Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Важно отметить, что диэлектрики от полупроводников отличаются не качественно, а количественно. Если ширина запрещенной зоны превосходит некоторое значение, то вещество называютдиэлектриком, а если она меньше этого значения, то полупроводником.Эта граница была выбрана учеными по договоренности и никак не связанас физическими законами. Обычно ее считают равной 3 эВ.Однако даже при четном числе электронов на элементарную ячейкувещество может оказаться металлом. Дело в том, что (как мы увидим уже вследующем параграфе) электронные зоны могут перекрываться. И еслиименно такая ситуация имеет место для верхней заполненной зоны, то двеперекрывающиеся зоны в основном состоянии будут заполнены частично.Граница между заполненными и пустыми состояниями будет проходитьвнутри электронных зон, и вещество окажется металлом.2.4.

Приближение сильной связиПредположим, что электрон сильно связан со своим атомом. Приэтом в качестве нулевого приближения можно рассматривать кристалл каксовокупность отдельных атомов, а перескоки электрона с атома на атомсчитать редкими и учитывать как возмущение.В уединенном атоме состояния электрона описываются  - функ циями  iат (r  R) , где R - координата ядра, соответствующие им собственные значения энергии  i образуют дискретный набор (мы учитываемтолько связанные состояния электрона с ядром). В отсутствие магнитногополя каждый уровень двукратно вырожден по проекции спина электрона.Проследим трансформацию уровней энергии при постепенномсближении атомов, образующих кристалл.

Пусть в кристалле имеется Nэквивалентных атомов. Когда они далеки друг от друга, и взаимодействием между ними можно пренебречь, уровень с энергией  i оказывается 2Nкратно вырожденным. По мере сближения атомов вследствие взаимодействия между ними вырождение снимается, и каждый уровень порождаетэлектронную зону, содержащую 2N состояний (рис.4).Эти зоны могут быть разделены запрещенными зонами, а могут перекрываться. Причиной перекрытия может оказаться то, что исходныеуровни энергии  i и  i 1 были близки друг к другу или вообще совпадали.В дальнейшем мы будем рассматривать одну электронную зону, поэтомуиндекс i будет опущен.22sШирина возникающей зоны пропорциональна интегралу перекрытияволновых функций электрона на соседних атомах:   (2.27)s   ат(r ) ат (r   )d 3r ,где  - элементарный вектор трансляции.

В самом деле, снятие вырождения обусловлено взаимодействием между атомами, а оно возникает вследствие перекрытия их электронных оболочек (слабым взаимодействиемВан-дер-Ваальса мы пренебрегаем).Рис.4.Вероятность перескока электрона с атома на атом также пропорциональна величине s .

Для того, чтобы  -функция электрона в кристалле неслишком сильно изменялась по сравнению с атомной, необходимо, чтобывыполнялось неравенство:s  1 .(2.28)Это и есть условие применимости приближения сильной связи.Поскольку в каждой элементарной ячейке кристалла плотность вероятности нахождения электрона в заданной точке близка к таковой в атоме, мы можем представить блоховскую функцию, описывающую электронв приближении сильной связи, как суперпозицию атомных  -функций,соответствующих всем эквивалентным атомам в кристалле. Эта суперпозиция должна удовлетворять теореме Блоха. Выберем волновую функциюв виде23 k (r ) 1ik l e  ат (r  l ) ,N l(2.29)где суммирование ведется по всем элементарным ячейкам кристалла.

Поскольку s  0 , введенная  -функция удовлетворяет условию нормировкис точностью до s , что будет учтено в дальнейшем.Для нахождения закона дисперсии электронов в получившейся зонеподставим пробную  -функцию (2.29) в стационарное уравнение Шредингера:(2.30)Hˆ  k (r )   (k ) k (r ) ,где 2ˆH V(rl ), ат2mel(2.31) а величина Vат (r  l ) это потенциальная энергия взаимодействия электрона с ионными остовами атомов, расположенных в l -ой ячейке.Помножая уравнение (2.30) слева на  k (r ) и интегрируя по всемуобъему кристалла, с учетом (2.29) получаем    31ik (l   l ) ˆe(rl)H(r l )d r  ататN l ,l    1  3ik (l   l ) (2.32)  (k )  e(rl)(r l )d r . ататN l ,l   Сделаем замену переменных под интегралом r  l  r и перейдем от  суммирования по l к суммированию по h  l   l .

В результате находим:1  3ik h  ˆe(r)H(r h )d r   ататN l , h 1     (k ) eik h  ат(r ) ат (r  h )d 3r .N l ,h(2.33)Поскольку выражения, стоящие под знаком суммы в уравнении(2.33), не зависят от l , то суммирование по l даст множитель N , которыйсократится с 1 / N .24Атомная  -функция экспоненциально спадает по мере удаления отядра.

Мы будем учитывать малый интеграл перекрытия атомных  функций на соседних атомах, но пренебрегать им в случае соседей, следующих за ближайшими или еще более удаленных. Тогда в сумме по h необходимо учесть только члены с h  0 и h   , где  пробегает ближайшие к данному атому эквивалентные атомы. Введем обозначения: 0   ат(r ) Hˆ  ат (r )d 3r ,(2.34)    ˆt   ат(r ) H ат (r   )d 3r ,(2.35)величину t называют туннельным матричным элементом. Он определяетвероятность туннелирования электрона с данного атома на соседний эквивалентный атом. Заметим, что значение  0 отличается от энергии электрона в изолированном атоме, так как в Ĥ учтено взаимодействие электронас окружающими данный атом ионными остовами. Отношение t /  0 малов меру малости интеграла перекрытия s .С учетом введенных обозначений выражение (2.33) принимает вид 0   t eik   (k )[1   s eik ] .(2.36)Пренебрегая членами, квадратичными по малому интегралу перекрытия(это было бы превышением точности), находим:ik  (k )   0   (t   0 s )e .(3.37)Обозначая через t величину~t  t   0 s ,получаем окончательно~ik  (k )   0   t e .(2.38)(2.39)Дальнейший расчет возможен только для кристаллической решеткиконкретного вида.

Мы ограничимся рассмотрением кубических решеток,так как в них все ближайшие соседи расположены на одинаковом расстоя-25нии от заданного атома и ~t  ~t , то есть не зависит от  и может бытьвынесено за знак суммы в (2.39).а) Простая кубическая решеткаВ данном случае у атома существует шесть ближайших соседей:1,2  (a,0,0) ;  3,4  (0,a,0) ;  5,6  (0,0,a) , где a - ребро элементарногокуба.Объединим слагаемые попарно:eik 1eik  2 eik x a  eik x a  2 cos k x a ,и так далее.

Окончательно для закона дисперсии в простой кубическойрешетке с учетом полученных выражений имеем:(2.40) (k )   0  2~t (cos k x a  cos k y a  cos k z a) .Как правило, величина ~t  0 , поэтому минимальная энергия (дно зоны)соответствует точке k  0 (центру зоны Бриллюэна) и равна  0  6~t , амаксимальная (потолок зоны) - точкам ( / a,  / a,  / a) (углам зоныt . Ширина зоны равна 12 ~Бриллюэна) и равна   6~t или 2 z ~t , где z 0число ближайших соседей.б) Объемноцентрированная кубическая решетка a a aЗдесь у атома восемь ближайших соседей с 18    ,  ,   (зна 2 2 2ки выбираются независимо).

Попарно группируя слагаемые в (2.39), находим закон дисперсии: (k )   0  8~t coskyakxak acoscos z .222(2.41)t  0 дно зоны также расположено в центре зоны Бриллюэна,При ~2  min   0  8~t , а потолок зоны - при k   0,0,  и в пяти других эквиваa t . Ширина зоны равналентных данному k точках,  max   0  8~2z ~t  16 ~t .26в) Гранецентрированная кубическая решеткаВ этой решетке у атома 12 ближайших соседей сa a2 2дисперсии имеет вид a 2a2 a 2a21 4   0, ,  ,  5 8    ,0,  и  9 12    , ,0  . Закон (k )   0  4~t (cosk yakxak ak acos cos x cos z 2222 coskya2coskza).2(2.42)При ~t  0 его минимум также расположен в центре зоны Бриллюэна, и min   0  12~t .

Однако  max   0  12~t , так как ни при каких k x , k y , k z выражение в квадратных скобках в (2.42) не станет равным -3. Поэтому ширина зоны меньше 2 z ~t . Нахождение величины  max , и значений k , в которых закон дисперсии достигает этого значения, предоставляем читателюв качестве упражнения.2.5. Численные методыОбсудим теперь применимость изложенных выше методов расчета креальным кристаллам. Приближение почти свободных электронов лучшевсего подходит для качественного описания внешних s и p электронныхоболочек атомов, образующих кристалл.

Характеристики

Список файлов книги