Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Удобнее рассматривать величину  (k ,  ) , которая показывает, восколько раз ослабляется внутри металла соответствующая Фурьекомпонента напряженности электрического поля (или потенциала).Рассмотрим вначале статический случай (   0 ). Определим величину  (k ,0) на основе выражения, полученного для потенциала заряженной примеси (4.12). Фурье-преобразование зависимости потенциала точечного заряда от координат дает выражениеq.(4.23)0 ( k )  0k 2Аналогичное преобразование зависимости (4.12) приводит к выражениюq.(4.24) (k )  0 (k 2   D2 )Считая, что  (k )  0 (k ) /  (k ,0) , получаем для диэлектрическойпроницаемости(4.25) (k ,0)  1   D2 / k 2 .Поскольку формула (4.12) получена в локальном приближении, товыражение справедливо при k   D .В области малых волновых векторов  (k ,0) кардинально зависит отk , что отличает металл от диэлектрика.

Говорят, что в металле сущест-венна пространственная дисперсия (зависимость  от k ). Легко видеть,что  (k ,0)   .k 0Теперь рассмотрим случай k  0 ,   0 . При этом на электроны действует однородное переменное поле, частоты  , направленное вдоль осих.

Напишем второй закон Ньютона для электронаd 2xm 2  eE  eE0eit .dt(4.26)Частное решение этого дифференциального уравнения имеет вид47xeE.m 2(4.27)Но смещение электронов на величину х приводит к возникновению поляризованностиe 2 ne(4.28)P  ene x  E.m 2Поскольку P   0 E , где  - диэлектрическая восприимчивость металла, а  1   , то для  получаем (0,  )  1 2e 2 neпл(0).1m 0 22(4.29)Формула (4.29) хорошо описывает диэлектрическую проницаемостьметалла в области частот   пл (0) . В области высоких частот надо учитывать наличие зонной структуры металла и возможность резонансныхпереходов между зонами.Таким образом, в области низких частот существенна частотная дисперсия  (зависимость  от  ).

При   0  (0,  )   .А как быть, если и k , и  отличны от нуля. В области vF k   ( vF- фермиевская скорость электронов) справедлива формула (4.25), апри vF k   - формула (4.29). При   kvF действительная часть  обращается в ноль. Однако в этой области значений k велика мнимая часть и    при k  0 ,   0 при любом соотношении между k и  .4.5. Скин-эффектРассмотрим проникновение электромагнитной волны в металл. Поскольку в электромагнитной волне   kc , то vF k   и главную роль играет частотная зависимость электрического поля волны.

Волна проникаетв глубь металла на характерное расстояние  , называемое глубиной скинслоя. Часть ее энергии поглощается, а остальная энергия отражается. Возможны два случая: 1) значение  намного превосходит длину свободногопробега электронов l (  l ) , 2) обратный случай (  l ) . Мы ограничимся рассмотрением первого случая, который называется нормальнымскин-эффектом. При нормальном скин-эффекте можно применять локальное соотношение между плотностью тока и напряженностью электрического поля (закон Ома).

В противоположном случае   l (аномальныйскин-эффект) надо использовать нелокальные соотношения, и выкладки48становятся очень громоздкими. В случае немагнитного металламагнитнаяиндукцияB связана с напряженностью магнитного поля H соотношением B  0 H .

Согласно уравнениям МаксвеллаrotE   0HD., rotH  j  t t(4.30)Здесь мы используем первый подход к описанию электромагнитного поляв металле и описываем электроны проводимости с помощью тока. В этомслучае можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости, если частота падающей волны намного меньше атомных значений.Рассмотрим безграничную плоскую поверхность металла, расположенную перпендикулярно оси х. Пусть металл занимает полупространствоx  0 , а напряженность поля падающей нормально на поверхность металлаплоской электромагнитной волны направлена по оси y и описываетсяформулой (4.31)E  E0 exp(ikx  it ) .Напряженность магнитного поля параллельна оси z и равна H  H 0 exp(ikx  it ) .(4.32)С учетом соотношения j   E (где  - электропроводность металла)формулы (4.30) принимают видEH,  0xtH E .x(4.33)Будем искать решение этих уравнений в металле в виде (4.31), (4.32).Подставляя эти выражения в (4.33), получаем системуikE  i0H , ikH  E.(4.34)Из условия существования нетривиального решения получаемk 2  i0 ,(4.35)откудаk  (1  i)02.(4.36)49Подставляя это значение k в (4.31), получаемE  E0e  x /  exp(ix it ) ,(4.37)где20(4.38)и есть характерная глубина проникновения поля в металл (глубина скинслоя).Для   2 106 c 1 и   107 Ом 1 м1 величина   0,1 мм .Комплексный показатель преломления металла n можно найти изсоотношения n2  k 2c 2 /  2 , где k 2 дается формулой (4.35).

С учетом того,что c 2  1 /  0 0 , находимn 2  i /  0 .(4.39)Коэффициент R отражения электромагнитной волны от металла равен2n 1R 1  2 2 0 / n 1(4.40)и стремится к единице при   0 . Соответственно стремится к нулю коэффициент  поглощения волны металлом (  1  R) .4.6. Циклотронный резонансПусть теперь в добавление к предшествующему рассмотрению к металлу приложено постоянное магнитное поле, направленное вдоль оси z, аего величина достаточно велика, чтобы радиус r спирали, по которойдвижется электрон в магнитном поле (ларморовский радиус), был бы намного меньше длины свободного пробега электрона l .

Кроме того, пустьr   . Тогда электрон попадает в область существования высокочастотного поля (в скин-слой) с периодом, равным периоду его вращения(рис.12).50Рис.12.За это время поле электромагнитной волны изменяется. Если частотавращения электрона в магнитном поле совпадает с частотой электромагнитной волны, то каждый раз на электрон, попадающий в скин-слой, действует одно и то же поле. Это приведет к эффективному ускорению электрона и увеличению его энергии, то есть электрон будет эффективно поглощать энергию электромагнитной волны.

Это явление носит названиециклотронного резонанса (резонанса Азбеля-Канера). Обычно в эксперименте изменяют величину магнитного поля при заданной частоте электромагнитной волны. В момент достижения резонанса наблюдается пик поглощения, которое измеряют путем сравнения интенсивности падающей иотраженной электромагнитных волн.Таким образом, экспериментально можно определить период вращения электрона в магнитном поле (3.4), а, следовательно, и циклотроннуюмассу m (3.6) на поверхности Ферми. Но циклотронная масса различнадля разных сечений поверхности Ферми. В эксперименте наблюдаетсязначение m , отвечающее экстремальным сечениям поверхности Ферми,поскольку их вклад в поглощение является определяющим.Глава 5.

Кинетические коэффициенты металла5.1. Электро- и теплопроводностьКак уже известно из рассмотрения фононной подсистемы, в равновесном состоянии какие либо потоки (заряда или энергии, например) отсутствуют. Их возникновение обусловлено неравновесностью функциираспределения квазичастиц, являющихся переносчиками заряда и энергии.Мы будем считать отличие функции распределения электронных и дырочных возбуждений F (k ) от своего равновесного значения F0 (k ) малым:51F (k )  F0 (k )  f (k ) ,(5.1)гдеF0 (k )  exp( (k ) / T )  11,(5.2) (k ) дается формулой (2.47), а f (k )  F0 (k ) .В первой части курса было показано, что плотность электрическоготока j и плотность потока энергии Q выражаются через неравновеснуючасть функции распределения f (k ) следующим образом:je( h )  2qe( h )d 3k,(2 )3(5.3)d 3k, (k ) f e( h) (k )ve( h) (k )(2 )3(5.4)k k F( k k F )Qe( h )  2k k F( k kF )fe( h ) (k )ve ( h ) (k )где индекс e(h) соответствует электронам (дыркам), q и v - их заряд игрупповая скорость.

Интегрирование ведется по k  kF для случая электронов и по k  kF для случая дырок. В (5.3) и (5.4) учтено, что каждомузначению волнового вектора k соответствует два состояния, отличающиеся проекцией спина.Для нахождения неравновесной части функции распределения электронов (дырок) воспользуемся кинетическим уравнением Больцмана, которое рассмотрено нами в первой части курса.

Оно имеет вид: F ( r , p, t )  F ( r , p, t ) F ( r , p, t )vj  j  I ст ,t rj pj(5.5)где rj , v j , p j - компоненты координаты, скорости и импульса, характеризующих частицу,  j - компонента действующей на нее внешней силы, аI ст - интеграл столкновений.Рассмотрим вначале явление электропроводности. Пусть под действием стационарного электрического поля с напряженностью E по проводнику течет постоянный ток.

В однородном и стационарном случае, которым мы ограничимся, первые два слагаемых в левой части (5.5) равны52нулю. В третьем слагаемом можно учесть только производную от равновесной части функции распределения F0 (k )  F0 (k )   F0 (k )v j (k ) . pj  p j(5.6)Представляя интеграл столкновений в  -приближении, приходим к следующему уравнениюf e( h ) (k ) F0e( h) (k ),(5.7)qe( h)ve( h ) (k ), E   (k )где мы учли, что   qe( h) E , и предположили, что  e (k )   h (k ) .

Характеристики

Список файлов книги