Н.Н. Моисеев, А.А. Петров - Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости (1163315), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(б.19) Итак, из условия (5.8) и выражения (5.18), (5.19) следует, что в, 3' РЗ о з, с в +у(Ч Р) +8~ дскб 1 2 д$ 6~ИИ~ ($.20) Так как вариаиия б~ произвольна, то из последнего равенства следует, что — +-(~~) +д» а пр ~-»(х,у,С). д9 1 2 дС 2 (5.21) Это условие совпадает с условием (1.16), Таким образом, сформулирована известная задача: найти в области т гармоническую функцию у(Х,У,Х,С) по условиям (5.10), (5.11) и (5.21).
Тем самым показана эквивалентность вариационной формулировки задачи о движении идеальной несжимаемой жидкости формулировке (1,12), (1.13), (1.17), приведенной в первой главе. Предположим теперь, что величина»(х, )~, С ) мала вместе со своими производными по всем переменным„Из условий (5.10) и (5.11) можно заключить, что в этом случае будут малы и производные гармонической функции у(х, у, 2, С ), Обозначим порядок величины», ее производных и производных потенциала у через е. Рассмотрим функционал (5.15) . Очевидно, что ~(д~~)'дт ~(о )Чт+ ~ (~~~)'дт = ~(пс~)абдт+ ~(7~)2»И~ г. ~о 'Со ~о = 1 (Е~) 4 +О(е ) ° 2 В '70 Аналогично ~ »~45 = ~ »~45+0(а~ ). Через т0 обозначен объем, занятый жидкостью в положении равновесии.
Таким образом, с, У ~ 1, ~(„,)2Д,, 1„~»2Д ~С,О(,а). 2 2 О '70 5 о Соответственно, условие (5.11) можно записать в виде — = — +0(е ), дср д» дх дС а связь между вариациями б~р и 5» (5.13) де~ де» вЂ” = — +(.) (е ) ° дИ дС Рассмотрим квадратичный функционал ~я = 1 — Д ~ (Д~) дт--РИ ~о ~о 2 (5.22) — 104- и поставим вариационную задачу об отыскании среди гармонических функций, удовлетворяюших линеаризированным условиям (5.10),(5,11), тех функций, которые удовлетворяют условию 512 О. Нетрудно показать, что для действительных движений Отсюда следует, что искомые функции должны удовлет- ворять условию д~ — +~~=0 при г=0. д$ (0.23) Тем самым показано, что линейная постановка задачи о движении жидкости в неподвижном сосуде (1.23), (1.24), рассмотренная в первой главе, имеет эквивалентную вариационную формулировку для функпионала 1 (5.22).
Ц дальнейшем мы будем рассматривать только квадратичный функционал ) 2, поэтому для удобства обозначим через т и 5 объем и свободную поверхность жидкости в положении равновесия. Использовав равенство (5.23), из функционала 1 можно исключить величину ~ и привести его к виду, который окажется более удобным при дальнейших рассмотрениях: $1 Г( )'~т- — 'У д— ' ~~ ~~. (5.24) 0 дй ~ 2. Собственные колебания жидкости.
Метод Ритца Рассмотрим задачу о собственных колебаниях жидкости. Положим ср Ф(Х, У, л) сов с4. Подставим это выражение в функционал (5.24) и примем, что $1 2~/а. Тогда, как легко видеть, интеграл действия по Гамильтону (5.24) на постоянный множитель ~ р/2 о. отличается от функционала ~(Ф) - )" (ЧФ)2цт -Х ) Ф245, (5.25) — 105- 2 5 где Х а /д. Таким образом, задача о собственных колебаниях жидкости в объеме т сводится к вариационной задаче для функционала (5.25) . ПРХМЮЧМНИ6.
В соответствии с результатами й 1 этой главы решение сформулированыой задачи должно разыскыватьси в классе гармоыичвских фуыкпий, удовлетвориюших условиям (5.10),(5,11) . Однако можыо показать, что экстремум (а оы будет минимумом) совпадает с тем значением, которое получитси, если искать решение в классе функпнй с ыепрерывнымы первыми производными, В общей теории доказывается (см., например, книгу С.Г.Михлина (151), что наименьшее собственное значение ((17 Ф) дт ? = ппп ) Ф~45 5 Ему соответствует собственная функция Ф .
Второе собст- 1' венное значение ((ЧФ)211т А = пп'и 1" Ф ИЯ в классе функции Ф, удовлетворяющих условию ~ФФ/5=0. 5 Третье собственное значение ищется как минимум того же выражения в классе функций, удовлетворяющих условиям ) ФФ Ю= 0; ~ФФ2Б=О 5 5 и т.д. Для решения вариационной задачи (5.25) удобно воспользоваться методом Ритиа. Идея этого метода заклю- чается в следуюшем: 1. Вводится система координатных функций 1)( 1, принадлежащая к классу допустимых функпий и полная в области т в смысле сходимости по энергии1) . Так как линеаризированные граничные условия задачи (5.11), (5.12) относятся к числу естественных (т.е.
могут быть сами получены из принципа Гамильтона), то к классу допустимых функций, вообще говоря, относятся все функции с непрерывными первыми производными. ~~ Пусть в области т задано множество функпий, на которых определен положительный оператор А. Рассмотрим в этой области по слвдовательность фуыкпий и„. Говорит, и о последовательность Ма сходытси по энергии, если [ЙМ„-М), М„-М3 О прн Мч м. ГЬдробиостн см.
в книге С.Г.Михлнна 1161. тему функций «Х„1 . При этом быстрота сходимости метода Ритца существенно зависит от выбора системы координатных функций. К сожалению, нельзя указать никакого единого метода для выбора этой системы функций, дающего хорошую сходимость во всех возможных случаях. Однако можно высказать несколько об ших соображений, которые полезны при решении конкретных задач. 1. Будем в качестве функций Х выбирать гармоничесп кие функции; тогда естественно ожидать, что метод Ритца сойдется тем быстрее, чем большему количеству граничных условий удовлетворяют координатные функции Х .
ГЬ- и' этому обычно стремятся в качестве Х выбирать гармонии ческие функции, которые удовлетворяют определенному количеству граничных условий. В И1-4 шестой главы приводятся решении нескольких задач, основанные на использовании этого соображения. Далее, если задача допускает частичное разделение переменных, т.е., скажем, решение имеет вид Е(х, у, х) - и(х,у)Р(х), (5.29) то и минимизирующую функцию следует искать в том же виде. Допустим для определенности, что объем т имеет вид вертикального цилиндра высоты л . Тогда, подставив выражение (6.20) в функционал (5.25), мы придем, очевидно, к вариационной задаче для функционала р(И)- риац)2д- 2~ц2~~, (5.30) 5 3 хР (О) — 1 — Их ИР 2 Их о ~Р ИХ где (5.31) СЬ ю(х+ Ь) сЬюЬ Подставив это выражение в равенство (5.31), мы найдем связь между собственными значениями Х и ю Х- айму.
а через Р(О) обозначена величина функции Р(Х) на свободной поверхности 5. В Ф 3 третьей главы, показано, что в случае вертикального цилиндра с плоским дном функции Р должны иметь вид Таким образом, варнационная задача (5.25) сводится к более простой вариационной задаче (5.30). 2. Так как собственные значения являются экстремальными значениями некоторых функционалов, то напрашивается вывод, что собственные значения не очень чувствительны к выбору функций Х„. Особенно это относится к первому собственному числу, Иными словами, значение функционала Х1 изменится не о гень сильно, если функцию Ф реализующую минимум этого рункционала, заменить другой функцией Ф, такой, что Я Ф ~уФ Ит ~0. Кроме того, напомним, что граничные условия задачи о колебаниях жидкости являются естественными (т.е.
сами следуют из принципа Гамильтона). Поэтому функпии Х„ не обязаны удовлетворять этим граничным условиям. На этих соображениях основан еще один способ построения системы координатных функций. Пусть надо решить задачу о собственных колебаниях жидкости в объеме т, ограниченном свободной поверхностью 5 и смоченной поверхностью Е . Предположим, что известно решение задачи о колебаниях жидкости в 5', объеме т0, ограниченном свободной поверхностью $0 и смо- А ченной поверхностью Е~. Обозначим собственные функции 5 этой задачи через у~, а собственные значения — через ~„,. В й 1-6 третьей главы приводится набор областей т0, для которых решение этой задачи имеет У простой и удобный вид. /,'Г Область т опишем областью ~ — — — -- ~~д г ~~~ Tс, т0так, чтобы совпадали плос- Г ° Г кости свободных поверхностей Я и 50 (рис.27) . Обозначим через Ьт разность объемов т0 и т, а через ЬЯ вЂ” разность площадей $0 и $ .
Тогда функции у Рие. 27 можно выбрать в качестве координатных, положив ~~ - ~„ ° Напомним, что коэффициенты системы (5.27) вычисля- ются по формулам ит ~~и п т ' ~вт .( ~по 5 Эти формулы можно переписать следуюшим образом: Р„~- 1ЧЧ„ЧЧ "т- 1ЧЧ ЧЧ И'' ат Из формул Грина и граничных значений функций у п следует, что п~ т ' п "'и"'т" ' Однако в приложении ко второй главе показано, что система функпий ( у ) ортогональна на поверхности Яо.
Б удем, т кроме того, считать ее нормированной. Отсюда мы получим важный результат; ~д у Чу Ют-О, если и ~ ж; то Таким образом, коэффипиенты системы (5.27) можно представить в следуюшем виде, удобном для расчетов:~ дЪ,~~. Рит ~ иврит ~ ~т,~р Е (5.32) (5.33) где через 6 обозначен символ Кронеккера. Из равенств Рит ~ти ' ~ит ~тп следует, что ду ду„ т п ц птвтидйт~ (6.34) Г(Ч Ч„) Ит - И„° 2 о Из формул Грина и краевых значений функций у, кро- ме того, следует, что дЪ дЬ дЪ дцъ„ Ьт в т ИЧ ЧЧ дт- 1 ~ — "Ж+ ) ~ — "Й-1Ч вЂ” "~б-~ ~ Ч Ч ~5-й — "Ж. М тщ тЩ тдп п пт тЩ ~о Е Ы Е Если форма области т такова, что площади свободных поверхностей Я и Яо совпадают, то ~5=0 и равенства (5.32), (5.33) упрощаются: Рв,„- 5„щ Р „+ 3 Фщ — 'Ж дЪ)д ~в дИ (5.35) (5.36) ~ б ~ит пв ' Соответственно упрощаются система (5.27) и уравнение (5.28) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
