Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Для этого используются численные методы,которые мы рассмотрим позже.Аналитическое рассмотрение возможно в двух случаях:1. Приближение почти свободных электронов. Оно справедливо, когдахарактерная кинетическая энергия электронов намного превосходитV (r ) .2. Приближение сильной связи. Это противоположный предельный случай, когда V (r ) намного превосходит кинетическую энергию электронов.2.2. Приближение почти свободных электроновВоспользуемся квантовомеханической теорией возмущений и будемрассматривать потенциальную энергию взаимодействия электрона с ионной решеткой как возмущение. Невозмущенный гамильтониан (первоеслагаемое в левой части уравнения (2.1)) описывает свободные электроны,и его собственными функциями являются волны де Бройля: k(0) (r ) 1 ikre ,(2.11)где  - объем кристалла.

Собственное значение энергии  0 (k ) равно, соответственно16  2k 2. 0 (k ) 2me(2.12)В первом порядке теории возмущений, рассчитав диагональный матричный элемент, получим добавку к  0 (k ) , равную среднему по кристаллузначению V (r ) . Действительно   1 k V (r ) k   V (r )d 3r  V (r ) ,(2.13)где черта над V (r ) означает усреднение по объему (или элементарнойячейке).В дальнейшем будем отсчитывать энергию от уровня, определяемогоформулой (2.13).

При этом выражение (2.12) для  0 (k ) не изменится.Рассмотрим теперь недиагональные матричные элементы оператораV (r ) :'  1 3   i ( k  k ' ) r k V (r ) k   d r V (r )e.(2.14)Выражение (2.14) представляет собой Фурье-образ функции V (r ) .В силу периодичности V (r ) данное выражение отлично от нуля,'  только если k  k  g , где g - вектор обратной решетки.

Соответствующий матричный элемент мы будем обозначать Vg .В первом порядке теории возмущений для невырожденного случая (  0 (k )   0 (k  g ) ) для волновой функции электрона получим k (r )Vg(0)   k (r )  g  0  0 (k )   0 (k ( 0)   k  g (r ) .g)(2.15)Условие применимости теории возмущений, а, следовательно, и приближения почти свободных электронов имеет вид: Vg   0 (k )   0 (k  g ) .(2.16)При выполнении условия (2.16) волновая функция электрона видоизменяется незначительно, а его энергия приобретает малую добавку (k )   0 (k )  Vg2g  0  0 (k )   0 (k . g)(2.17)17Важно отметить, что при заданном значении g 0 существуют такие k , для которых  0 (k )   0 (k  g0 ) .

Используя формулу (2.12), получаемусловие(2.18)2k g 0  g 02  0 ,то есть условие Вульфа-Брэггов дифракционного максимума при дифракции электронов на пространственной ионной решетке. Оно выполняетсяна брэгговских плоскостях. Следовательно, вблизи них необходимо использовать теорию возмущений для вырожденного случая.В произвольной точке брэгговской плоскости сильно смешиваютсядва состояния, описывающиеся  -функциями  k и  k  g . Вклад состоя0 ний с g  g 0 мал в силу соотношения (2.16), и им можно пренебречь. Таким образом, необходимо решить вековое (секулярное) уравнение длядвукратно вырожденного состояния. (Если рассматриваемое значение kлежит на пересечении брэгговских плоскостей, то степень вырождениявыше).Будем искать  -функцию электрона с k , лежащим вблизи брэгговской плоскости, в виде линейной суперпозиции k (r )   (k ) k(0) (r )   (k  g0 ) k(0)g (r ) .0(2.19)Действуя на волновую функцию оператором Гамильтона2ˆH   Vˆ (r ) , а затем помножая поочередно слева получившееся2m  уравнение на  k(0) (r ) и  k(0)g (r ) соответственно и интегрируя по d 3r ,0получаем следующую систему однородных линейных уравнений относи тельно коэффициентов  (k ),  (k  g0 ) : [ 0 (k )   (k )] (k )  V g  (k  g 0 )  0,0   V(k)[(kg)(k)](k g 0 )  0;00 g 0где мы учли что(2.20)18(2.21)Hˆ  k (r )   (k ) k (r ) .Собственное значение энергии электрона  (k ) находим из условия существования нетривиального решения системы (2.20): 0 (k )   (k )V g0 0 (k  g0 )   (k )Vg00.(2.22)Учитывая, что V g 0  Vg0 , получаем121,2 (k )  { 0 (k )   0 (k  g0 )1/ 2( (k )   (k  g )) 2  4 V 2 00g0  0},(2.23)индексы 1 и 2 соответствуют знакам - и + в правой части (2.23).

Подставляя 1,2 (k ) в одно из уравнений (2.20) и учитывая условие нормировки22 ( k )   ( k  g 0 )  1,(2.24) находим величины  (k ) и  (k  g 0 ) :  V g 01,2 (k )   2 Vg 0  Vg1,2 (k  g 0 )    0 2 Vg 0  0 (k )   0 (k  g 0 )1  [ 0 (k )   0 (k  g 0 )]2  4 Vg 01/ 22,(2.25)1/ 2  0 (k )   0 (k  g 0 ) . (2.26)1   22[ 0 (k )   0 (k  g 0 )]  4 Vg 0  Найдем теперь области значений k , которым соответствуют най денные значения 1,2 (k ) , 1,2 (k ) и 1,2 (k  g 0 ) .

Для этого сделаем пре-дельный переход Vg 0  0 . При этом мы должны получить невозмущенное значение энергии  0 (k ) ,  (k )  1 и  (k  g 0 )  0 .19Этому условию удовлетворяет в каждой области значений k толькоодин из корней. В результате находим, что первое решение справедливопри 2k g 0  g0 2  0 , а второе - при обратном знаке неравенства.На самой брэгговской плоскости имеет место разрыв закона дисперсии, причем величина скачка энергии равна 2 Vg 0 . Для одномерного случая вид зависимости  (k ) с учетом всех брэгговских плоскостей (в одно-мерном случае - точек), соответствующих k  dn (n - натуральное чис-ло, а d - период решетки), изображен на рис.3а.Сдвигая соответствующие участки графика  (k ) на вектор обратной2решетки g n (n - натуральное число), мы можем все их перенести вdпервую зону Бриллюэна (рис.3б). При этом в первой зоне Бриллюэна возникает набор законов дисперсии, которые будем нумеровать по мере возрастания энергии.

Например, второй закон дисперсии на рис.3б получилсяпутем переноса участков из областей II и III. Причем один из них гладкопереходит в другой, и каких-либо разрывов или изломов графика  (k ) вцентре зоны Бриллюэна не возникает. Разрывы имеют место только награницах зоны Бриллюэна. Эта же закономерность справедлива в двумерном и трехмерном случаях.II2dIIII0dd2dаkd0dkбРис.3.Каждому такому закону дисперсии соответствует область разрешенных значений энергии - электронная зона.

Между ними имеются области20значений энергии, шириной 2 Vg в которых нет ни одного электронногосостояния. Они называются запрещенными зонами.Таким образом, в результате дифракции электронов на кристаллической ионной решетке возникают разрывы закона дисперсии на границахзоны Бриллюэна, то есть запрещенные зоны, которые разделяют электронные зоны. В каждой электронной зоне содержится 2 N состояний, (N число элементарных ячеек в кристалле), так как в зоне Бриллюэна N различных разрешенных значений k , а фактор 2 возникает за счет вырождения состояния с заданным k по проекции спина электрона.2.3.

Металлы, диэлектрики, полупроводникиЕсли на элементарную ячейку кристалла приходится нечетное числоэлектронов, то в основном состоянии одна из электронных зон будет заполнена наполовину, все нижележащие зоны - заполнены полностью, а всевышележащие - пусты. При этом граница между заполненными и незаполненными состояниями проходит внутри электронной зоны, и для того,чтобы возбудить электрон, находящийся вблизи этой границы, достаточносколь угодно малой энергии. Такие кристаллы будут металлами, то естьбудут обладать хорошей электропроводностью, которая будет расти помере понижения температуры.Следовательно, можно сделать вывод, что кристаллические вещества, у которых на элементарную ячейку приходится нечетное число электронов, должны быть металлами.

Такой вывод справедлив в случае, когдакулоновское взаимодействие между электронами не играет существеннойроли. Но в действительности, в случае сильного межэлектронного взаимодействия, такой кристалл может оказаться диэлектриком.Что же будет, если на элементарную ячейку приходится четное число электронов? В рамках модели почти свободных электронов, где соседние электронные зоны обязательно разделены запрещенной зоной, окажется, что в основном состоянии заполнено полностью некоторое количество зон, а все зоны, лежащие выше по энергии, полностью пусты.

Последняя (наивысшая по энергии) заполненная зона, называемая валентнойзоной, отделена от первой незаполненной (наинизшей по энергии) зоны,называемой зоной проводимости, запрещенной зоной. Чтобы возбудитьэлектрон из валентной зоны в зону проводимости, необходима энергия,превосходящая или равная ширине запрещенной зоны. При T  0 , поддействием теплового движения некоторое количество электронов возбуждается из валентной зоны в зону проводимости. Но с понижением температуры их число экспоненциально убывает. Поэтому такое вещество будет21диэлектриком или полупроводником, то есть обладать электропроводностью существенно меньшей, чем у металлов, причем резко убывающей спонижением температуры.

Характеристики

Список файлов книги