют друг с другом, врезультате чего изменяются их импульсы. Пусть волновой вектор первогоэлектрона меняется с k1 на k3 , а второго - с k2 на k4 . Матричный элементтакого взаимодействия имеет вид:k3 , k4 VˆK k1, k2   k (r2 ) k (r1 )43e2 k (r2 ) k (r1)d 3r1d 3r2 ,14 0 r2  r1 2(5.59)71где r1 и r2 - координаты электронов,  k (r ) - их блоховские волновыефункции, отвечающие невозмущенному гамильтониану. Используя представление блоховской функции в виде (2.9), получаемk3 , k4 VˆK k1, k2 uk (r2 )uk (r1)43e2u (r2 )uk (r1) 14 0 r2  r1 k2 exp i(k2  k4 )r2  i(k1  k3 )r1  d 3r1d 3r2 .(5.60)Переходя от переменной r2 к переменной   r2  r1 и используя периодичность функций uk , находимe2k3 , k4 VˆK k1, k2   uk (r1   )uk (r1 )434 0 uk (r1   )uk (r1)exp i(k2  k4 )   21 exp i(k1  k2  k3  k4 )r1  d 3r1d 3   exp i(k1  k2  k3  k4 )l luk (r1   )uk (r1)43e24 0 эл.

яч.d 3r1  d 3  uk (r1   )uk (r1) 21 exp i(k2  k4 )   exp i(k1  k2  k3  k4 )r1  ,(5.61)суммирование по l ведется по всем элементарным ячейкам, интеграл поd 3  берется по всему пространству, а интеграл по r1 - по элементарнойячейке. Сумма по l отлична от нуля и равна числу элементарных ячеек N,если выполнено условиеk3  k4  k1  k2  g ,(5.62)где g - вектор обратной решетки.Таким образом, в процессе рассеяния, обусловленном кулоновскимвзаимодействием частиц, сохраняется их квазиимпульс.

Поэтому незави-72симыми переменными, характеризующими матричный элемент, являютсявеличины k1, k2 , k3 , g :k3 , k4 VˆK k1, k2  Vee (k1, k2 , k3 , g )  Nэл. яч.uk (r )3e24 0 d 3r  d 3 uk k12  g k3(r   ) uk (r   )uk (  )exp (k3  k1  g )   exp  igr  . (5.63)21В случае, когда q  k3  k1  g стремится к нулю, величина матричного элемента стремится к бесконечности (смотри формулу (4.23)). Такая жерасходимость возникает и в интегралах (5.23) и (5.41), если считать, чтовзаимодействие электрона с примесью или ионом является неэкранированным кулоновским взаимодействием. Однако, как мы знаем из главы 4,кулоновское взаимодействие двух заряженных частиц в металле ослабляется в  (k ,0) раз вследствие эффектов экранирования (  (k ,0) - диэлектрическая проницаемость), и эти расходимости исчезают.На рис.17 изображены возможные процессы, обусловленные кулоновским взаимодействием.

Пунктир показывает наличие кулоновскоговзаимодействия между частицами. На рис.17 опущены диаграммы нефизических процессов одновременного рождения из «ничего» (исчезновенияв «никуда») двух электронно-дырочных пар.Предоставляем читателю самому выписать все четырнадцать слагаемых в гамильтониане Hˆ e,e , записанном во вторично-квантованном виде, которые обусловлены изображенными на рис.17 процессами.

Характеристики

Список файлов книги