Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 10
Текст из файла (страница 10)
0 Таким образом, в первом приближении частота В-го главного колебания определяется по формуле и я,)„И) (1+ ~С„) (о) (1) или, если ввести обозначение о ~~Я Х (о) У (0) (о)/1 1. (1)~ Потенпиал скоростей жидкости в этом приближении имеет вид )Итс сЬ вЂ”,(Р- Ро) (1»- э© ) сов + и а~ ® ~0 сЬ— а с —,Й вЂ”, (1) Вк Е'"~0 Ь вЂ”.(Р-Ро) Ь~ ~М а~ а' Ьик а +е Е сон —, ФОЬ" о " к о — Й вЂ” — Й— и†а~ а~ а" а а сов ои 1+~ ~"ии ~ Штрих над суммой означает, что В~Я. Следуюшие приближения вычисляются аналогично.
Б, Рассмотрим теперь задачу о собственных колебаниях жидкости в вертикальном пилиндре с плоским дном. Напомним, (см. 67 второй главы), что решение этой задачи имеет вид сР Х(Х~У)сП х(Х+П) сон о1, где функции Х (Х, у ) являются собственными функциями краевой задачи: в области Я; (3.83) Х+х Х О эу ОХ вЂ” =0 ди на контуре Е, (3М) Ц~+ ~' е )~ з аз л~1 где е — малый параметр, характеризующий близость областей 5 и $1.
Чтобы сократить выкладки, примем приближенно с точностью до членов 0(еХ), что И В+еЖ. Последнее равенство определяет в области $ сетку изо термических координат к(Х, у ) сопв1, р(Х,У) сопв1. Коэффициенты Ламэ этой системы координат можно вычислить по формуле Ии Очевидно, что функцию 6 с принятой точностью можно 2 представить в виде 6~= 1+ об где 61 — известная функция координат и и ф — 78- а собственное значение задачи х связано с частотой собственных колебаний а равенством а.~ Яхйхй. Через й обозначена глубина жидкости, а через Š— граница области 5.
Предположим, что контур 1. близок к контуру Е1, который ограничивает область 51. Предположим далее, что известно решение задачи (3.83), (3„84) для области $1 (например, область $1 может быть одной из областей, для которых в 62-6 приведено решение задачи). Рассмотрим конформное отображение области 5 на область 51. Так как области 5 и 51 близки, то функцию, реализуюшую это конформное отображение, можно представить рядом В координатах а,~ уравнение (3.83) примет вид (см, 68 этой главы) й +к2 (1+ еб~ О.
(3.85) „,рХ 1)Х Решение краевой задачи (3.85), (3.84) будем искать в виде на контуре Е1, (3.87) Х Х( )+еХ( )' к( ) +ек( ) тогда к2 к(0) + ем, где м**2к(0)к(1) . Подставим последние разложения в уравнение (3.85) н граничное условие (3,84), прнравняем коэффициенты при одинаковых степенях е и получим следуюшие условия для определении функций Х(0) и Х(1) г Ь Х(0) + к(0) Х(0) О 2 игР в ооласти 5 1 (3.86) 1 ДХ(0) — О ди с1 (1) (О) (1) (О) (О) (~ (О) в области ~ . (3 88) о Х(1) — -д на контуре Е . (3.89) Таким образом, в качестве нулевого приближения мы получаем краевую задачу (3.83), (3.84) дла области 51 ° Решение этой задачи известно.
Обозначим собственные значения ее через р,~~ а собственные функпни — через у~. Будем искать решение исходной задачи (3.84), (3.83), которое при е О переходит в рт. Система функций (у1 ) полна в области 51. Разложим решение задачи (3.88), (3,88) Х(1) в ряд Фурье по функциям у (1) (1) Х1!©~У Ь=О Функпию 6 Х также разложим в ряд Фурье по функ- 2 (О) 1 т циам у 1 ~2 (О) (1) (1) ~ (~2 (О) (О) у~ 1Хт - тЬ'РЬ ° тЬ - 1Хт ХЬ 1 Подставим эти разложения в уравнение (3.88) и в силу полноты системы функций 1у~ ) получим бесконечную алгебраическую систему уравнений относительно неизвестных 01~„~: (р.т- р.~)н,„--чб, -р с,, 1=О,),....
(3.90) Тогда отображение рассматриваемой области на единичный круг имеет вид в ~(и,Е) и+ви~а +(а -$Ь )и+(а -1Ь )и +...1+0(е ). (3.94) Обратное отображение имеет вид и-И(в) - в- ев~ао+(а,-й,)в+(а2 -Вй)в +.-1+0(е ). (3.95) Коэффициенты а,а,Ь1, ... являются коэффициентами раз- ложения вариации б(8) в ряд 5(8) е(ао+ а1 сов 8+Ь1 в1ц 8+ а2 сов 28+Ьй сов 28+ ...).
Подробности читатель может найти в книге М.А.Лаврентьева и Б.В,Шабата (8), здесь же воспользуемся лишь результатами этой теоремы. Согласно формуле (3.83) б (8) - е сов 8- — — (1+ сов 28). З 2 Тогда из формул (3.84) и (3,83) следует, что отображение эллипса на единичный круг можно приближенно записать в виде в-и — и(1+и ), (3.96) а обратное преобразование — в виде и- в+ -'в(1+в ). 2 (3.97) Введем в плоскости в а+1 ~ полярные координаты р,В. Тогда краевая задача (3.83), (3,84) может быть сформулирована следующим образом: 2+ + + х2Г1+в(1+Зр2 сов 2$)1Х О при р <1; (3.98) др2 Р др р2 дВ2 дх — 0 при р 1. др (3.99) ~Ь 2 йо отбрасывая при этом члены 0(е2) ° Так, как было описано в предыдущем параграфе, построим приближенное решение задачи (3.88), (3.88).
В нулевом приближении мы получаем задачу о колебаниях жидкости в круговом цилиндре. В 63 этой главы -81— Как обычно, коэффициент Ламэ преобразования координат мы вычисляем по формуле было показано, что собственные функции краевой задачи (3.86), (3.87) имеют вид 1 з1п = — 1 (Р, Р) р$, з 1,2,...; р 0,1,..., рз )~) Р Рз соз РЗ где Р 2 Ж =-1 — —,)(Р, ) Рс 2 2 Р Р~' "Р а Р, ~, 2 1,2,... — собственные значении задачи, которые совпадают с корнями уравнения Хр'(Р) - 0. В первом приближении будем строить решение, которое при е 0 стремится к у . Решение будем искать в виде „(вуз) (и уз) (1) Р8 рф Х = Š— 1 (Р,Р)з1пР~+ Š— 1 (Р. Р)соз р$.
пи 1 Щ р Рз РЗ р О И Р8 8 ан1 з =*1 Проводя все выкладки так, как было сделано в предыдущем параграфе, получим две системы уравнений относительно козффициентев й( и 11( г (Д -~Р)Ы;")-- 5(,")-Д„б(,)-ЗД Ф~,Р 0,1,...; 2=1,2,..., (3.1О1) где б равно единице при И, ЗИ В и нулю во всех (пуз) оотальйых олучаах, а С "э н р'аа~ — коэффннненты рааложения в ряд Фурье функций р2соз28~( Ьив) 1(вуп) р Срз ан че рр Р2соз2~у Š— ~ (р р)з1прВ+ Š— Х (~ р)созрб; Я Р Р8 р О Я Р Р~ 8~1 з 1 1 йт У Р Уз(рзууф)Х (Р' нР)~Р Х соз 2~~~(>~ (~+)з1пР ~~ ~' (3 102) уВ ур2~ („рц (,„Р)~р ~„з2~'и ()1Е) зрЬ,~Е.
(3.103) Из формул (3.100)-(3.103) следует, что в первом приближении решение задачи (3.98)-(3.99), которое при в~О переходит в — 82— ф ю '~,( (~6 тр)31пИЬ~ пв ~~ и вв имеет вид (1+В($ Ц (р, р)610 иВ + (вв) 1 х ив ив (ит) +е аа(И-2)Ь Е -У-~Хв а(Рп-Ы~)+аШ(И+2)О Е 2,7и+2~Ри+2з 1 Я 2 в-2 11Ч и-2з и+2з И 1,2,....
й 1,2,...; Решение задачи, которое при е О переходит в ее 1 - — ~ (~ р)сои ИЮ, ив имеет вид ее (вт) — (1+еЬив )Х„(~ р)соаИЮ+ (ив) (пт) (И-2)б Е и2,1 2(ръ 2зр)+сои(И+ДВ Е и2 4+2з(ри+2з -2з 2з И(ФВ 1) 2) а ° е, И ~ Оф 1 ° ° $ ° ф где 3 2 1 ЗР2 1 2(" и+ з 2( 2 2 10 Р„,2, - Р,~) (пт) (пв) Если И<2, то С„2 надо заменить на С2 из,~ «(р~, 2 р)- $ ФФ на 12-и(~2-пз Р).
и-2з "а 2 из Функпии ) пт )'ит описывают два семейства форм колебаний свободной поверхности жидкости. Чтобы найти поправки для собственных значений задачи (3.08), (3.00) и поправки для собственных частот колебаний жидкости, положим в выражениях (3.100) и (3.101 ) р И и 3 И(. Из формул ( 3,102 ), ( 3,103 ) следует, что С(ит) О и И.(ив) О, если И э~ 1. вт ит э -83— При П-1 (1щ) 1 1 с - — — ~р 1 (р. р)др- — — 1+-2 — 1 ( )-- 1 1 2 1т у~2 1 1т 12Х 1 1т 2 о 1щ 1щ (1щ) 1 з 2 1 1 1 2 1т 2 ~ р ~1(~1щр) р 2 2 ~1( р'1щ) 1щ 2 ,„ о 12 ,„ Из уравнения (3.100) находим ч' - -р.2, если п~ 1, и ~' -р,2 (1 — Зм ), если и 1. Из уравнения (3.101) получаем -р.~~~, если И~ 1, и ~" -р,~~ (1+За ), если и=1.
Чтобы найти в первом приближении частоты колебаний « «« форм )( и )(, воспользуемся соотношениями пт пт' к= к(о) +ек(1) ' к2 к(о) +еч' ч 2к(о) к(1) ' к(о) и формулой о2 Вкйки. Отсюда следует, что -ъ '+ )" пщ о о 1+,— — 1+ 2 (О) е пт 2 пт пв '2 2 еЬ2р. В ~'пт пв е пв 2 +- 2 1+ 4 р,2 ап2~ьпвп (о) пт пщ где введено обозначение о Врпт1)1 р'птах(' (о)2 Если Пф 1, то ««« «« (о) е /1 2 к к ~р 1-./« щ пщ~~ Ц «пщ пт ив 41 ®),2~ )~/ -84- Таким образом, оказывается, что в первом приближении формы )( и Х~,и~«1 колеблются с одинаковой частотой. пт пт~ Исключение составляют одноузловые формы, соответствуюшие и 1.
У этих форм уже в первом приближении происходит "расщепление частот, пропорпиональное эксцентриситету эллипса. В самом деле, Таким образом, расщепление частоты равно е м 3 (0) / 2 — ~~б~~ / с / 2 3 На рис. 20 показаны грасрики зависимости величины Ь а /е от номера В при нескольких значениях глубины жидкости Ь (1- 11 =0,1; 3- Ь =0,2; 3-11> 0,5). ПРИЛОЖЕНИЕ К ТРЕТБЕЙ ГЛАВЕ О раерешимосаи бесконечных сисием линейных алгебраических уравнений (3.44) и (3.60) Применение метода Фурье в ряде случаев, сводит задачу о колебаниях поверхности жидкости в сосуде к решению бесконечной системы однородных алгебраических уравнений типа (3.44) или (3.60) ° В (17-8 мы формально строим приближенное решение этих систем, заменяя их конечными системами из Х уравнений и оставляя М пер- -85- (о) 1ш 1ш м (О) 1ш 1ш с 1-З 1ш ш 4 в)г, )1 + 1ш 1 2 вых неизвестных.
Здесь дается обоснование этому приему, основанное на известных свойствах бесконечных линейных системах алгебраических уравнений. Рассмотрим однородную бесконечную систему линейных алгебраических уравнений 2 пл + ~ ~ ~птахе т=О тфп п-0,1, ° ° ° ° (3.104) Составим определитель системы 2 2 " Р12 " Р1З ~23 ~32 1 й Р2 2 ~31 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Ф е ° э ° В обшей теории бесконечных линейных алгебраических систем (см.,например, книгу Л.В,Канторовича и В.Н. Крылова [12) ) доказываются следуюшие теоремы.
А. Если ряд 2 Р„ щл О тфк аг2 сходится, то определитель Ь ~ составленный из л эле- ментов определителя Ь, стремится к конечному пределу при )Ч+ Б. Если определитель Ь~ системы (3.104) сходится при Х+. к нулю, то система (3.104) имеет нетривиальное решение йл, й~ 0, 1, ..., которое удовлетворяет условию, 09 2 что Е а„сходится. лжО На основании последнего утверждения можно строить приближенное решение системы (3.104), заменяя ее конеч- ной системой из Ж уравнений, Воспользуемся этими результатами для исследования разрешимости системы (3.44). Исследование системы (3.80) производится аналогично.
Коэффициенты 1~„~ систе- мы (3.44) имеют вид с„~ Ь„й В ~р+1~~„„ Покажем, что ряд (3.10б) Ф„й 3г„РО+ Х С „„)' сходится при любых В силу равенства Парсеваля аг Е С„, ж ~ 6 (а)сон 1„(а-а )Юаы!„, т О 2 1а отсюда следует, что числа 1п ограничены в совокупности 1„<Е, и-0,),.... Поэтому 2 ОО С„ ОО 1 Е <Е а ~~ ~ +~С )2 0(~ ~И ~+~С )' 63 у~ и Числа Йий Ми ~0 Явлиютси собственными значениЯми задачи, о колебаниях жидкости в прямоугольнике (см. 6 1 этой главы), Поэтому ряд сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
