ЛК17 (1172690)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5.3. Силовой расчет механизмов с трением

Рассмотрим два метода силового расчета с трением.

Первый метод (метод последовательных приближений). В первом приближении связи считают идеальными, силами трения пренебрегают. По найденным реакциям находят силы трения и повторяют силовой расчет, считая силы трения известными. Если силы реакции, найденные во втором приближении, незначительно (10-20 %) отличаются от сил реакций, найденных в первом приближении, то силовой расчет на этом заканчивается. Если требуется большая точность, то вычисляют следующие приближения до тех пор, пока разница между значениями сил реакций, найденных в последующем и предыдущем приближениях, не окажется меньше допустимого значения.

В
качестве примера рассмотрим кривошипно-ползунный механизм, изображенный на рис.4.4. Будем считать массу шатуна 2 пренебрежимо малой (рис.5.8, а); тогда силы реакций, приложенные к этому звену в шарнирах А и В, и , должны быть направлены по линии АВ. Отметим, что при сделанном допущении ползун 3 становится статически определимым.

Первое приближение. Полагая силы трения равными нулю, запишем уравнения кинетостатики для ползуна 3 (рис.5.8, б):

(5.17)

Здесь α – угол наклона звена 2 (и силы реакции ) к линии перемещения ползуна. Отсюда найдем силы реакции в первом приближении:

(5.18)

Приняв, что сила реакции в поступательной паре , найдем силу трения F, действующую на ползун со стороны стойки:

, (5.19)

где f – коэффициент трения в поступательной паре. Отметим, что, если , то контакт ползуна и стойки осуществляется по нижней плоскости, и сила трения F приложена так, как показано на рис.5.8, в. Если , то контакт ползуна и стойки происходит по верхней плоскости, и там же действует сила трения F. Направлена сила трения в любом случае против относительной скорости движения ползуна.

Второе приближение. Составим уравнения кинетостатики для ползуна, полагая, что сила трения F, действующая на ползун со стороны стойки, известна и равна (5.19), высота ползуна равна 2h – см. рис.5.8, в, а сила реакции > 0 (направлена вверх).

(5.20)

Отсюда найдем силы реакции во втором приближении:

(5.21)

Из сравнения выражений (5.21) и (5.18) видно, что значения всех сил реакций изменились:

а момент стал ненулевым.

Полагая, что , можно найти силу трения и, считая ее известной, найти следующее, третье приближение, и т.д.

Если сила реакции , т.е. направлена вниз, то второе приближение даст следующий результат:

(5.22)

Сравнивая (5.22) с (5.18), получим:

.

(к+1)-е приближение. Можно показать, что нормальная сила реакции , найденная в (к+1)-м приближении, в случае, когда G₃ – (P + Ф₃)tgα > 0, определяется по выражению:

. (5.23)

Из анализа соотношения (5.23) следует, что при f tgα < 1 разница между силой реакции , найденной в к-м и (к+1)-м приближениях, уменьшается с ростом к. Это соответствует случаю «малого» угла давления α и «малого» коэффициента трения f. При f tgα > 1 разница между силой реакции , найденной в к-м и (к+1)-м приближениях, с ростом к увеличивается, а сила реакции R₀₃ на каждом приближении меняет знак. При f tgα = 1 сила реакции , найденной в каждом последующем приближении, равна попеременно то 0, то .Это означает, что данный метод при условии f tgα 1 неприменим. Схема, соответствующая этому условию, приведена на рис.5.9.

Е сли G₃ – (P + Ф₃)tgα < 0, т.е. < 0 (направлена вниз), то несложно получить выражение:

(5.24)

Из соотношения (5.24) следует, что силу реакции и в этом случае можно найти только тогда, когда ftgα < 1; в противном случае (как на рис.5.9) метод последовательных приближений неприменим.

Второй метод. Силовой расчет сводится к совместному решению уравнений кинетостатики, содержащих силы трения в качестве дополнительных неизвестных, и полученных выше соотношений, являющихся математическими моделями кинематических пар с трением (см. п.5.2). При отсутствии избыточных связей число неизвестных оказывается при этом равным числу уравнений. Нетрудно, однако, заметить, что уравнения математических моделей кинематических пар с трением содержат нелинейные функции от входящих в них компонент реакций (модуль, знак реакции и т.п.); поэтому и полная система уравнений силового анализа оказывается нелинейной.

Нелинейность уравнений вызывает ряд существенных осложнений при их решении. Во-первых, процесс определения решения становится более трудоемким; как будет показано ниже, в ряде случаев приходится многократно решать системы линейных уравнений. Во-вторых, может обнаружиться, что в рассматриваемом положении механизма при заданных кинематических параметрах движения и заданных коэффициентах трения система уравнений силового расчета вообще не имеет решения. С физической точки зрения это означает, что исследуемое движение для данного механизма с трением оказывается невозможным ни при каких значениях движущих сил. В этом случае обычно говорят о заклинивании механизма. Частным случаем заклинивания является эффект самоторможения: механизм невозможно вывести из состояния покоя, какую бы силу ни прикладывать к его входному звену. Увеличение движущей силы вызывает в таком механизме увеличение сил трения, уравновешивающих ее действие. В-третьих, система нелинейных уравнений может иметь и несколько решений; иными словами, при одних и тех же активных силах механизм может совершать заданное движение при различных движущих силах и различных значениях реакций. Обычно это происходит в таких положениях механизма, в которых возможно самоторможение, но активные силы и силы инерции имеют положительную мощность, т.е. «помогают» движущей силе, вызывая эффект «оттормаживания». Выяснить, какое из решений будет соответствовать действительным значения реакций и движущих сил, не удается, если оставаться в рамках исходной динамической модели жесткого механизма.

Рассмотрим несколько примеров.

Р асчет плоского рычажного механизма. Обратимся к тому же кривошипно-ползунному механизму, что и при рассмотрении первого метода (см. рис.4.4.). Как и ранее, будем считать массу шатуна 2 пренебрежимо малой, тогда силы реакций, приложенные к этому звену в шарнирах А и В, и , должны быть направлены по линии АВ. Зная направление силы , можно составить независимую систему уравнений кинетостатики для ползуна 3. Полагая, что ползун движется влево, т.е. < 0 и и используя модель поступательной пары с трением, описываемую уравнением (5.10), получаем следующую систему уравнений кинетостатики для ползуна (рис.5.10):

–R₂₃cosα + (P + Ф₃) + fR₀₃signR₀₃ = 0,

R₂₃sinα + R₀₃ – G₃ = 0, (5.25)

–R₀₃a + fR₀₃h = 0.

Здесь а – расстояние от оси шарнира В до линии действия силы реакции , fR₀₃signR₀₃ =F – сила трения. В системе уравнений (5.25) три неизвестных: R₂₃, R₀₃, a. Из третьего уравнения (5.25) находим: a = fh. Из второго уравнения (5.25) выразим R₂₃: . Подставляя R₂₃ в первое уравнение (5.25), получим R₀₃:

(5.26)

Это уравнение – нелинейное, так как функция signR₀₃ – нелинейна. Найдем решение этого уравнения при различных соотношениях между α и f, а также G₃ и Р + Ф₃ . Рассмотрим четыре возможных варианта (табл. 5.3):

Таблица 5.3

	«малое» трение: f < ctgα	«большое» трение: f > ctgα
G3ctgα – (P + Ф3) < 0	Вариант 1.1.	Вариант 1.2.
G3ctgα – (P + Ф3) > 0	Вариант 2.1.	Вариант 2.2.

Вариант 1.1. «Малое» трение; рабочая нагрузка P и сила инерции Ф₃ направлены против скорости ползуна («препятствуют» движению ползуна). Возможно единственное решение при R₀₃ < 0 (sign R₀₃ = – 1):

.

Контакт ползуна и стойки происходит по верхней плоскости, сила реакции R₀₃ направлена сверху вниз, Это – обычный тяговый режим. Отметим, что вариант R₀₃ > 0 (sign R₀₃ = + 1) невозможен: числитель в дроби (5.26) отрицательный, знаменатель – положительный, следовательно, дробь отрицательна.

Вариант 2.1. «Малое» трение; силы P и Ф₃ направлены против оси х («помогают» движению ползуна). В дроби (5.26) числитель положительный, знаменатель – положительный, следовательно, дробь также положительна. Существует единственное решение при R₀₃ > 0 (sign R₀₃ = + 1):

.

Контакт ползуна и стойки происходит по нижней плоскости, сила реакции R₀₃ направлена снизу вверх. Движение ползуна происходит за счет действия рабочей нагрузки и силы инерции. Это – инверсный тяговый режим.

Вариант 1.2. «Большое» трение; рабочая нагрузка P и сила инерции Ф₃ направлены против скорости ползуна. Уравнение (5.26) не имеет решения. Действительно, положив R₀₃ > 0 (sign R₀₃ = + 1), получим ,

т.к. числитель дроби отрицательный, а знаменатель – положительный. При R₀₃ < 0 (sign R₀₃ = – 1) имеем , поскольку числитель и знаменатель дроби отрицательные. Получающееся противоречие показывает, что решения не существует. Этот случай соответствует режиму самоторможения, при котором в рассматриваемом положении механизма и при заданном направлении силы движение вообще становится невозможным.

Вариант 2.2. «Большое» трение; силы P и Ф₃ направлены против оси х («помогают» движению ползуна). Тогда уравнение (5.26) имеет два решения. Действительно, полагая, что R₀₃ > 0 (sign R₀₃ = + 1), имеем:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций