ЛК12 (1172686)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

А.Н.Евграфов, Г.Н.Петров. Теория механизмов и машин. Лекция 12.

5. Геометро-кинематические условия существования передачи

Для того, чтобы передача существовала, должны выполняться некоторые условия. Рассмотрим их.

1. О
   сновная теорема зацепления. В лекции 10 рассматривалась основная теорема зацепления для сопряженных профилей (плоское зацепление). Рассмотрим случай сопряженных поверхностей (пространственное зацепление).

Пусть звено 1 соприкасается со звеном 2 в точке К (рис. 3.35); – вектор скорости точки контакта сопряженных поверхностей в относительном движении. По отношению к сопряженным поверхностям вектор скорости относительного движения лежит в касательной плоскости, т.е. общая нормаль к сопряженным поверхностям в точке контакта перпендикулярна вектору скорости .

Отсюда следует основная теорема зацепления: сопряженные поверхности должны быть выбраны так, чтобы в любой точке их контакта общая нормаль к ним была перпендикулярна вектору скорости точки контакта в заданном относительном движении поверхностей.

В аналитическом виде условие основной теоремы зацепления записывается как условие перпендикулярности векторов

, (3.68)

где - единичный вектор (орт) общей нормали в точке контакта.

Теорема доказывается «от противного». Если условие теоремы не выполнено, то есть общая нормаль к выбранным поверхностям не перпендикулярна относительной скорости , то имеется составляющая этой скорости, направленная по общей нормали, и, следовательно, происходит либо отрыв одной поверхности от другой, либо вдавливание, что невозможно.

В общем случае контакт поверхностей может происходить в нескольких точках или по линии (линейный контакт). Условие основной теоремы зацепления должно быть выполнено во всех точках контакта.

1. Угол перекрытия _п – это угол поворота зубчатого колеса от положения входа зуба в зацепление до его выхода из зацепления. Угловой шаг  – это центральный угол, равный (рис. 3.36, а). Угол перекрытия _п зубчатого колеса передачи должен быть меньше углового шага .

О
тношение угла перекрытия к угловому шагу называется коэффициентом перекрытия _ зубчатой передачи. Коэффициент перекрытия характеризует среднее число пар зубьев, находящихся одновременно в зацеплении. Для того, чтобы передача существовала в любой момент времени, необходимо, чтобы выполнялось условие:

(3.69)

1. При нарезании зубчатого колеса возможно подрезание зубьев, которое проявляется в утонении ножки зуба, приводящем к изгибной прочности зуба (рис. 3.36, б).

2. Заострение зубьев возникает тогда, когда точка пересечения разноименных теоретических профилей зуба располагается внутри окружности вершин (рис. 3.36, в). Заострение зуба нежелательно как с чисто кинематической точки зрения, ибо уменьшает коэффициент перекрытия, так и по соображениям прочности – вершина заостренного зуба не способна передавать нагрузку.

3. Явление интерференции зубьев заключается в том, что при рассмотрении теоретической картины зацепления зубьев профиль зуба одного из зубчатых колес сопрягается с профилем зуба другого зубчатого колеса и внедряется в него (профили «накладываются» друг на друга). Такое явление при зацеплении зубчатых колес недопустимо, так как оно приводит к их непроворачиваемости или к поломке зубьев.

1. Методы синтеза сопряженных профилей

Основной задачей синтеза зацеплений является нахождение сопряженных поверхностей по заданному закону изменения передаточного отношения. Эта задача может решаться как графическими, так и аналитическими методами. Графический метод синтеза сопряженных профилей, предложенный немецким ученым Францем Рело, лежит в основе аналитических методов, известных под названием методов профильных нормалей. Ознакомимся с этими методами.

Графический метод синтеза сопряженных профилей. Пусть для внешнего зацепления дано постоянное передаточное отношение i₁₂, межосевое расстояние а_w и профиль S₁ на звене 1 (рис. 3.37). Надо найти сопряженный профиль S₂ на звене 2.

По методу Рело искомый профиль находится по точкам путем последовательного выполнения трех этапов.

Первый этап. Откладываем в некотором масштабе межосевое расстояние а_w и строим заданный профиль S₁. Определяем по формулам (3.46) положение полюса зацепления Р и строим подвижные центроиды Ц₁ и Ц₂. На профиле S₁ отмечаем несколько точек и выбираем первую из них К⁽¹⁾. Находим угол q, на который надо повернуть звено 1 для того, чтобы точка К⁽¹⁾ вошла в контакт с сопряженным профилем. Этот угол равен углу АО₁Р, где точка А – точка пересечения нормали nn с центроидой Ц₁, т.к. в соответствии с основной теоремой зацепления нормаль nn к профилю S₁ в момент контакта проходит через полюс зацепления Р.

В

торой этап. Находим точку К⁽⁰⁾ в неподвижной системе координат, в которой точка К⁽¹⁾ будет иметь контакт с сопряженным профилем. Для этого повернем звено 1 на найденный угол q.

Третий этап. Находим точку К⁽²⁾ искомого профиля S₂ на звене 2, которая придет в контакт с точкой К⁽¹⁾ профиля S₁ в точке К⁽⁰⁾. Для этого соединим точку К⁽⁰⁾ с осью О₂ и повернем отрезок К⁽⁰⁾О₂ на угол .

Таким образом, мы получили точку К⁽²⁾, которая при повороте звена 2 на угол  придет в точку К⁽⁰⁾. В точке К⁽⁰⁾ произойдет контакт звена 2 со звеном 1, и нормаль к профилям S₁ и S₂ будет проходить через полюс зацепления Р, т.е. будет выполняться основная теорема зацепления.

Далее выбирается следующая точка на профиле S₁ и проводятся аналогичные построения и находятся остальные точки искомого профиля S₂. Одновременно получается геометрическое место точек К⁽⁰⁾ контакта сопряженных профилей в неподвижной системе координат, которое называется линией зацепления. Если линия зацепления задана, то для нахождения сопряженных профилей, кроме передаточного отношения, должен быть также задан закон движения точки контакта по линии зацепления.

Аналитический метод синтеза сопряженных профилей. Заданы: межосевое расстояние а_w, передаточное отношение i₁₂, профильS₁ на звене 1 в декартовой системе координат, связанной с 1-м звеном:

(3.70)

Требуется найти профиль S₂ в системе координат, связанной со звеном 2:

(3.71)

Первый этап – определение угла q, при повороте на который точка К⁽¹⁾ на звене 1 станет точкой контакта. В общем виде решение данной задачи оказывается достаточно громоздким и здесь приводится не будет. Однако иногда оказывается, что при задании конкретного профиля S₁ угол q, как будет показано далее, находится из простых геометрических соотношений.

Второй этап – определение координат точек контакта в неподвижной системе координат. Для этого воспользуемся формулой преобразования координат:

, (3.72)

г
де H₀₁(q) – матрица перехода в кинематической паре, связывающей звено 1 со стойкой. Для случая вращательной кинематической пары (рис. 3. 38) матрица имеет вид:

(3.73)

Подставляя (3.70) и (3.73) в (3.72), получаем:

(3.74)

Выражение (3.74) представляет собой уравнение линии зацепления в неподвижной системе координат.

Третий этап – определение искомых координат точек К⁽²⁾ на профиле S₂ звена 2 по формуле преобразования координат:

, (3.75)

где H₂₀() – матрица перехода из неподвижной системы координат в локальную, связанную со звеном 2:

(3.76)

В матрице (3.76) первый блок получается из матрицы поворота при подстановки в нее угла (-), а второй блок – координаты точки Р в локальной системе х₂0₂у₂ – легко получить из рис. 3. 38. Угол  = q/i₁₂, 0₂Р = 0₁Рi₁₂. Подставляя (3.76) в (3.75), получаем координаты искомого профиля S₂:

(3.77)

При помощи рассмотренных методов всегда можно выполнить основное условие синтеза зубчатого зацепления – получение заданного передаточного отношения. Из найденных вариантов надо выбрать тот, который в наибольшей степени удовлетворяет дополнительным условиям синтеза. Как показала многолетняя практика, наиболее важным дополнительным условием синтеза является простота изготовления сопряженных поверхностей.

Пример. Дана зубчато-реечная передача. У рейки профиль S₁ зуба выполнен в виде отрезка прямой, наклоненной под углом  (рис. 3.39). Известно передаточное отношение i = 1/0₂Р (см. лекцию 10), где 0₂Р – радиус подвижной центроиды зубчатого колеса (начальной окружности). Требуется определить профиль S₂ сопряженного зубчатого колеса.

Первый этап – определение координаты q, при перемещении на которую произвольная точка К⁽¹⁾ на профиле S₁ звена 1 станет точкой контакта.

Пусть Ц₁ – подвижная центроида зубчатой рейки (прямая), Р – полюс зацепления, К⁽¹⁾ – произвольная точка на профиле S₁. Проведем нормаль nn к профилю S₁ в точке К⁽¹⁾ до пересечения с центроидой Ц₁ в точке А. Точка К⁽¹⁾ станет точкой контакта тогда, когда нормаль nn будет проходить через полюс зацепления Р, то есть когда рейка переместится влево на расстояние q. Введем вектор-столбец :

(3.77)

Из подобия прямоугольных треугольников РК⁽¹⁾А и РК⁽¹⁾К⁽⁰⁾ следует, что гипотенузы их равны, т.е. q = РА. С другой стороны:

(3.78)

Второй этап – определение координат точек контакта в неподвижной системе координат. Построим матрицу перехода в поступательной кинематической паре рейка – стойка:

(3.79)

Подставляя (3.77) – (3.79) в (3.72), получим:

(3.80)

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций