ЛК17 (1172690), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

,

поскольку числитель и знаменатель дроби положительные. Положив R₀₃ < 0 (sign R₀₃ = – 1), получаем второе решение , поскольку числитель положительный, а знаменатель отрицательный. В этом случае мы имеем дело с режимом оттормаживания: при «большом» трении движение возможно в том случае, когда вектор Р + Ф₃ направлен так же, как и скорость ползуна. Существование двух режимов оттормаживания является одним из парадоксов Кулонова трения, подробно исследованных в книге Пенлеве¹. Установить, какое из решений будет фактически осуществляться, строго говоря, в рамках модели механизма с жесткими звеньями невозможно. Можно только показать, что некоторые «физические» соображения свидетельствуют в пользу первого решения. Нетрудно понять, что при увеличении коэффициента трения f следует ожидать увеличения модуля силы трения |F| , т.е. должно быть d|F|/df>0. Исследуя первое решение, получаем

,

поскольку G₃ctgα – (P + Ф₃) > 0. Следовательно,

.

Для второго решения находим

,

поскольку ctgα – f < 0. Следовательно,

.

Поэтому второе решение является с физической точки зрения «недостоверным».

Сведем все найденные решения в табл. 5.4. Для удобства сравнения результатов, полученных двумя методами, разделим числитель и знаменатель дроби выражения (5.26) на ctgα.

Таблица 5.4

	«Малое» трение: f < ctgα	«Большое» трение: f > ctgα
G3ctgα – (P + Ф3) < 0	Тяговый режим	Нет решения. Режим самоторможения
Метод последовательных приближений		–
G3ctgα – (P + Ф3) > 0	Инверсный тяговый режим	Режим оттормаживания
Метод последовательных приближений	ּ[ + + ]	–

Определив силы реакций, действующие на ползун, легко найти остальные реакции, возникающие в механизме. Так, рассматривая равновесие звена 2, получаем (m₂  0): R ₁₂ = R₂₃, а уравнения кинетостатики для звена 1 дают (рис. 5.11): , Q = R₁₂H, где H – расстояние от точки 0 до линии АВ.

Расчет плоского кулачкового механизма. Рассмотрим плоский кулачковый механизм с поступательно движущимся толкателем (рис.5.12). Ограничимся определением компонент реакций, действующих в плоскости движения. Уравнения кинетостатики, составленные для толкателя и кулачка, разделяются и могут решаться независимо. Составим уравнения кинетостатики для толкателя. Силы, действующие на толкатель со стороны кулачка, сводятся к силе , направленной по нормали к профилю кулачка в рассматриваемом положении, и силе трения . Выберем модель поступательной пары с двухточечным контактом; силы , и соответствующие силы трения и действуют на толкатель со стороны стойки. Введем систему координат 0₂x₂y₂, связанную с толкателем; в результате получаем уравнения кинетостатики в следующем виде:

(5.27)

З десь α и f₁ – соответственно угол давления и коэффициент трения в высшей кинематической паре К, f₂ – коэффициент трения в поступательной паре, P₂ – рабочая нагрузка, Ф₂ – сила инерции толкателя, а, h, L – геометрические параметры, обозначенные на рисунке. Силы P₂ и Ф₂ считаются положительными, если они направлены так, как они показаны на рисунке.

Система уравнений (5.27) является нелинейной: в ней присутствуют функции signN₁₂, signN_A, signN_B, имеющие разрывы при N₁₂=0, N_A=0, N_B=0. Урав-нения станут линейными, если задать знаки неизвестных реакций. Предварительно выберем знаки N₁₂, N_A, N_B такими, какими они получились бы в рассматриваемом положении механизма, если бы силы трения отсутствовали. Полагая f₁=0, f₂=0, получаем:

При заданном направлении сил P₂ и Ф₂ (эти силы прижимают толкатель к профилю кулачка) получаем N₁₂>0, N_A<0, N_B>0 (если L>a). Подставив в уравнения кинетостатики signN₁₂=1, signN_A=–1, signN_B=1, приходим к системе линейных уравнений

(5.28)

Из последних двух уравнений находим N_A и N_B:

(5.29)

Если L > a + f₂h , то при N₁₂ > 0 будет действительно N_A < 0 и N_B > 0. Подставим N_A и N_B в первое уравнение (5.28) и найдем из него реакцию N₁₂:

. (5.30)

Если Р₂ + Ф₂ > 0, то реакция N₁₂ останется положительной в системе с трением при выполнении условия

. (5.31)

При увеличении угла давления α или коэффициентов трения f₁ и f₂ значение σ уменьшается; при cosα = f₁sinα, т.е. при ctgα = f₁ она наверняка становится отрицательной. С уменьшением σ увеличивается значение |N₁₂|, при σ = 0 реакция становится «бесконечно большой», что свидетельствует о заклинивании механизма. Значения σ, при которых N₁₂ < 0, вообще не должны рассматриваться, поскольку такое решение не удовлетворяет тем условиям, при которых были получены уравнения (5.28). Могут ли исходные уравнения (5.27) иметь решение, в котором N₁₂ < 0 при Р₂ + Ф₂ > 0 ? Если при этом принять, что N_A>0, N_B<0, то из (5.27) получаем

(5.32)

Из последних двух уравнений находим:

(5.33)

Полагая, что N₁₂ < 0, sinα > f₁cosα (сtgα < f₁), получаем, действительно, N_A > 0, N_B < 0. Подставив (5.33) в первое уравнение (5.32), имеем:

. (5.34)

Это уравнение, а следовательно, и исходная система не может иметь решение N₁₂ < 0 при Р₂ + Ф₂ > 0, какими бы ни были значения α и f₂. Таким образом, при σ < 0 исходная система уравнений вообще не имеет решений, если Р₂+Ф₂>0.

Пусть Р₂ + Ф₂ < 0, т.е. предположим, что направление суммарной силы совпадает с направлением скорости толкателя . Может ли система уравнений (5.27) иметь при этом решение, в котором N₁₂ > 0, N_A < 0, N_B > 0? Если L > a + f₂h, то для определения N₁₂ вновь получаем выражение (5.30), из которого следует, что при σ < 0 и Р₂ + Ф₂ < 0 будем иметь N₁₂ > 0, а тогда в силу соотношений (5.29) имеем N_A < 0, N_B > 0.

Таким образом, при выполнении условия σ < 0 движение возможно, если сумма рабочей нагрузки и силы инерции направлена по скорости, т.е. играет роль движущей силы. Это – режим оттормаживания, о котором уже говорилось ранее.

Возможно и другое решение, в котором N₁₂ < 0, N_A > 0, N_B < 0. Действительно, при таких знаках реакций мы приходим к уравнениям (5.32), а затем – к выражению (5.34), из которого при Р₂ + Ф₂ < 0 и при ctgα > f₁ получается второе решение N₁₂ < 0, поскольку выражение, стоящее в знаменателе, в этом случае положительно.

Существование двух режимов оттормаживания легко объяснить: в первом режиме (N₁₂ > 0) сила N₁₂, складываясь с приложенными силами, преодолевает вместе с ними силы трения; во втором режиме (N₁₂ < 0) сила N₁₂, складываясь с силами трения, препятствует движению толкателя. Установить, какой из этих двух режимов будет происходить в реальной системе, невозможно. Впрочем, в реальных кулачковых механизмах обычно максимальные углы давления выбираются с таким расчетом, чтобы условие ctgα < f₁ не выполнялось во избежание возможности заклинивания; тем самым и режим оттормаживания не реализуется.

Определив реакции в высшей кинематической паре (силы N₁₂ и F₁₂), можно перейти к силовому расчету кулачка. Составляя уравнения кинетостатики в системе осей 0₁х₁y₁ и используя соотношение (5.14), получаем (полагая, что , а центр кулачка совпадает с точкой 0₁):

(5.35)

где е – эксцентриситет кулачкового механизма, s – координата толкателя, f – коэффициент трения во вращательной паре, ρ – радиус цапфы вала кулачка. Из уравнений (5.35) можно определить реакции во вращательной паре и движущий момент Q.

Силовой расчет червячной передачи (рис. 5.13). Червячная передача содержит одну высшую пятиподвижную кинематическую пару, динамическая модель которой представляется уравнениями (5.16), и две вращательные пары. Пренебрежем трением во вращательных парах, поскольку оно обычно оказывается значительно менее существенным, чем трение в червячном зацеплении. Уравнения кинетостатики для червячного колеса и червяка оказываются независимыми. Сначала составим уравнения кинетостатики для червячного колеса. Положим, что оси координат 0₂xyz являются главными центральными осями инерции колеса. Используем соотношения (5.16). Обозначим: r₂ – начальный радиус червячного колеса, J₂₀ – момент инерции колеса относительно оси 0₂z (точка 0₂z совпадает с центром масс колеса). Проецируя силы, действующие на колесо, на оси координат 0₂xyz и составляя уравнения моментов относительно этих осей, получаем систему шести уравнений с шестью неизвестными (N_Ax, N_ay, N_Cx, N_Cy, N_2z, N₁₂):

(5.36)

Пусть направление угловой скорости совпадает с показанным на рисунке: > 0 (sign = +1). Из последнего уравнения (5.36) определим N₁₂:

. (5.37)

Найдем значения N₁₂ при различных соотношениях между α, β и f и сведем их в табл. 5.5.

Таблица 5.5

	cosαcosβ > fsinβ	cosαcosβ < fsinβ
M2 + J20 > 0	>0 Тяговой режим	Нет решения. Режим самоторможения
M2 + J20 < 0	Инверсный тяговый режим	>0; . Режим оттормажвания.

Определив N₁₂, можно найти и остальные реакции из уравнений (5.36).

Аналогично составляются и решаются уравнения кинетостатики для червяка: из них определяются реакции опор и движущий момент Q.

1 Пенлеве П. Лекции о трении. М.: Физматгиз, 1954. 316 с.

162

Характеристики

Список файлов лекций