Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Здесь справедлива другая предельная формула: Теперь значение собственной частоты ст„можно выразить через Л„: (3.7) Главные колебания можно разделить на два типа: четные и нечетные. Первый тип характеризуется тем, что свободная поверхность представляет собой волну, симметричную относительно прямой, проходящей через точку у 1/2. Это волны четных индексов. Они не перемешают центра тяжести жидкости в горизонтальном направлении. Нетрудно показать, что никакими горизонтальными перемещениями сосуда нельзя вызвать на поверхности жидкости, которая в нем налита, волн этого типа.
В свою очередь, подобные волны, возникшие вследствие каких-либо причин на поверхности жидкости, налитой в сосуд, не могут оказать никакого влияния на характер движения такого сосуда в горизонтальном направлении. Волны нечетных индексов смешают центр тяжести с вертикальной примой и связанное с ними движение жидкости влияет на движение сосуда. Используя выражение для амплитуды, потенциал И-го главного колебания можно записать в виде И76 6 Я сЬ вЂ” (й+Ь) л 2 Лт~ ~р — — сов — у сов сг„$. Ъ,/Г 1,и Ь 1 Нетрудно убедиться, что если жидкость достаточно большой глубины, то затухание поверхностных возмущений с удалением от свободной поверхности носит экспоненциальный характер. Причем это затухание происходит тем быстрее, чем больше номер главного колебания.
Для того чтобы в этом убедиться, вычислим горизонтальную скорость жидких частиц сЬ ~~ (й+Ь) дсРл йлВ Лтс 2 . Ик 1 л сов и 1. ау- ь„1 д 1,„~Ь Но для больших значений Ь/! с1, И (~+Ь) в д 1 и†и.Ь 1 Вычислим энергию и-го главного колебании. Дли этой цели воспользуемся формулами (2.37) и (2.39) г2 т„-~р'— „", п.-~рНЮ'„. (8.8) На основании формулы (3.8) мы можем написать ф н 31по' $ где й„- амплитуда, Кроме того, 2 И~в И1сИ о' — й — ° н Э .предыдущей главе установлена связь между собственными числами Хв оператора Н и собственными частотами ои: И~с й кл х — й — ° л Подставляя значении ф и ф' в формулы (3.8), получим Т„- ~р6а'" в~'„~ П.- 2 рю~ в~о.~.
(3.9) Отсюда следует, что полная энергии Ел Т„+П всегда постоянна; Ев -рИв в 1 2 и зависит только от квадрата амплитуды волны1). $2. Стоячие юлны а сосуде, юторь~й имеет Форму ПЮРВЛЛ6ЛЮПИП6ДЭ Рассмотрим сосуд, имеющий форму параллелепипеда (см, рис,10,где указаны размеры сосуда) ° Потенциал стоячих волн будем рассматривать в виде ср Ф (Х,У,д)сов а1, (3.1й) где Ф ~ (Х,у) сЬ ы(2+В), (3.11) а, х — некоторые числа, кото- рые должны быть определены; Х удовлетворяет уравнению Рао.
10 1~При вывоще формул (3,9) было нрнннто во внимание условие нормировки функннй у„. Если одно из чисел И и й равно нулю, то эти 'формулы переходят в соответствующие формулы предыдущего параграфа. В пространственном случае формы главных колебаний имеют вид значительно более сложный, нежели в плоском. Например, линиями узлов будут две системы ортогональ ных прямых Х ф2И, у - 1/2й. 5 3.
Колебания жидкости в круговом цилиндре Рассмотрим сосуд в форме кругового пилиндра с вертикальной образующей и горизонтальным дном (рис.11), Как и в предыдущем случае, сделаем замену ~р Ф(Х, У,2)сов о1; Ф Х(Х, у) сЬ х(2+И), где функция Х удовлетворяет уравнению Лхух+х2Х- О, (3.17) через Ь„у — обозначен оператор Лапласа по переменным 2' н у. Введем полярные координаты 1' и 6 ° Тогда уравнение (3.17) примет вид1) Х + Х + Х +х Х О. (З.18) 1 1 2 и' 1' Г >2 8Е Рис. 11 Кроме того, в силу физического содержания задачи она должна быть ограниченной и однозначной.
Положим х = А(г) В(е). Подставляя это выражение н (3.18), мы получим уравнения для функций А и В В +и2В-О; (3.19) ю 1,1 2 А+-А+ х — — А О, у2 (3.20) где и и х - некоторые числа. 1) ) см, уравнение ЛапласйЬз нилинпричесних неерлинатах [б,стр,2031. Функция Х на контуре Е (1' Й) должна удовлетворять условию — =О. дХ д3' Функция у должна быть однозначной, поэтому из возможных решений уравнения (3.19) физический смысл будут иметь лишь те, период которых по 9 равен 2и.
Поэгому в качестве функций В„мы можем принять функпии В„(~) (3.21) где П - любое целое число. Уравнение (3.20) — это уравнение Бесселя, оно имеет следующие линейно-независимые частные решения; А(Г) " (хт), (3.21 ) Ии где ~и и Хи - функции Бесселя и Неймана. Так как функция Неймана при 7 0 не ограничена, то это решение следует отбросить. Кроме того, число х мы должны выбрать так, чтобы оно выполняло условие непротекания: А'(хй )=О. Таким образом, числа х должны быть корнями уравнения — (хй) 0. И й (3.22) Первые несколько корней ю,и уравнения 1 ( ч) 0 прити и ведены в табл.
2. Таблиц а2 Итак, мы получили набор функций сои удовлетворяющих условиям на дне и вертикальных стенках сосуда. Условию постоянства давления мы удовлетворим выбором чисел ои Таким образом, для собственных частот мы имеем формулу '„'„ - их„„~~ „„~. Функпии ~ (х„Г ), где числа х„- корни уравнения (3.22) образуют на отрезке (0,Й1 полную и ортогональную с весом Г систему В если ВФ Р 3'.(".~Г) ~. (х.р Г) Гй Хл~хг если Йа ~ 2 2 Вычислим величину Ж„щ..Для этого напишем,два следующих вспомогательных выражения: — ~ (хг)+- — ~ (хг) - — -х ~ (хг); ~2 1 Н 2 ,уг2 и Г ДГ а ,2 Умножим первое уравнение на Г ~„( х„г), а второе на Г ~„(х Г ) вычтем из первого второе и проинтегрируем по Г отбдой: Х вЂ” à — Х (хГ) Х (х Г) — — à — ~ (х Г) ~ (хг й- И 4 И д О Иг ~Г " " " ~Г НГ Я (х 2 - х2 ) Г Г 1„(хГ) ~„( х„Г)Й.
О Левую часть проинтегрируем по частям„ д ( х„г) Г И (хй) Г И В 2) ~Г~ (хг)3' (х Г)Й. О Второе слагаемое в правой части пропадет, так как хд,„- корень уравнения (3.22). Итак, х+хлщ х — х ~г г д В этом выражении. надо перейти к пределу, когда х х„ Х„~ - 1пп — (х — (х - х))г Ь П7П В1В '"Л йУ„(х„~й) х.+ х Вп$ (хфнй + х) ( кхщ — х ) -48- ~п(хит~) 2в( пт~) я2 д2 1в(хпт") + хвт 2 ~в(хит~) ~и (хви~)' хвт Й д Отсюда х„ Приведем теперь окончательную сводку формул: ~пт ©пт"'пт(~2 е)61" опт~ ~Я ~вт о т" 8 хита "ит" е (3.24) автВ сЬ х„„(2+1) р - — о (у В) СОН Ппи $, о пи сЬх П пт ви где Фв — произвольная постоянная, а функции у„ подчинены условиям нормировки 2тс В Г 1 гр2 (т,е)йт1в-1.
О О ПРНМФЧЭНН6. Среди всех стоичих волн перемешать пентр тнжестн жидкости будут лишь те волны, потенциал которых содержит з1п Е или сов 6, В самом деле, в выражение горизонтального смешении множителем входит интегралы йп М сон 1, - Г Гй3'„(44„„т)~;„нетйтйеь о о йп М сов 1 - 1 ту1„(н,„т)а;н ветИМе, о о но они равны нулю, если только и 41. -49- Линиями узлов будут прямые 9 чс/Ь и 8 2л/И, если в форииулеи (2.24) злить иисус, 9 и~2Л и Е Зи/22, если взять КОСИНУС, И ОКРУжНОСтИ т зи У~~ПИ, ГДЕ т(4ЛИ~У вЂ” КОРЕНЬ УРаВ- ненни ~п(хп т) О.
~4. Колебания жидкости в вертикальном цилиндре, основанием которого является кольцо, ограниченное концентрическими окружностями Рассмотрим сосуд, изображенный на рис. 12, где приведены все необходимые размеры и обозначения. Задача о колебаниях жидкости в таком сосуде У решается по той же схеме что и за! дача предыдущего параграфа, Повторяя ~ дословно проведенные там рассуждения, мы приходим к уравнениям(3.19) и (3.20).
Все, что было сказано о решении уравнения (3.19) сохранит свою силу и при решении этой задачи. Что же касается уравнения (3.20), то здесь дело обстоит несколько иначе, так как точка Г О не входит в область Я и, следовательно, оба частных решения этого уравнения 1а -1 ограничены в области Я. Поэтому общее решение уравнения (3.20) следует взять в виде Ряс.
И А- С ~„(хг)+ С2Ж„(хг). Функция А должна удовлетворять условиям непротекания дА й — =0, если г= дг 2' которые приводят к следующим уравнениям для определения чисел С1 и С2: С1~ (хй1)+С2Х (хй1) =О; С1~ (хй2)+С2Х (хЕ2) =О. (3.25) Для разрешимости этой системы необходимо и достаточ- но, чтобы детерминант этой системы был равен нулю: (хй )И„(хй2) ~й (хй2)И (хй1) ~0. (За26) Корни этого транспендентного уравнения обозначим х„~. Каждому корню х„~соответствует решение системы(3.25), которое определяется с точностью до постоянного множителя. Вследствие этого, всегда можно принять 1„(х„,лй1 ) и( ит 1) — 50- а функцию А( г ) — в виде А„„( г) =,7„(к г ) — С„„М„(к„„г ).
(3.27) 5 5. Колебании жидкости в вертикальном цилиндре, основанием которого авлаетса круговой и кольцевой сектор Пусть две стенки сосуда образуются плоскостями 8 8 и 8 82 (см. рис. 13, где даны все необходимые обозна- чения и размеры), Без ограничения общности положим 8~~0 и обозначим 82 Ь.Повторяя рассуждения, которые использо- !к вались при решении задачи о ко- в-в, 1 лебаниях жидкости в круговом цилиндре, придем к уравнениям в=в, (3.19) и (3.20). Функция В(8 ) в этом случае должна удовлетворять условиям на стенках 8 О и Е $ — = О.
Л Ив Поэтому функцию В следует взять в виде а 8 В(8) соа —, Рив. 13 где 1и — любое целое число. (3.19) число И йк/Ь.Функцию дует принять в виде 1 ~ь ~~ ~пй Следовательно, в уравнении у„~ в формулах (3.24) сле- ~„(к„~ Г) сов И 8, (3.28) Если числа к„„, определены, то собственные частоты даются формулой ( 3.23 ), ,Цля того чтобы формулы (3.24) можно было использовать в рассматриваемой задаче, достаточно в них заменить функпию 1д, функцией А„,„, определенной по формуле (3.27) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
