Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Функции А„будут ортогональны на отрезке (й1, й21. формирующий множитель л„~ определяется из равенства а~2 2 ~2 2 И„„- ~ А„(г)Мг. В; если основание представляет собой круговой сектор, и А ~(Г)совие, (3.29) ~~~ 1~)вй если основание представляет собой кольцевой сектор. ~ 6. Колебания жидкости н сосре, имеющем форму эллиптического цилиндра (3.30) где Š— эллипс. Целесообразно ввести эллиптические координаты: 1 сЬ ~ сов ~; у 1в1 ~ в(п ч. (3.32) Исключая последовательно Ц и ~, мы найдем уравнения координатных линий: «2 + 1; у2 (3.33) 1'СЬ ~ 12.Ь2 ~ л2 у2 = 1.
1 сов ~ .1 в1п т~ 2 2 2 . 2 (3.34) Рве. И Линии ц=сопв1 суть софокусные эллипсы; линии ~=соим гиперболы; 1 — половина фокусного расстояния (рис.14). Пусть основанием цилиндра служит эллипс. В этом случае задача сводится к определению функции Х и числа х, таких, что ух+~ Х О на ~в — О ах аи на Е Э Вычислим оператор Лапласа в эллиптических координатах. Обозначим через 6 коэффициенты Ламе 6~(~л)- нетрудно проверить, что в данном случае 6~~6„6, где Оператор Лапласа в произвольной криволинейной системе координат имеет вид (5, стр.202) 1 х д х ах' ~ + ° 6' Используи эти выражении, мы приведем уравнение (З.ЗО) к виду дх д~х зй й й — + — +в ! (сЬ В-сов ч)х-О. дЦ д11 Так как сЬ ~ - сов и - (сЬ 2Ц -сов 2п), 1 2 Тогда уравнение (3.35) можно записать так — — +2р сЬ2~ -Ъ- — +2~ сов2~ и.
1~2 1И~Ь й ай~й ~юР И, следовательно, а(е) и 5 (~) удовлетворяют уравнениим дй — — (и — 2~Р сЬ 2ф)а О; дцй а2Ь вЂ” +(и — 2р. сов2~)а-О. 2 ВАР (3.36) то это уравнение можно записать д2х дух й — + — + 2~Р (сЬ 2~ - сов 2~)х О. (8.35) дЦ' д~й Благодари структуре коэффициента Ламе в этом уравнении переменные могут быть разделены.
В самом деле, положим х(В ) - а(МЬ( ). Уравнения (3.36)- это уравнения Матье. Число И должно быть определено из граничного условия (3.31 ) и условия непрерывности. Решение этой задачи может быть получено в функциях Матье. Подробное изложение задачи содержится в книге Мак-Лахлана (6, стр. 207, 360) . Там же приведены различные приближенные расчеты параметров волн внутри цилиндра эллиптической формы. Кроме перечисленных точных решений, существует еще точное решение задачи о поперечных колебаниях в канале треугольной формы, когда угол при вершине равен 90 и 120 ~7, стр.
5501. 57. Иэотермические координаты (плоский случай) Перечисленными в предыдуших параграфах примерами, по существу, исчерпывается набор областей, для которых решение задачи о собственных колебаниях жидкости и стоячих волнах может быть получено аналитически до конца и когда результаты наглядны и легко поддаются анализу. Вообще говоря, в ряде других случаев можно получить решение задачи методом Фурье.
Надо только ввести такую ортогональную криволинейную систему координат, в которой границы области т состояли бы из кусков координатных поверхностей. В этом случае решение может быть найдено методом разделения переменных. В качест" ве примера укажем на задачу о собственных колебаниях жидкости в эллиптическом сосуде, когда жидкость заполняет ровно половину сосуда.
Однако в каждом из этиХ случаев решение задачи, хотя и может быть получено методом Фурье, оказывается весьма трудоемким. Мы увидим, что применение метода Фурье встречает целый ряд специфических трудностей и, в конце концов, приводит к необходимости использовать численные методы. Среди класса задач, для которых применим метод Фурье, мы рассмотрим те, которые могут быть решены, если ввести плоские ортогональные изотермические координаты.
Криволинейные ортогональные координаты я,. - я,.(у,у,х) ° $ - 1,2,3 если у них коэффициенты называются изотермическими, Ламэ 1 1,2,3 равны между собой. В плоском случае уравнение Лапласа в ортогональных криволинейных координатах Я (Х, У) и ~ ~Х, у) имеет вид коэффициенты Ламэ будут равны между собой: гЬ йв Лапласа сохраняет В новых свой вид переменных уравнение дг дг К+ т =0' да дР и если 6 62, то сохраняет тот же вид, что и в прямоугольных декартовых координатах: аг~ аг~ — + — О.
дя' дя' Если границы области т, занятой жидкостью, состоят из кусков координатных поверхностей й,, ~ соци1, 1 ~ 1, 2, то решение задачи можно найти методом Фурье. Однако, как будет видно ниже, в результате применения метода разделения переменных не удастся получить систему независимых уравнений для главных колебаний. Задача сведется в общем случае к бесконечной системе уравнений второго порядка, В приложении к этой главе будет показана разрешимость такой бесконечной системы и обоснован эффективный путь ее приближенного решения.
Введение изотермических координат оказывается полезным и при решении задачи в случае цилиндрической полости с плоским дном и поперечным сечением сложной формы. Начнем с плоского случая. Г!усть жидкость заполняет бесконечный цилиндрический канал. В произвольной плоскости уХ поперечного сечения канала введем криволинейную систему координат а а(У,Х), р ~(У,Х) так~ что оси Х~О соответствует линия ~ 0.
Эта система координат будет изотермической, если она может быть получена из прямоугольной системы координат УХ конформным отображением в в(И), где Я, У+!Х, В и+1 ф ° В самом деле, в силу уравнений Даламбера-Эйлера ау ах ау ах а зр' а~= а Предположим, что свободная поверхность жидкости совпадает с координатной линией ~ О, а поперечное сечение канала - с линиями и сонат н ~ сопи~. Возможны две разновидности этой задачи; 1) область, занятая жидкостью, ограничена линиями в а а <х ~ О,~ фо(рис.15,а ); 2) область, занятая жидкостью, ограничена линиями ф Оюф-Ро (рис'15 б ) Рис. 15 (3:38) Будем искать собственные колебания жидкости ср Ф(а~ р)сов оФ.
Заметим, что прн ф О Щ 1 дФ дй 6( )дв' Поэтому условие (3.38) можно переписать в виде дФ д9 — — Хб(а)Ф 0 при ф О, (3.39) где (3.40) собственное значение задачи. Рассмотрим более простую первую задачу: задачу о плоских стоячих волнах в канале, поперечное сечение которого имеет вид, показанный на рис.15,а.
Гармоническая функция — потенциал скорости жидкости у(а, Д~Ф ) - должна в этом случае удовлетворять следуюшим граничным условиям: д~ дср д~ — =0 при Д- ф , †- 0 при а а и при а а ; (3.37) о* д~ 1 2 у Ф ~Р д9 — +й — -0 при р-О. д$2 д~ Легко проверить, что решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям (3. 37), имеет вид с') Ь (~ 10) Фп соз )сп(а — сс1) ", (3.41) ~') ~п~О где — г-),г,.... И ')т а — а 2 1 При этом очевидно выполняется равенство аг Ф (а О)гга 1 при ф О и Ю 1,2,.... а, При ф О система функций Ф„(а,О) = ))) (а) полна на отрезке 1а1, а ). Поэтому решение задачи будем искать в виде Ф Е а Ф„. и 0 Из условии (3.38) получаем Е Оп1сп1ЫспДОсоз 1сп(а- а1)+Хб(а) Е йпсоз Йп(а-а1) О.
(3.42) и 0 и *0 Разложим функции 6(сс) соз $~ (а - а1) в ряд Фурье по функциям сов гг1 (а-а1) на отрезке ~а1, а21 6(а) соз Й (а - а ) Е с созга (а-а ). (3.43) Коэффициенты разложения С„определяются формулами аг с„о — ) 6(а) соя г„(и -а1) иа; 2 1 а, аг ~„„- — Г 6(а) соз Йп(а-а1)соз Йщ(а-а1)айаг В 1, 2, .... 2 1а Подставим разложения (3.43) в условие (3.42) и в силу полноты системы функций соз Вп (а-а1) получим бесконечную однородную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов (~п 1" "и РО + ХСпп)ЮВп+ Х Е' С и 4$пг О, И 1,2, ....
(3-44) )п.*1 Штрих над суммой означает, что суммирование распространяется по всем )Я~ И. Система (3,44) не включает уравнения, соответствующего В О.. Если добавить это уравнение, то система будет иметь еще решение Хй О, аО 1, а1 О,а~~О,....Это тривиальное решение описывает равновесие жидкости. Система (3.44 ), как показано в приложении к этой главе, разрешима, если только Х является корнем уравнения (3.45) где М21 ХСЗ1 й, ай,ао+м„М,,й й,во+хе„' ' ХС~2 ° 1 ° "й'" "2 Ро+ХС22 (ЗА6) ° ° ° ° ° 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 1 ° Ф 1 Ф ° ° ° ° ° ° ° Ф ° ° ° Ф ° Ф 1 Ф Ф ° Ф ° Ф ° 1 Ф ° ° ° ° ° Ф ° ° ° ° ° ° ° Ф ° ° ° 1 ° ° 1 ° ° 1 ° Ф Ф ° Ф ° Ф Ф ° ° Ф Уравнение (3.45) определяет спектр действительных чисел, причем Х -»м при 6-» ° Каждому числу Хп по формуле (3.49) соответствует значение собственной частоты ~т«и своя форма колебаний жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
